选修22定积分学案

1、1.5 定积分的概念学习目标知识与技能：1.通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；2.借助于几何直观体会定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分3.理解掌握定积分的几何意义和性质；过程与方法：通过问题的探究体会逼近、以直代曲的数学思想方法。情感态度与价值观：通过分割、逼近的观点体会定积分的来历，从本质上理解定积分的几何意义，从而激发学习数学的兴趣。学习重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义学习难点：定积分的概念、定积分的几何意义学习过程：问题 曲边梯形的面积思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？ （2）能否将求这个曲边梯形面积

2、S的问题转化为求“直边图形”面积的问题？分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段“以直代曲”的思想的应用例如：求图中阴影部分是由抛物线，直线以及轴所围成的平面图形的面积S。解：（1）分割在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：，记第个区间为，其长度为分别过上述个分点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，他们的面积分别记作：，显然，（2）近似代替记，如图所示，当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，从图形上看，就是用平行于轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边（如图）这

3、样，在区间上，用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代曲”，则有 （3）求和由，上图中阴影部分的面积为= = = = 从而得到的近似值= （4）取极限分别将区间等分8，16，20，等份（如图），可以看到，当趋向于无穷大时，即趋向于0时，趋向于，从而有事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限定积分的概念 一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间,在每个小区间上取一点,作和式：当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分。记为：， 即=其中函数叫做 ，叫做 变量，叫做 ，区间为 区间，叫做积分 ，叫做积分 。说明：（1）定积分是一个常数 ； （2

4、）用定义求定积分的一般方法是：分割：等分区间；近似代替：取点；求和：；取极限；（3）曲边图形面积：；变速运动路程.根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1 （其中k是不为0的常数） （定积分的线性性质）性质2 （定积分的线性性质）性质3 （定积分对积分区间的可加性）说明：推广： 推广:课堂练习1、定积分（常数）的几何意义是 2、由，所围成图形的面积写成定积分的形式是 3、定积分的大小（ ） A、与和积分区间有关，与的取法无关 B、与有关，与区间及的取法无关C、与和的取法有关，与积分区间无关D、与、区间和的取法都有关4、下列等式或不等式成立的个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、4

5、5、计算下列定积分（1）； （2）；（3）（）； （4） 其中.*6、思考题：你能使用定积分计算出椭圆的面积吗？（由解出椭圆在轴上方部分曲线的函数表达式（此时），然后根据定积分性质1以及上面第5题（3）的结果可求出椭圆在轴上方部分的面积）1.6微积分基本定理 学习目标知识与技能目标：通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿莱布尼兹公式求简单的定积分。过程与方法：通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法。情感态度与价值观：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。学习重难点重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系

6、，直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。难点：了解微积分基本定理的含义学习过程我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。问题：变速直线运动中位移函数与速度函数之间的联系：设一物体沿直线作变速运动，在时刻时物体所在位置为,速度为（），则物体在时间间隔内经过的路程的计算可用两种方法：方法一：可用速度函数表示为；方法二：这段路程还可以通过位移函数在上的增量来表达。那么我们有而位移函数与速度函数的关系为，上式可写为定义：如果在区间上，函数是函数的导函数，即对任意有则称是在上的一个原

7、函数。如上例中位移函数便是速度函数的原函数。问题：对于一般的连续函数，设，是否也有？微积分基本定理 一般地，如果是区间上的 函数，并且 ，则该公式又叫做 。为了方便起见，还常用 表示，即 微积分基本定理表明，计算定积分的关键就是找到函数的一个原函数(即满足的函数）。详细原函数对照表与定积分公式表见附录。课堂练习1、计算下列定积分.（1）； （2）； （3）； （4）； （5）；（6）； （7）； （8）； （9）； （10）2、计算下列定积分。（1）； （2）；（3）； （4）.3、计算下列定积分。 （1）； （2）； （3）； （4）.4、计算下列定积分：。由计算结果你能发现什么结论？试利用

8、曲边梯形的面积表示所发现的结论。(1)当对应的曲边梯形位于轴上方时（图1.6一3 ) ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；图1 . 6 一 3(2)当对应的曲边梯形位于轴下方时（图1.6 一 4 ) ，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；图1.6 一 4（3）当位于轴上方的曲边梯形面积等于位于轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于轴上方的曲边梯形面积减去位于轴下方的曲边梯形面积 图 1 . 6 一 5课后作业：课本第55页习题1.6：A组第1题、B组第1题1.7定积分的简单应用 学习目标知识与技能目标初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种

9、常见题型及方法；掌握用定积分解决简单物理问题.过程与方法体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。情感态度与价值观 体会微积分在自然科学中的重要应用以及在人类文化发展中的意义和价值。学习重点 曲边梯形面积的求法学习难点定积分求面积以及在物理中的应用学习过程一、定积分在几何中的应用.曲边梯形的面积：1、函数在区间上连续且满足，则由直线，和曲线所围成的曲边梯形的面积用定积分表示为： 2、函数在区间上连续且满足，则由直线，和曲线，所围成的曲边梯形的面积用定积分表示为： 例1：计算由曲线，所围图形的面积。例2：计算由直线，曲线以及轴所围图形的面积。练习1、由直线，与曲线所围成的封闭

10、图形的面积为 .2、由曲线，围成的封闭图形面积为 .3、由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为 .二、定积分在物理中的应用.1、变速直线运动的路程：做变速直线运动的物体的速度函数为，则该物体在时间段内所经过的路程为 2、变力做功：如果物体在变力的作用下做直线运动，变力的方向始终与运动的方向共线，且变力仅依赖于位置变量（也就是说变力是位置变量的函数，即）。若物体沿该直线从位置移动到位置，则变力在这一过程中所做的功为 例1、 一辆汽车的速度-时间曲线如右图所示。求汽车在这1 min行驶的路程。练习：课本第59页练习1例2、如图，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离开平衡位置 m处，求克服弹力所做的

11、功。分析：弹簧是胡克定律应用的一个常见例子。在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧的弹力和弹簧的长度变化量成正比，即其中是弹簧的劲度系数。练习：课本第59页练习2，第60页习题1.7 A组第2题课后作业：课本第60页习题1.7 A组第1题，第6题，B组第3题。选做题：B组第2题。附录：定积分公式表为了方便应用微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）计算定积分，下表给出一些常用函数的原函数（只给出其中的一个原函数）。原函数的正确性可以通过求导数运算去验证。其中出现的，都是与自变量无关的常数。表一：原函数对照表：序号导函数原函数序号导函数原函数123*94*105*1167*128*13说明：1、验证上表第4项：当时，所以；当时，使用复合函数求导法则。所以对任意，。第10项同理。2、上表第18项可由基本初等函数求导公式（课本P14）得到。第913项可用复合函数求导法则验证获得，比较常用的是或的情况，不要求记忆，仅供参考。表二：定积分表由原函数对照表以及微积分基本定理（牛顿莱布尼茨公式）可获得下面的定积分表：1、2、3、， 注意：要使定积分有意义，被积函数必须在闭区间上有定义。4、注意：要使定积分有意义，必须有，即（同号）。5、6、7、8、9、10、11、表三：定积分常用性质列表1、（为常数）2、3、4、（牛顿莱布尼茨公式）奇函数与偶函数的积分：5、若是奇函数，且下面的