2013年西城区高三数学一模试卷文答案

1、市西城区 2013 年高三一模试卷高三数学（文科）参考及评分标准2013.4，每小题 5 分，共 40 分.一、选择题：本大题1 B；2A；3D；4B；5C；6C；7A；8B二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.10 - 7 ；413 24 ；11 x =- 1 ， 2 ；214 5 ， 7n + 22 9 0 ；12 80% ；注：11、14 题第一问 2 分，第二问 3 分.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15（本小题满分 13 分）3（）解：依题意，得 f () = 0 ，41 分即sin 3 +

2、a cos 3 =2 -22a = 0 ，3442分解得a = 15 分（）解：由（）得 f (6 分g(x) = f (x)2 - 2sin2 x= (sin- 1 -= sin 2x + cos 2x8 分=2 sin(2x +) 410 分由 2k -£ 2x +£ 2k +，2423得 k -£ x £ k +，k Î Z 8812 分3所以 g(x) 的单调递增区间为k -, k +，k Î Z 8813 分16（本小题满分 14 分）（）证明：在 ABC 中，因为 AC =3 ， AB = 2 ， BC = 1，所以 AC

3、 BC 又因为 AC FB ，所以 AC 平面 FBC 2 分4 分（）解：因为 AC 平面 FBC ，所以 AC FC 因为CD FC ，所以 FC 平面 ABCD 6 分在等腰梯形 ABCD 中可得 CB = DC = 1，所以 FC = 1BCD所以的面积为34S =7 分13所以四面体 FBCD 的体积为：VF -BCD = 3 S × FC = 12 9 分（）解：线段 AC 上点 M ，且 M 为 AC 中点时，有 EA / 平面 FDM ，证明如下： 10 分- 2 -连结CE ，与 DF 交于点 N ，连接 MN 因为 CDEF 为正方形，所以 N 为CE 中点11

4、分所以 EA / MN 12 分因为 MN Ì 平面 FDM ，EA Ë 平面 FDM ，13 分EA /平面 FDM 所以所以线段 AC 上点 M ，使得 EA /平面 FDM 成立14 分17（本小题满分 13 分）临时停车付费恰为6 元”为A ，（）解：1 分151则 P( A) = 1- ( +) =3124所以甲临时停车付费恰为6 元的概率是144 分（）解：停车付费a 元，乙停车付费b 元，其中a,b = 6,14, 22,30 6 分则甲、的停车费用的基本空间为：(6, 6),(6,14),(6, 22),(6,30),(14, 6),(14,14),(14,

5、 22),(14,30),(22, 6),(22,14),(22, 22),(22,30),(30, 6),(30,14),(30, 22),(30,30) ，共16 种情形10 分其中，(6,30),(14, 22),(22,14),(30, 6) 这4 种情形符合题意12 分停车付费之和为36 元”的概率为 P = 1 1644故“甲、13 分- 3 -18.（本小题满分 13 分）（）解： f (x) 的定义域为R ， 且 f ¢(x) = ex + a 2 分 当a = 0 时， f (x) = ex ，故 f (x) 在R 上单调递增从而f (x)没有极大值，也没有极小4

6、分值 当a < 0 时，令 f ¢(x) = 0 ，得 x = ln(-a) f (x) 和 f ¢(x) 的情况如下：故 f (x) 的单调减区间为(-¥, ln(-a)；单调增区间为(ln(-a), + ¥)从 而 f (x)的 极 小 值 为 f ( l-n a( = )-a) + a；没 有 极 大值6 分（）解：g(x) 的定义域为(0, +¥) ，且 g¢(x) = a - 1 = ax -1 xx8 分 当a = 0 时， f (x) 在R 上单调递增， g(x) 在(0, + ¥) 上单调递减，不合题意

7、9 分 当a < 0 时， g¢(x) < 0 ， g(x) 在(0, + ¥) 上单调递减当-1 £ a < 0 时， ln(-a) £ 0，此时 f (x) 在(ln(-a), + ¥) 上单调递增，由于 g(x) 在(0, + ¥)上单调递减，不合题11 分意当 a < -1 时， ln(-a )>， 此时 f (x) 在 (-¥, ln(-a) 上单调递减， 由于 f (x) 在(0, + ¥) 上单调递减，符合题意- 4 -x(-¥, ln(-a)ln(-a)(ln

