泰勒公式及其应用90907

1、泰勒公式及其应用摘要：泰勒公式是数学分析这门课中的一个重要公式，在分析和研究数学问题中有着重要作用，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。它可以应用于求极限、进行近似计算、不等式证明、行列式计算、判断函数极值等方面。我们在这里主要来说明泰勒公式及若干应用。关键词：泰勒公式；函数；极限；不等式；近似计算；证明；收敛性。Application of the Taylor FormulaAbstract:Taylor formula is a mathematical analysis of this class in an important formula,The Taylor formul

2、a plays an important part in analyzing and researching the math problems and make in a powerful lever in other mathematical problems.It can be used in order to limit,to determine the function extremum seeking higher-order derivative values at some point to determine the convergence of series and gen

3、eralized integral,approximate calculation,inequality proved integral problems,differential equation problem and so on.We are mainly explicating the Taylor formulas and a number of applications.目录1.泰勒公式31.1泰勒多项式31.2泰勒公式32.泰勒公式的证明32.1泰勒公式的成立条件及证明32.2泰勒公式的推广33.泰勒公式的应用33.1利用泰勒公式求极限33.2利用泰勒公式进行近似计算33.3用泰

4、勒公式求斜渐近线33.4求某些微分方程中的解33.5用泰勒公式分解既约真分式成部分分式33.6在计算一些特殊类型的有理函数不定积分中的应用33.7用带皮亚诺余项泰勒公式确定无穷小的阶33.8在不等式证明中的应用43.9在行列式计算方面的应用43.10证明根的存在唯一性43.11判断函数极值43.12函数凹凸性及拐点判断中的应用43.13泰勒公式在判定二元函数极限存在性中的应用41泰勒公式1.1泰勒多项式设在含有的开区间内有直到阶导数，为已知，现寻求一个次的代数多项式，使得能否用近似代替？设，则有：由故所求的代数多项式为此多项式称为函数在处的阶泰勒多项式。1.2泰勒公式设，称其为误差函数。显然，

5、从而有，（在与之间），上式称为函数关于的阶泰勒公式，其中余项，（在与之间），称为拉格朗日余项。 当时，即，（在与之间），这正是拉格朗日公式当时，称为函数的阶麦克劳林公式，其中。若设在含有的某个开区间内有直到阶导数，且在内有界，那么对，有其中，成为佩亚诺型余项。常见的带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式有以下几种：1.2.3.4.5.6.2泰勒公式的证明2.1泰勒公式的成立条件及证明（一）带有佩亚诺余项的泰勒公式定理1：若函数在点存在直至阶导数，则有，即证明：设，现在只要证并易知因为存在，所以在点的某邻域内存在阶导函数于是，当且时，允许接连使用洛必达法则次，得到 证毕（二）带有拉格朗日余项的泰勒公式定

6、理2：若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，至少存在一点使得证明：作辅助函数，。所要证明的式子即为或不妨设，则与在上连续，在内可导，且又因，所以由柯西中值定理证得，其中。 证毕（三）利用定积分中值定理及牛顿-莱伯尼兹公式证明泰勒公式定理3：如果函数在含有的某个开区间内具有一直到阶的连续导函数，则当时，可表示为其中在与之间。证明：因为在内具有一直到阶连续导数，所以，在闭区间（或）上具有一直到阶的连续导数，由牛顿-莱伯尼兹定理。上式右端应用定积分中值定理，在与之间因此，在与之间。又因为 (1)(1) 左端应用定积分中值定理得: (2)(2) 式两端取到的积分 即在与之

7、间.同样由 （3）（3） 式左端应用定积分中值定理得，在与之间 （4）（4） 式两端取到的积分又得到 （5）（5） 式两端再取到的积分即因此在与之间。照此方法继续做下去，经次后即得到。其中在与之间 证毕顺便指出泰勒公式中函数具有阶连续导数可减弱为具有阶导数，此时由于在上连续在内可导，所以满足拉格朗日中值定理条件，应用拉格朗日中值定理有在与之间。对上式两端取到的积分由牛顿-莱伯尼兹公式得再取到的积分又得依次方法经次积分后即在与之间。2.2泰勒公式的推广 定理1：若函数在区间上是次连续可微的，则有 （1）其中， 这就是学习者所熟悉的泰勒公式。对此公式进行一种推广，即有 定理2：在与定理1完全相同的

