关于欧氏几何的第5公设与非欧几何

1、 关于欧氏几何的第5公设与非欧几何裕华 敏雁 施培成摘要： 本文综述了由欧氏几何到非欧几何的发展历史；评述了非欧几何的思想与其伟大意义；论述了欧氏几何，罗氏几何，黎曼几何的对立统一关系。比较了三种几何的主要特征与适用围。关键词：第五公设，欧氏几何，罗氏几何，黎曼几何。一、关于Euclid的Elements欧几里得的几何原本早已失传，现存的有：1、公元四世纪末（400年左右）泰恩（Thon）的原本修订本。2、18世纪在梵蒂冈图书馆发现的一个第十世纪的原本希腊文手抄本，可能比泰恩本更早些。3、现代版本最早的是1482在威尼斯印刷的，依据泰恩修订本的版本。4、现在看到的各种版本（一千多种版本）均非欧

2、几里得手稿的传本，而是依据后人的修订本，注释本，翻译本重新整理出来的。5、1794年法国数学家勒让德（A.M.Legendre,1752-1833）为使几何原本更便 于教和学，曾对原本作了较大的修改，如删去了原本中的非几何部分容，并将几何部分重新整理和编写。把“命题”中的定理和问题加以明确区分，还把第5公设换为与它等价的平行公理；“过直线外一点，有而且只有一条直线与原直线平行”等等，编成了新欧几里得几何原本。于是自19世纪开始，初等几何课本一般都是以此为兰本的改编本。6、中国最早的汉译本是1607年（明万历35年丁未）意大利传教士利玛窦（Matteo Ricci,1552-1610）和徐光启（

3、15621633）的合译本（前6卷），称之为“明译本”底本系德国人的拉丁文本15卷。二百五十年之后，1857年，后9卷由英人伟烈亚（A.Wylie,1815-1887）和善兰（18111882）合译，称之为“清译本”底本是英文版第15卷。由于它们均系文言，并且名词，术语和现代有很大的差异，不易看懂，故现代新译本于1990年由科技出版。二、关于第5公设古希腊对于数学的最杰出的贡献就是“根据公理体系来建立数学”的观念，即：一个合乎逻辑的学科，应当是由一组原始定义和原始命题（公设， 公理）出发，通过演绎推理导出这一学科的其他所有命题。所以原本是一部在定义，公设和公理的基础上，按演绎推理方法建立起来的

4、命题系统。原本第1卷有 首先给出了23个定义，如：点是没有部分的；线是没有宽度的长度，等等。此外，还有平面，直角，垂直等定义。定义之后是5个公设：1）从任一点到任一别的点（可）引一直线；2）有限直线（可）循直线延长；3）以任一点为中心，任意长为半径（可）做一圆；4）开直角都相等；5）若一直线与另外两直线相交，且在同侧二角（同旁角）之和小于二直角。则这两直线无限延长后相交于该侧的一点。五个定理：1）等于同一量的量彼此相等；2）等量加等量其和相等；3）等量减等量其差相等；4）互相重合的量彼此相等；5）整体大于部分。按照亚里斯多德关于公理和公设的区别，前者是适用于一切科学的真理，后者仅适用于几何学，

5、今天统称公理。 显见，五个公设中，前四个人们认为简单明了，符合亚里斯多德公理“自明性”的要求。唯独第5公设，即现在的“平行公理”，不公文字罗嗦，而且所肯定的事实也不明显。比如，当两条直线相交于非常遥远的地方时，就无法判断这两条直线是否平行，因此不具有直观的明显性。所以自欧几里得以来，人们就认为这是原本的一个污点。比如，1759年，法国数学家达朗贝尔（JL·R·DAlembert，1717-1783）曾说“第5公设是“几何原本中的家丑”。 不仅如此，而且欧几里得本人似乎对这一公设也不太满意原本第1卷共48个命题，其中前28个命题的证明欧氏都回避用第5公设，只有在第29个题 的

