数值分析第4章 数值积分与数值微分

1、第4章 数值积分与数值微分1 数值积分的基本概念实际问题当中常常需要计算定积分。在微积分中，我们熟知，牛顿莱布尼兹公式是计算定积分的一种有效工具，在理论和实际计算上有很大作用。对定积分，若在区间上连续，且的原函数为，则可计算定积分似乎问题已经解决，其实不然。如1）是由测量或数值计算给出数据表时，Newton-Leibnitz公式无法应用。2）许多形式上很简单的函数，例如等等，它们的原函数不能用初等函数的有限形式表示。3）即使有些被积函数的原函数能通过初等函数的有限形式表示，但应用牛顿莱布尼兹公式计算，仍涉及大量的数值计算，还不如应用数值积分的方法来得方便，既节省工作量，又满足精度的要求。例如下

2、列积分对于上述这些情况，都要求建立定积分的近似计算方法数值积分法。1.1数值求积分的基本思想根据以上所述，数值求积公式应该避免用原函数表示，而由被积函数的值决定。由积分中值定理：对，存在，有表明，定积分所表示的曲边梯形的面积等于底为而高为的矩形面积（图4-1）。问题在于点的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出。我们将称为区间上的平均高度。这样，只要对平均高度提供一种算法，相应地便获得一种数值求积分方法。如果我们用两端的算术平均作为平均高度的近似值，这样导出的求积公式 (4-1)便是我们所熟悉的梯形公式（图4-2）。而如果改用区间中点的“高度”近似地取代平均高度，则可导出所谓中矩形公式（简称

3、矩形公式） (4-2)更一般地，我们可以在区间上适当选取某些节点，然后用加权平均得到平均高度的近似值，这样构造出的求积公式具有下列形式： 图4-1 图4-2 (4-3)式中称为求积节点；成为求积系数，亦称伴随节点的权。权仅仅与节点的选取有关，而不依赖于被积函数的具体形式。这类由积分区间上的某些点上处的函数值的线性组合作为定积分的近似值的求积公式通常称为机械求积公式，它避免了Newton-Leibnitz公式寻求原函数的困难。对于求积公式(4-3)，关键在于确定节点和相应的系数。1.2 代数精度的概念由Weierstrass定理可知，对闭区间上任意的连续函数，都可用多项式一致逼近。一般说来，多项

4、式的次数越高，逼近程度越好。这样，如果求积公式对阶多项式精确成立，那么求积公式的误差仅来源于阶多项式对连续函数的逼近误差。因此自然有如下的定义定义4.1 如果某个求积公式对于次数不超过的多项式均准确地成立，但对于次多项式就不准确成立，则称该求积公式具有次代数精度。例1 判断求积公式的代数精度。解 记因为所以求积公式具有5次代数精度。1.3插值型的求积公式最直接自然的一种想法是用在上的插值多项式代替，由于代数多项式的原函数是容易求出的，我们以在上的积分值作为所求积分的近似值，即这样得到的求积分公式称为插值型求积公式。通常采用Lagrange插值。设上有个互异节点，的次Lagrange插值多项式为

5、其中，插值型求积公式为 (4-4)其中。可看出，仅由积分区间与插值节点确定，与被积函数的形式无关。求积公式(4-4)的截断误差为 (4-5)定义4.2 求积公式如其系数，则称此求积公式为插值型求积公式。定理4.1形如(4-3)的求积公式至少有次代数精度的充分必要条件是插值型的。证明 如果求积公式(4-3)是插值型的，由公式(4-5)可知，对于次数不超过的多项式，其余项等于零，因而这时求积公式至少具有次代数精度。反之，如果求积公式(4-3)至少具有次代数精度，那么对于插值基函数应准确成立，并注意到，即有所以求积公式(4-3)是插值型的。1.4 求积公式的收敛性与稳定性定义4.3 在求积公式(4-

6、3)中，若其中，则称求积公式(4-3)是收敛的。实际使用任何求积公式时，除截断误差外，还有舍入误差，因此我们必须研究其数值稳定性。在求积公式(4-3)中，由于计算可能产生误差，实际得到，即，记如果对任给正数，只要误差充分小就有 (4-6)它表明求积公式(4-3)计算是稳定的，由此给出：定义4.4对任给，若存在，只要就有(4-6)成立，则称求积公式(4-3)是稳定的。定理4.2 若求积公式(4-3)中系数，则此求积公式是稳定的；若有正有负，计算可能不稳定。证明 对任给，若取，对都有，则有注意对任何代数精度的求积公式均有可见时，有由定义4.4可知求积公式(4-3)是稳定的。若有正有负时，假设，且，

