玻尔兹蔓分布麦克斯韦速度分布

1、批改作业的要求批改作业的要求1 下载名册下载名册 批改与记载批改与记载 从课件邮箱：从课件邮箱： 中获取名册中获取名册 在名册中只记载交作业的，完成一半以上的注明在名册中只记载交作业的，完成一半以上的注明“1”，否则为否则为“2”。对的打勾，错的应指明，并签上姓氏。对的打勾，错的应指明，并签上姓氏。2 汇报内容汇报内容 普遍问题；一题多解。普遍问题；一题多解。3 提交文档（提交文档（excel )的文件名、时间及邮箱的文件名、时间及邮箱 将名册文件名改为：被批改的班号将名册文件名改为：被批改的班号+批改者姓名批改者姓名 例如例如: 自动化自动化02班胡蓉；电气班胡蓉；电气02班王欣源班王欣源直

2、接在名册中加入汇报的内容直接在名册中加入汇报的内容提交时间：每周四上课前提交时间：每周四上课前提交邮箱提交邮箱: 1 玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布 本次课的主要内容本次课的主要内容2 麦克斯韦速度分布函数麦克斯韦速度分布函数 5 玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律一一 微观状态微观状态 分子处于速度区间分子处于速度区间 vx vx+dvx ， vy vy+dvy ，vz vz+dvz ，位置区间位置区间 x x+dx，y y+dy，z z+dz，称该分子处于一种微观，称该分子处于一种微观状态，状态， dvx dvy dvz dxdydz 所限定的区域称为所限定的区域称为状态区间状态区间。二二 玻耳兹曼统

3、计玻耳兹曼统计 温度温度T 的平衡状态下，的平衡状态下，任何系统任何系统的微观粒子的微观粒子按状态的分布函按状态的分布函数数与与该状态区间的该状态区间的一个粒子的能量一个粒子的能量 E 的指数函数的指数函数 成正比成正比玻耳兹曼因子玻耳兹曼因子 ),(zyxvvvzyxfkTEe/ kTECe/ 1212121212121/ xxyyzzvvvvvvzyxzyxkTExxyyzzvvvvvveCddddddzyxvvvzyxNNdddddddC由归一化条件确定，称为由归一化条件确定，称为归一化因子归一化因子例例 求重力场中的气体分子求重力场中的气体分子按位置按位置分布分布设处于位置区间设处于位

4、置区间 x x+dx，y y+dy，z z+dz分子数为分子数为NN d归一化归一化zyxeCNNkTEPdddd/ NNdkTEPeCzyxNN/ ddddkT/EPCe)z , y,x(f 解：设重力场中在状态区间解：设重力场中在状态区间dvx dvy dvz dxdydz的气体分子数的气体分子数N dzyxvvveCzyxkTEdddddd/ zyxevvveCkTEzyxkTEPKdddddd/ N d：速度取所有可能值且位置处于该位置区间的分子数：速度取所有可能值且位置处于该位置区间的分子数N d )(2)(222zyxkTvvvmvvveCzyxdddzyxekTEPddd/ PK

5、EEE 求求 原子处于不同能级的原子数目之比原子处于不同能级的原子数目之比E0E3E2E1解解 设设 Ep =0 处处 气体的密度及气压分别为气体的密度及气压分别为 n0 , P0例例 求温度不随高度变化的局部大气中，气压随高度的变化求温度不随高度变化的局部大气中，气压随高度的变化kTEPCezyxf/),( 高度高度 h 的气体密度及气压分别为的气体密度及气压分别为 n , PkTmghCe/ n RTghen/0 kTmghenn/0 mNA nkTP kTEiieN/ kTEEeNN/ )(1212 T 103 K；E 2 - E 11eV;120 086115.10NeN RTgheP

6、P/0 处于速度区间处于速度区间 vx vx+dvx ， vy vy +dvy ， v z vz+dvz分子数为分子数为 dNzyxvvvCeNNzyxkTEKddddddd/ zyxkTEbadcfevvvCezyxNNKddddddd )()(21222zyxKvvvmE zkTmvykTmvxkTmvveCveCveCzyxddd/21/21/21222 zzyyxxvvgvvgvvgddd)()()( zyxzyxvvvvvvgddd),( zyxkTvvvmvvveCzyxddd/ )(21222 理想气体处于速度区间理想气体处于速度区间 ， 位置区间位置区间 的分子数为的分子数为v

7、vvd rrrd Nd四四 麦克斯韦麦克斯韦速度速度分布函数分布函数速度区间速度区间 分子分子 数数vvvd vNdNNvvgvdd )(kTmvekTmvg22/322)( 根据归一化条件根据归一化条件速度分量区间速度分量区间 vx vx+dvx 内分子数内分子数y、z 分量完全对称分量完全对称 平均速度平均速度= 0NNvvgxvxxdd )(kTmvxxekTmvg22/122)( xxxxvvgvvd)(xvNd0 v),()(zyxvvvgvg kTvvvmzyxeC/ )(21222 kTmvkTmvkTmvzyxeCeCeC/21/21/21222 )()()(zyxvgvgvg

8、 由麦克斯韦速度分布函数推导麦克斯韦速率分布由麦克斯韦速度分布函数推导麦克斯韦速率分布zyxkTvvvmzyxzyxvvvekTmvvvvvvgzyxdddddd2)(2/32222),( 在速度空间中，状态区间为在速度空间中，状态区间为dvx dvydvz即直角坐标系中的体积元。即直角坐标系中的体积元。 速率分布：速率分布：zvxvyvvvd 状态区间是以状态区间是以v为半径，为半径， dv为厚度为厚度的球壳的体积元的球壳的体积元vv d24 2222vvvvzyxvevkTmvvfkTmvdd222/3224)( 对于对于任意体积元任意体积元例例 由玻耳兹曼分布函数推导理想气体分子集体的统

9、计假设由玻耳兹曼分布函数推导理想气体分子集体的统计假设 （1）平衡态时分子数密度到处一样；）平衡态时分子数密度到处一样； （2）平衡态时分子的速度各向均匀。）平衡态时分子的速度各向均匀。解：解：（1）处于位置区间）处于位置区间 x x+dx ， y ydy ， z z+dz 的分子数为的分子数为 dNzyxvvvCeNNzyxkTEKddddddd )(zyxCddd zyxVdddd 分子数密度分子数密度nNC 常常数数 VNdd 由麦克斯韦速度由麦克斯韦速度分布函数分布函数（2）设速度分量区间）设速度分量区间 vx vx+dvx 内分子数内分子数NNxvdkTvmxxekTmvg2)(2/122)( xvNd速度分量区间速度分量区间 -vx -vx-dvx 内分子数内分子数xvN d)xvxvvNvNxxd(-ddd )(xvg xvdNNxv -d)(xvg - )xvd(-)()