6、证明中，才不得不用了一次，而且这是原本用第5公设的唯一的一次。三、对第5公设的研究非欧几何的历史，就是从努力消除对欧氏平行公理的怀疑开始的。从希腊时代到19世纪间有两种研究途径：一种是用更为自明的命题来代替平行公理；另一种是试图从欧氏其他几个公理推导出平行公理来，如果办到这一点，平行公理将成为定理，它也就无可怀疑了。第一种途径：历史上曾被用作代替“平行公理”的等价“公理”有很多，例如：1）平面上不相交的二直线不能彼此远离（普罗克鲁斯Proclus,希腊，公元5世纪）；2）存在着两个相似而不相等的三角形（瓦里斯Wallis，英，1663年）；3）过已知直线外一点，只能作一条直线平行于已知直线（普

7、雷菲尔J,Plagfair,格兰，1795年）;4）三角形的角和等于二直角（法，勒让德，Legendre）. 这样的例子我们现在可以无限制地列举下去，但是细究起来，它们的自明性并不比第5公设更好。最好的替代公理要算公理3，所以近代常将第5公设称为平行公理 ，它被中学课本所采用。 第二种途径：探索从其它几条公理推导出第5公设，这又分直接证明和间接证明。直接证明是以几条公理为前提，直接推出第5公设。自原本问世的两千年以来，几乎称得起数学家的人几乎都作过尝试，并付出了辛勤劳动，浪费了许多精力，均以失败而告终。有时好象找到了证明，但仔细审查一下，他们都犯了自觉 或不自觉地承认了一些不加证明的假设的毛病

8、，而这些假设又都是与第5公设等价的。四、创立非欧几何的几位数学家直到19世纪开始时，第5公设的证明问题还是没有解决，这真是几何学的一个深奥的谜。 平行线理论在19世纪成为几何学的中心问题之一。研究它的有很多数学家，如高斯，拉格朗日，达朗贝尔，勒让德等等。 长期直接证明的失败，使人们的注意力逐渐转移到间接证明上来，即从第5公设的否定命题出发，试图引出矛盾，一般认为，这一工作的开始，就意味着非欧几何的酝酿。 二千余年的努力，为非欧几何的诞生准备了极好的条件，非欧几何的创立已势在必然，只是有待于杰出的数学家为它迈出决定性的一步。象任何一个较大的数学发现一样，都不会只是个人能做到的一样，非欧几何的诞生

9、也是在前人二千多年认识成果的基础上做出的，其决定性的步骤由高斯，罗巴切夫斯基和丁·鲍耶三个走出。但那已是19世纪上半叶的事了。高斯发现在先，而罗巴切夫斯基的成果发表在先。1、德国数学家高斯（C.F.gauss.1777-1855）人称“数学家之王”，是一个瓦工的儿子，自幼家境贫寒。早在1792年，即他15岁时，就开始思考欧氏第5公设问题。那时他认为：第5公设不是一条几何定理，不能证明它，也不是几何学公理中必备的，它只是对欧氏几何学才有效。他已经意识到除欧氏几何外，还存在着另一个逻辑上无矛盾的几何。从1799年起，他着手开发这一新的几何的容，1813年已经形成比较完整的思想。如果把第5

10、公设变为“过已知直线外一点可以作多于一条与该直线平行的直线”则完全可以推导出另一套几何学来。开始他称为“反欧几里得几何学”（anti-Euclidean geometry），后又改为“星空几何”最后才定名为“非欧几里得几何”。为了验证他的非欧昨里得几何的应用的可能性，高斯还实际测量了由三座山峰构成的三角形的角和，这种几何的三角形角和小于180度。高斯生前没有发表过非欧几何的正式论著，他的关于非欧几何的思想，只能从他给朋友们的信和他的遗稿中了解。1846年，他的一封信中说：“罗巴切夫斯基称之为假想的几何学，您知道，我对此有同样的观点已经有54年了”。高斯一生，性格向，待人厚道，治学严谨，不管做什