8、(-a), + ¥)f ¢(x)-0+f (x)综上，a 的取值范围是(-¥, -1) 13 分19（本小题满分 14 分）（）解：依题意，直线 AB 的斜率，设其方程为 y = k(x +1) 1 分x2y2将其代入+= 1，整理得 (4k + 3)x + 8k x + 4k -12 = 0 2222433 分-8k 2设 A(x1, y1 ) ，B(x2 , y2 ) ，所以 x1 + x2 = 4k 2 + 3 4 分x + x-4k 2故点G 的横坐标为 12 =24k 2 + 3-4k 21=-，依题意，得4k 2 + 346 分解得k =±

9、1 2（）解：假设直线 AB ，使得7 分S1 = S2 ，显然直线 AB 不能与 x, y 轴垂直-4k 23kG(4k 2 + 3 4k + 3,) 由（）可得28 分因为 DG AB ，3k4k 2 + 3´ k = -1，所以-4k 2- xD4k 2 + 3-k 2-k 2=， 即4k 2 + 3解得 xDD(, 0) 4k 2 + 310 分- 5 -因为 GFD OED ，所以 S1 = S2 Û| GD |=| OD |11 分-k 2-4k 2-k 23k-) + (2) =2(4k 2 + 34k + 3所以，4k + 34k + 322212 分整理得

10、 8k 2 + 9 = 0 13 分因为此方程无解，所以不直线 AB ，使得 S1 = S2 14 分20（本小题满分 13 分）5（）解：当n = 5 时，由d ( A, B) = å| ai - bi |，i=1得 d(A, B) =|1- 2 | + | 2 - 4 | + |1- 2 | + | 2 -1| + | 5 -3| = 7 ，所以d(A, B) = 7 3 分（）证明：设 A = (a1, a2, an ) ， B = (b1,b2 ,bn ) ， C = (c1, c2 , cn ) 因为 $l > 0 ，使 AB = l BC ，所以 $l > 0

11、 ，使得(b1 - a1,b2 - a2 ,bn - an ) = l(c1 - b1, c2 - b2 ,cn - bn ) ，所以 $l > 0 ，使得bi - ai = l(ci - bi ) ，其中i = 1, 2, n bi - ai与 ci - bi (i = 1, 2, n)同 为 非 负 数 或 同 为 负所 以6 分数nn所以 d ( A, B) + d (B, C) = å| ai - bi | +å| bi - ci |i=1i=1- 6 -n= å(| bi - ai | + | ci - bi |)i=1n= å| ci

12、- ai | = d ( A,C) i=18 分20（）解法一： d ( A, B) = å| bi - ai |i=1设 bi - ai (i = 1, 2, 20) 中有 m (m £ 20)项为非负数， 20 - m 项为负数 不妨设i = 1, 2,m 时bi - ai ³ 0 ； i = m +1, m + 2,20, 20 时， bi - ai < 0 d ( A, B) = å| bi - ai |i=1所以=(b1 + b2 + bm ) -(a1 + a2 + am ) +(am+1 + am+2 + a20 ) -(bm+1 +

13、 bm+2 + b20 )因为 d(I, A) = d(I, B) =13 ，20202020所以 å(ai -1) = å(bi -1) ，åaii=1= åbi i=1整理得i=1i=120d ( A, B) = å| bi - ai |= 2b1 + b2 +i=1+ bm - (a1 + a2 + am )所以10 分b1 + b2 + bm = (b1 + b2 + b20 ) -(bm+1 + bm+2 + b20 )因为£ (13 + 20) -(20 - m)´1 =13 + m ；+ am ³ m

14、´1 = m ，又 a1 + a2 +所以 d(A, B) = 2b1 + b2 + bm -(a1 + a2 + am )£ 2(13 + m) - m = 26 即 d(A, B) £ 26 12 分对 于A = (1,1,1,14) ， B = (14,1,1,A ， B Î S20 ， 且,1)， 有d( =I, B， d(A, B) = 26 A=)d( I,综上，d ( A, B) 的最大值为26 - 7 -13 分解法二：首先证明如下引理：设 x, y Î R ，则有| x + y |£| x | + | y |证明：因为 - |x | ， - | y |£ y £| y |，所以 -(| x |+ | y |) £ x + y £| x | + | y |，即 | x + y |£| x | + | y |2020d ( A, B) = å| bi - ai |= å| (bi -1) + (1- ai ) |所以i=1i=120£ å(| bi -1| +