8、条件下，有下式成立 （2）其中，式中的字母是一个可以自由选取的参数（与无关），它的引入使得我们应用（2）式时变得灵活方便。在式中取就可以直接得到通常的泰勒公式（1）下面证明（2）式： 证明：由不定积分定义和分部积分法得：，（与无关）=再根据牛顿-莱伯尼茨公式，有=略加变形，得 证毕定理3：设函数在区间上有任意阶导数，且（是正常数），则在上的增量有下面的无穷级数表达式定理4：设，在内存在直到阶连续导数，且，。那么对有 （3）这里， （在与之间）。证明：首先由假设知对，有，（）否则将与引理1矛盾，故先设 （4）那么由假设知在（或者）上存在直到阶连续导数，且，依引理1知存在，使，这里在与之间，然而注

9、意到综合，就有，代入（4）即知定理1成立.定理5：设，在内存在直到阶连续导数，且，若对常数，且，。那么对，有这里，在与之间。 （5）证明：由假设对，有，从而易知有，（），否则与引理1矛盾，先设当时， （6）那么，在（或者）上存在直到阶连续导数，且，。依引理2知对常数，存在，使 （在与之间） （7）而由（7）即代入（6）即知定理2成立。3泰勒公式的应用3.1利用泰勒公式求极限例1 分析：此为型不定式，若直接应用洛必达法则求极限，就会发现计算过程非常复杂。由于分母是的四阶无穷小，可以考虑利用泰勒公式将分子展开。有无穷小的性质，分子的展开时只要保留到的四阶无穷小即可。解：故 例2 求分析：当时，此函

10、数为型不定式。虽然可以通过变换把其化为型，再用洛必达法则，但计算量较大。先利用泰勒公式将展开，在求其极限。解： 故 从 例1、例2可以看出，利用泰勒展开是代替某些函数，可以在求极限以前化简表达式，然后通过比较无穷小的阶求极限，需要强调的是，展开式的项数的确定要考虑到分子与分母的无穷小的阶数，化简表达式时要注意无穷小的计算。3.2利用泰勒公式进行近似计算必须要注意的是，泰勒公式是一种局部性质，因此在用它进行近似计算时，不能远离，否则效果会比较差。例1 计算，使其误差不超过。 解：由泰勒公式展开，有：当时，于是例2 计算积分的近似值分析：因为不是初等函数，所以不能直接用牛顿-莱伯尼茨公式求值，只能

11、用泰勒公式求近似值解：由泰勒公式可得，所以，因此由此得到此时误差3.3用泰勒公式求斜渐近线我们知道，若，则是曲线的斜渐近线。用泰勒公式，只要能证明当时，就知是斜近线，这里表示无穷小量。例1 曲线的斜渐近线方程为_.解：故是所求斜渐近线方程。例2 曲线的斜渐近线方程为_.解：故是所求斜渐近线方程。3.4求某些微分方程中的解微分方程的解可能是初等函数或非初等函数，如微分方程的求解问题便是如此，因而解这类方程我们可以设想其解可以表示成泰勒级数的形式，进一步，我们可以大胆设想可以表示成更为一般的幂级数形式，即从而得出了解这类方程的一种重要方法。例1 解微分方程解：显然可在的邻域内展成泰勒级数，故原方程

12、有形如的幂级数解。将及其导数代入原方程得即，令的同次幂系数为零，得， （）从而，即有，所以其通解为： 即3.5用泰勒公式分解既约真分式成部分分式将既约真分式分解成部分分式，实验纠纷是函数的性质，对其微分和积分的重要的甚至是必不可少的步骤，但人们经常是采用待定系数法，比较繁琐。然而，在一些特殊形式下用泰勒公式可方便地分解既约真分式，现以例题的解答介绍用泰勒公式进行分解。例1 分成部分分式。解：令，则 令，则， 所以例2 把分成部分分式。解：令，则 令，则， 所以，3.6在计算一些特殊类型的有理函数不定积分中的应用 泰勒公式对（其中是关于的次多项式）类型的有理函数不定式积分的计算很简便，对此将展成

13、在点的泰勒级数共有项，因为则有这时等式右边的每一项积分都很容易求得。把这种分解方法应用到被极函数为有理式的不定积分中，那么我们将比较容易地计算出积分结果。例1 计算解：设，将其在点展开有故例2 求解：令，将其在点展开有故3.7用带皮亚诺余项泰勒公式确定无穷小的阶设如何用泰勒公式确定是几阶无穷小？我们知道对若，则因此是的阶无穷小。例1: 用泰勒公式确定，当下列无穷小量是的几阶无穷小量？（6） （2）解：（1）因此，当时，是的二阶无穷小量（2），因此，当时，是的五阶无穷小量。3.8在不等式证明中的应用例1 设函数在具有二阶导数，且，试证分析：将欲证式与一阶泰勒公式比较知：没有一阶、零阶导数项。我们进一步分析可知，由于连续，因而最小值必在点取得，该点必是极值点，有。于是泰勒定理中的就是极值点。分别取和，问题就得证了证明：设在处取得最小值，则，将在点处展成一阶泰勒公式在与之间分别取