7、有它表明初始数据的误差可能会引起计算结果误差的增大，即计算可能不稳定。2 Newton-Cotes公式2.1 Cotes系数被积函数在积分区间内变化平缓，可用等距节点插值公式近似。将积分区间划分为等分，步长，等距节点。此时求积公式(4-4)中的积分系数可得到简化作变换，则有令则，求积公式(4-4)可简化为 (4-7)称为阶Newton-Cotes公式，简记为N-C公式，称为Cotes系数。由的表达式可看出，它不但与被积函数无关，而且与积分区间也无关。因此可将Cotes系数事先列成表格供查用（见表4-1）。N-C公式的截断误差为 (4-8)时 (4-9)为梯形公式时(4-10)为辛普生公式。时

8、(4-11)为Cotes公式。表4-112345678从表4-1可看出，当时出现了负系数，由定理4.2可知，实际计算中将使舍入误差增大，并且往往难以估计。从而Newton-Cotes公式的收敛性和稳定性得不到保证，因此实际计算中不用高阶Newton-Cotes公式。2.2 偶阶求积公式的代数精度作为插值型的求积公式，阶的牛顿-柯特斯公式至少具有次的代数精度。求积公式的代数精度能否进一步提高呢？定理4.3当阶为偶数时，公式(4-7)至少具有次代数精度。证明 我们只要验证，当为偶数时，N-C公式对的余项为零。按余项公式(4-8)，由于这里，从而引进变换，并注意到，有当为偶数，则为整数，再令，进一步

9、有因为被积函数为奇函数。2.3 几种低阶求积公式的余项梯形求积公式的余项为由于在上不变号，利用积分中值定理有 (4-12)Simpson公式的余项为这里。构造次数不超过3的多项式，使满足由于Simpson公式具有三次代数精度，它对于这样构造的三次式是准确的，即所以由第二章的例6，可知因在上保号，应用积分中值定理有 (4-13)3复化求积公式前面导出的误差估计式表明，用N-C公式计算积分近似值时，步长越小，截断误差越小。但缩小步长等于增加节点数，亦即提高插值多项式的次数，Runge现象表明，这样并不一定能提高精度。理论上已经证明，当时，N-C公式所求得的近似值不一定收敛于积分的准确值，而且随着的

10、增大，N-C公式是不稳定的。因此，实际中不采用高阶N-C公式，为提高计算精度，可考虑对被积函数用分段低次多项式插值，由此导出复化求积公式。3.1 复化梯形公式将区间划分为等分，分点，在每个区间上采用梯形公式，则得 (4-14)记 (4-15)称为复化梯形公式，其余项为由于，且所以存在使于是复化梯形公式余项为 (4-16)从式(4-16)可以看出，余项误差是阶，所以当，有，即复化梯形公式是收敛的。事实上只要，则可得收敛性，因为由(4-15)得所以复化梯形公式(4-15)收敛。此外，的求积系数为正，由定理4.2知复化梯形公式是稳定的。3.2 复化辛普森公式将区间划分为等分，在每个区间上采用辛普森公

11、式，记则得 (4-17)记 (4-18)称为复化辛普森求积公式，其余项由(4-13)得于是当时，与复化梯形公式相似有 (4-19)可以看出误差阶是，收敛性是显然的。事实上，只要，则有此外，由于中求积系数均为正数，故知复化辛普森求积公式计算稳定。例2 根据函数表4-1表4-101用复化梯形公式和复化辛普森公式计算的近似值，并估计误差。解 由复化梯形公式由复化辛普森公式与准确值比较，显然用复化Simpson公式计算精度较高。为了利用余项公式估计误差，要求的高阶导数，由于所以有于是由复化梯形误差公式(4-16)得由复化辛普森误差公式(4-19)得例3 若用复化求积分公式计算积分的近似值，要求计算结果

12、有四位有效数字，应取多大？解 因为当时，有于是要求计算结果有四位有效数字，即要求误差不超过。又因为由式(4-16)得即，开方得。因此若用复化梯形公式求积分，应等于41才能达到精度。若用复化Simpson公式，由式(4-19)即得。故应取。4龙贝格求积公式4.1梯形公式的逐次分半算法如前所述，复化求积公式的截断误差随着步长的缩小而减少，而且如果被积函数的高阶导数容易计算和估计时，由给定的精度可以预先确定步长，不过这样做常常是很困难的，一般不值得推崇。实际计算时，我们总是从某个步长出发计算近似值，若精度不够可将步长逐次分半以提高近似值，直到求得满足精度要求的近似值。设将区间分为等分，共有个分点，如