11、么工作都是反复琢磨修饰，只有在证明的严密性和文字的简明性等各方面都达到完美无缺时才肯公开发表。同时由于几千年来一直认为欧氏几何是唯一正确的真理的教条所统治，高斯也许过于小心，担心引起庸人们的耻笑，未敢发表，但高斯是真正预见到非欧几何的第一人。2预见到非欧几何的第二人是丁·鲍耶（Bolyai,1802-1860）,他是匈牙利数学家W·鲍耶的儿子。老鲍耶是高斯大学时的同学和好友，曾从事第5公设的证明，因为没有成就，自认为浪费了时间，小鲍耶受其父的影响并且不听父亲的劝阻，又走上了这一道路。1823年他写成了摈弃第5公设的26页的论文绝对空间的科学，1825年他已基本完成 了非欧几

12、何学，他发现非欧几何的工作与罗巴切夫斯基很相仿，小鲍耶请求父亲帮助出版，但遭到拒绝。直到1832年父亲才把儿子的成果作为附录附在自已的一本著作之末（在罗巴切夫斯基的书出版之后）。 3罗巴切夫斯基（.v，1792-1856）出身于俄罗斯一个小技术员家中，3岁丧父，自幼家贫。他从1815年开始研究第5公设问题，起初也想直接证明，但很快汲取了历史上的经验教训，意识到不可能。1823年他用如下命题代替第5公设：过已知直线外一点，至少可作两条直线和已知直线不相交。“于是创立了与欧氏几何不同的且在严格性和规模上同它一样的新几何。1826年，他在喀山大学数学物理系的学术讨论会上作了题为关于几何原理的扼要叙述

13、与平行线定理的一个严格证明的报告，但未出版并已遗失，1829年在喀山通报上发表了论几何学基础，以后又有补充。1840年发表了平行线理论的几何研究等一系列非欧几何论文。由于当时还没有找到这种几何的实际应用，所以他称他的新几何为”想象的几何学”，“虚几何学”，后来他双目失明，却以口授写出一部他的几何的完全的新的说明，并于1855年以书名泛几何出版，今天称为“罗巴切夫斯基几何“。 虽然高斯和丁·鲍耶被人们承认是最先预见到非欧几何的人，但是，罗巴切夫斯基实际上是发表此课题的有系统的著作的第一人，被称为“几何学上的哥白尼”。4、上述三人的新几何里，三角形的角和小于两 直角，一般称之为罗巴切夫斯

14、基几何，简称罗氏几何。1871年，德国数学家·克莱因（C·F·Klein，18491925）改 称其为“双曲几何学”,一直沿用至今。1854年，德国数学家黎曼在关于几何基础的假设的演说中，又提出了一种既不是欧氏几何，又不是罗氏几何的非欧几何。这种几何采用公理“同一平面上任何两 条直线一定相交”代替欧氏几何中平行公理，对其余公理只是稍作改动。被称为“椭圆几何”其中三角形角和大于二直角。它和球 面几何学相差无几，如果把球面的对顶点看成同一点，就得这种几何。黎曼（G·F·B·Rieman,1826-1866），家境清苦，他的生活十分艰难，加

15、上工作劳累，终于在1866年7月20日病故，年仅39岁。1854年黎曼在哥廷根大学发表了题为关于几何基础的假设报告，提出了黎曼几何的思想，彻底革新了人们的几何观念，他把对三维空间的研究推广到了n维空间，并把这样的空间称作一个流形。为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。他认为非欧几何不仅仅是一种，而是一个广大而又丰富的领域。为了定义黎曼空间，推广了曲面的高斯曲率，建立了黎曼空间曲率的概念，这个概念是刻划欧氏空间和各种非欧氏空间差异的量度。黎曼在报告中所阐述的几何思想极为深刻，是继高斯，罗巴切夫斯基之后，几何思想的一次突破。据说在当时的听众中，除了年迈的高斯，没有一个人听得懂，所以这一报告没有受到应

16、有的评价。直到1868年，即黎曼去世后的第二年，黎曼的这一学说才正式的公布。至此，两种主要的非欧几何都已建立起来了。非欧几何有狭义的，广义的和通常意义的 这三种不同的含义。狭义的非欧几何是指罗氏几何。广义的非欧几何泛指一切和欧氏几何不同的几何。通常意义的非欧几何是指罗氏几何（也叫双曲几何）和黎曼几何（也叫椭圆几何）。五、 几何思想简述以与其伟大意义。1、非欧几何的产生与发展，在客观上对研究了两 千年的第5公设作了总结：它是独立的公理。历史的实践表明，它不可能通过其他公理作出证明，因此它不可能被取消，只能 用它的等价命题代替，从而构成不同的公理系统。但这些不同形式的公理系统，最终只能建立同一种几

17、何空间，如用它不同的否定命题代替，则产生不同的几何学。具体地说，第5公设最简明 的表达是：过已知直线外的任一点只能作一条直线同已知直线平行。它的否定命题有如下两种形式：其一，过已知直线外的任一点可以做出一条以上的直线同已知直线平行。其二，过已知直线外的任一点所作的任何一条直线都同已知直线相交。用第一种否定形式代替第5公设，则产生罗氏几何；用第二种否定形式代替第5公设则产生狭义的黎曼几何。因此，非欧几何的创立，首次有力地说明数学不仅能直接从现实世界中提取它的模型，而且也能从对它自身已经形成的概念和理论的研究中开拓新的分支。三种几何学的主要特征欧氏几何学非欧几何学罗 氏 几 何 学黎 曼 几 何

18、学过直线外一点的不相交 直线只存在一条存在无限多条一条也不存在三角形角和等于二直角小 于 二 直 角大 于 二 直 角三角形的面积与角和与角和无关与角欠成正比与角余成正比直线的长度无限长无限长有限长但无终点注：在罗氏几何中，二直角减去三角形角和叫作三角形的角欠，在黎曼几何中，三角形角和减去二直角称为三角形的角余；而在欧氏几何中，两 者之差为0。2、氏几何自公无前3世纪建立以后，直到19世纪初叶的二千余年间，一直是数学中的经典，在一代又一代的数学家的思想上留下了深深的烙印。19世纪以前的数学家几乎都相信；欧氏几何即为真理。非欧几何的创立 ，打破了两千多年来欧氏几何一统天下的局面，从根本上改变了人

19、们的几何观，扩大了几何的研究对象，使 几何学从研究具体图形的性质进入到研究抽象空间的更一般的形式，出现了各种抽象空间和几何，如高维空间，拓扑空间，黎曼空间等，这种空间的数目无穷，而且其中每一种空间都有自已的性质，自已的“几何”使 几何学进入一个以抽象为特征的崭新阶段。3、非欧几何的创立，是由对欧氏几何公理，体系的反思引起的。这就使后来的数学家注意对几何基础至整个数学基础的深入研究。在这个过程中，一些新的数学公支，如数的概念，分析基础，数学基础，数理逻辑等相继延生，19世纪末，德国数学家希尔伯特发起了几何公理化运动，并迅速从几何扩与算术，数理逻辑，概率论等领域，由此而形成 的公理化方法，已经成了

20、现代数学的重要方法之一。4、直到18世纪末，人们认为现实的空间只能是欧氏几何所描述的那种形式，即所谓的绝对“平直”的空间，不可能还有别的什么形式。所谓空间“平直”，主要体现在平行公设中，即在平面上过直线外一点，只能作一条直线和它不相交，这种不相交的直线就称为平行线。“平直”空间理论还认为三角形角和等于180度， 它的曲率等于零，1718世纪的牛顿力学就是建立在这种空间观念上的，这就是牛顿的绝对空间。随着实践规模的扩大，在航海中发现地面是弯曲的，接近于球面，19世纪，由于交通动输事业的发展，需要精确测量两地间的距离。这就要考虑曲面上的关系，促使人们对曲面进行深入研究。人们还通过天文观测考察认识了