13、果将求积区间再二分一次，则分点增至个，我们将二分前后两个积分值联系起来加以考虑。注意到每个子区间经过二分只增加了一个分点，用复化梯形公式求得该子区间上的积分值为注意，这里代表二分前的步长，将每个子区间上的积分值相加得即 (4-20)这表明，将步长由缩小为时，等于的一半再加新增加节点处的函数值乘以当前步长。算法4.11输入2置3置，对45若，输出，停机；否则，转3。4.2李查逊（Richardson）外推法假设用某种数值方法求量的近似值，一般地，近似值是步长的函数，记为，相应的误差为 (4-21)其中是与无关的常数。若用代替(4-21)中的，则得 (4-22)式(4-22)减去式(4-21)乘以

14、，得取满足，以除上式两端，得 (4-23)其中仍与无关。令由式(4-23)，以作为的近似值，其误差至少为，因此收敛于的速度比快。不断重复以上作法，可以得到一个函数序列 (4-24)以近似，误差为。随着的增大，收敛速度越来越快，这就是Richardson外推法。4.3 龙贝格求积公式由前面知道，复化梯形公式的截断误差为。进一步分析，我们有如下欧拉麦克劳林（Euler-Maclaurin）公式：定理4.4设，则有其中系数与无关。把李查逊外推法与欧拉麦克劳林公式相结合，可以得到求积公式的外推算法。特别地，在外推算法式(4-24)中，取，并记，则有 (4-25)经过次加速后，余项便取下列形式： (4-

15、26)上述处理方法通常称为李查逊（Richardson）外推加速方法。为研究Romberg求积方法的机器实现，引入记号：以表示二分次后求得的梯形值，且以表示序列的次加速值，则依以上递推公式得到称为龙贝格求积算法。Romberg公式的计算过程见下表4-2表4-201234算法4.2(1) 输入(2) 置(3) 计算对(4)，输出停机；否则，返回(3)。例4用Romberg算法计算积分。解利用逐次分半算法(4-20)和Romberg算法(4-25)，计算结果见表4-3。表4-300.50000010.4267770.40236920.40701830.4018120.4000770.4000540

16、.40005040.4004630.4000090.40000950.4001180.4000020.4000020.4000025 高斯求积公式5.1 一般理论等距节点的插值型求积公式，虽然计算简单，使用方便，但是这种节点等距的规定却限制了求积公式的代数精度。试想如果对节点不加限制，并适当选择求积系数，可能会提高求积公式的精度。Gauss型求积公式的思想也正如此，亦即在节点数固定时，适当地选取节点与求积系数，使求积分公式具有最高精度。设有个互异节点的机械求积分公式 (2-27)具有次代数精度，那么有取，式(1)精确成立，即 (2-28)式(2)构成阶的非线性方程组，且具有个未知数，所以当给定

17、后，只要，即时，方程组有解。这表明式个节点的求积公式的代数精度可达到。另一方面，对式(1)，不管如何选择与，最高精度不可能超过。事实上，对任意的互异节点，令有，然而。定义4 如果求积分公式(4-27)具有次代数精度，则称这组节点为Gauss点，相应公式(4-27)称为带权的高斯求积公式。定理5 插值型求积公式的节点是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式与任何次数不超过的多项式带权正交，即 (4-29)证明 必要性。设，则，因此，如果是高斯点，则式(1)对于精确成立，即有故式(4-29)成立。再证充分性。对于，用除，记商为，余式为，即，其中，由式(4-29)可得 (4-30)由于所给求

18、积公式(4-27) 是插值型的，它对于是精确成立的，即再注意到，知，从而由(4-30)有可见求积公式(4-27)对一切次数不超过的多项式精确成立，因此为高斯点。证毕。定理表明在上关于权的正交多项式系中的次多项式的零点就是求积公式(4-27)的高斯点。因此，求Gauss点等价于求上关于权的次正交多项式的个实根。有了求积节点后，可如下确定求积系数其中。下面讨论高斯求积公式的余项。设在节点上的次Hermite插值多项式为，即由Hermite余项公式有定理6高斯求积公式的求积系数全是正的。证明由于具有高斯节点的高斯求积公式具有次代数精度，所以对于多项式，公式准确成立，即推论高斯求积公式是稳定的。定理7 设，高斯求积公式是收敛的，即6 数值微分在微积分学里，求函数的导