21、遥远空间的性质。这样由于实践规模的扩大，人们对空间的绝对“平直”发生了怀疑，逐渐形成了新的空间观念，由“平直”空间到“弯曲”空间。在一般的黎曼空间中，空间每一点的曲率（弯的程度）是不同的， 即黎曼空间不均匀的，在特殊的情况下，黎曼空间可以是均匀的，即具有常量的曲率，常量曲率空间有三种类型：1、零曲率空间，即欧几里得空间（平面上的每一点的曲率都等于0）；2、负曲率空间，即罗巴切斯基空间（向凹陷的曲面，如象高音喇叭，锅底或与马鞍形向凹的特殊曲面，一般叫做伪球面，它的曲率是负数，三角形的角和小于180度。）3、正曲率空间，即狭义的黎曼空间（如果一曲面象球面或者鸡蛋壳那样是向外凸起的，其曲率为正数，球

22、面三角形的角和大于180度。这样，欧氏几何和罗氏几何就都成为更一般的黎曼几何的特例 了。 欧氏几何过去一直被认为是现实空间的标准描述，而众多的数学和物理学分支，都依赖着现实空间的基本性质，因而也在使用欧氏几何中的理论。非欧几何的创立，改变了欧氏几何是描述现实空间唯一真理的看法。这必然对空间和时间的物理观念产生重大影响，这对促成爱因斯坦（Einstein,18791955）相对论与量子力学的诞生，起了理论上的启示作用。按相对论的观点，宇宙结构的几何学，恰恰是接近于非欧几何，而不是欧氏几何。总之，非欧几何从它的先驱的工作开始，到最后被公认共计两百余年。由此证明了人们生存的空间只是在小围可以被视为欧

23、氏空间，而大围空间与整个宇宙必须用非欧几何来描述。至此，非欧几何取得了彻底胜利。三种几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理间满足和谐性，独立性和完备性，因此它们都是正确的，他们都在某一个侧面上反映了现实空间。在我们这个不大不小，不远不近的空间里，即在我们日常生活中，欧氏几何是适用的，在宇宙空间（或原子核世界）中，罗氏几何更符合客观实际；在地球表面研究航海，航空等实际问题中，黎曼几何就更适用了。希尔伯特说：“19世纪最有启发性，最重要的数学成就是非欧几何的发现。”由于罗氏的和黎曼的非欧氏几何的发现，几何学从其传统的束缚中解放出来了，从而为大批的，新的， 有趣的几何发明开辟了广阔的道

24、路。这些新的几何的公设基础都与欧氏几何的公设基础有这样那样的区别。这些新的几何是：非阿基米德几何，非笛沙格几何，黎曼于1854年开始讨论的一整套黎曼几何，非黎曼几何，有限几何（它只包含有限多的点，线和面），许许多多，最近又有所谓“分形几何”。六、欧氏，罗氏，黎曼三种几何学的对立统一关系 我们曾经讨论了平面上的图形的性质，即平面几何学。同样我们也可以在某些曲面上讨论图形的性质，象建立平面几何学一样来建立曲面上的几何学，一般称之为曲面的在（或蕴）几何学。例如球面几何学就是这样的几何学。而平面可以看成是特殊的曲面。 高斯曲率是表示曲面弯曲程度的一个量。各处高斯曲率都一样的曲面称为常曲率曲面，例如平面

25、，球面等都是常曲率曲面，人们在研究常曲率曲面的在几何时，证明了常曲率曲面上的在几何只有三种：当高斯曲率等于0时，称为抛物型几何学，欧氏平面几何就是一个例子；当高斯曲率为小于0的常数时，称为双曲型几何学，罗氏几何学就是一个例子，当高斯曲率为大于0的常数时，称为椭圆型几何学，纯球面几何学就是一个例子。这样就从常曲率曲面的在几何学的关系上，通过高斯曲率把三种几何统一起来了，说明了三种几何学的意义和并存的必要。三种几何学都仅仅是在一定条件下相对的从某一个侧面反映现实空间。当我们在日常工作中作一局部测量时，显然可以看成是欧氏几何学的现象，引用欧氏几何的规律即可以正确地解决了。但当我们从航海到伦敦，则是球面上的运动，因而不能用两点间直线最短的规律来测量这样的距离了，这时