数分II知识点分析

1、求不定积分x sin xdxx d cos xxcos x2 x cos xdxx2 cosx2 xd sin xx2cos x2xsin x2 sin xdxx2 cos x2 xsin x2cos xc求不定积分方法：（1）两类换元法；（2）分部积分法 (重点 )；排序：与 dx 凑的依次为指数和三角，多项式适用类型：被积函数含有两种不同函数类型，或含有对数或或反三角函数求极限三种类型（ I ）变上限积分函数类型求极限（ II ）定积分的定义（数项级数转化为定积分求解）III ）利用级数收敛性求极限（级数收敛则通项为0）(x2dt )22tan x2x2 dttant0tantlim06l

2、im5x6xx 0x 0x2xtant 2dtxtant2 dtlim0lim053x03xx 03xlim tan x2limx21x09x2x 0 9x29变上限积分函数极限的解题思路：0 比 0 型或无穷比无穷采用洛必达法则（一般是用两次）；u (x )f (t )dt) f (u( x)u(x) f (v( x)v (x)(注意（ 1） v( x)（ 2） 变上限积分函数不能用变量替换或等价量替换；其它正常函数可以采用等价量替换可减少计算量典型例题： p208 例 2p209ex2 和课堂练习x 2p225 例 1 ex4lim 0sin tdt2x33x 0求 f ( x)1在 x0

3、 处的幂级数展开式 .(2 x) 21111(2x)2(2x)( 21x )2( 1( x) n )2 n02(1n)n1 xn 1n 1 xnn 0 2n1 2x(2,2)又级数nxn 1的收敛域为 (2, 2) ，故n 1 2n1f (x)1nn 1x ( 2,2)(2x)2n1 2n 1 x求函数在 xa 处的幂级数展开式 .解题思路：适当变型，凑成含有(xa) ；常数归一后用等比数列求和；求出相应的收敛域；典型例题： 求 f (x)1在 x0(或 x=4) 处的幂级数展开式 .3x 2x2P61例8P63-63ex2 （ 2,6） ex3（2）基本结论：基本初等函数的 ex,sin x

4、,cos x,ln(1x),1的幂级数展开式1x求曲线exex0 到 x1 那一段的弧长 .y2从 x解：由于y exex2，则弧长s1 y 2 dx11 ( exex) 2 dx10021 exe xexex 10dx ()220e e 21解题思路：熟记求弧长的三个公式，小心计算；记住若干函数的原函数；记住求旋转体的体积公式。典型例题：三讨论敛散性（包括绝对收敛、条件收敛、发散）1. x p dx0 1 x解：x pdx1 xpx p10 1dx1dx ，L L L L L L L L L (1分 )0xx1x（I ）对1xp0 1dx ，x（ 1）当 p0 ，1xp(1分 )0 1dx

5、为定积分 . L L L L L L L L L L L L Lx当 p 0时， x0 是瑕点，由于 lim xpx plim11，则LLLLLLLLL(1分)x01xx 01x1x pdx1pdx 有相同的收敛性。）（注：和x0 1x0（2）当 1p0，即0p 11x pdx 绝对收敛 . L L L LL (1分)时，x0 1（3）当 p1 ，即 p1时，1x p1xp0 1dxdx 发散 . L L L (1分 )x01 x（II ）对x p1dx ，1x由于 limx p 1x plim1x1，x1xxx（ 4）当 p0 ，即p11时，x pLLLL(1分)dx 绝对收敛 . L L

6、L L L L11 x（ 5）当 p0 ，即 p 11时，x pdxx pdx 发散 . L L L L L (1分 )1 1 x1 1 x综上，x pp 0 时绝对收敛，当 p1或 p 0 时发散 . L L (1分 )1dx 当 10x解题思路：若积分区间为【 0，】且只有0 和是仅有的两个瑕点，将积分分为瑕积分和无穷限反常积分分别讨论：熟记几个常见的p 积分；应用等价量关系；对数函数与幂函数的关系（课堂结论）。典型例题 1：0x pe x dx2.sin nn 1nmcos 1cos(n1)1解：由于sin n22sin 12，即sin n 部分和有界， L L (2 分)sin 1n

7、122又 1单调递减趋于 0，根据 D- 判别法，sin n 收敛 . L L L L L L (2分 )nn 1n由于 sin nsin 2 n1cos2n ， L L L L LL L LLLLL(2分)nn2n2n同理可证cos2n 收敛，又1发散，则sin n 发散， L L L L (1分 )n 12nn 1 2nn 1n故sin n 条件收敛 . L L L L L L L(1分 )n 1n解题思路： D-A判别法nsin kx1ncoskx1基本结论 ：,sin xk 1sin xk 122(1)n cos2 n( 1)n 1 cos2n(1)n 1( 1)n cos2nn 1n

8、n 12nn 12n n 12n(1)n 1cos(2)nn 12nn 12n练习题：(1)n cos2 n( 1)n sin2 n ,( 1)n sin2 nxn 1nn 1n n 1n四 （ 12 分 ） 叙 述函 数 列 fn ( x) 在 数 集 D 上 一 致 收 敛 的 定 义 ，讨 论 函 数 列fn ( x) nxe nx , n1,2,在所示区间 D 的一致收敛性 .(i) D1,)(ii)D 0,)证：函数列 fn ( x) 在数集 D 上一致收敛：对任意0，存在 NN ，当 n N 时，对任意 xD ，有fn (x)f ( x).LLLLLLLLLLLL(4分)(i) D

9、1,)对任意 x 1,) ， f ( x) lim f n ( x)limnx0，LLLLLL(1分 )enxnn则 sup f n ( x)f (x)sup nxnxsupnx 2sup220 ( n) ，x Dx Dex D (nx)xDnxn2则 limsup fn ( x) f (x)0 ， 故 fn (x) 在 D 上一致收敛 . L L L L L L (3分 )nx D(ii) D0,)对任意 x 0,) ， f ( x) lim fn (x)limnx0，L LLLLL(1分 )enxnn又 supf n ( x)f (x)f n ( 1 )f ( 1 )1 ，x Dnne则

10、lim sup f n ( x) f (x)0 ， 故 f n ( x) 在 D 上不一致收敛 . L L L L L L (3分 )nx D典型题目： p45 ex9和 ex1五. 求出幂级数n(n1)xn 的和函数，并指出其收敛域 .n 1解：由于 lim n n(n1)1 ，则收敛半径 R1 .n当 x1 时，显然n(n1)( 1)n 发散，故收敛域 (1,1).n 1设 s(x)n(n1)xn，n1f ( x)n(n1)xn 1 ，则s( x)xf ( x)n 1由于xxn(n 1)t n 1dtxn(n1)t n 1dt(n 1)xng (x) ，又f (t )dt000n 1n 1

11、n 1xx(n1)tn dtx(n1)t n dtxn 1g (t)dt000n 1nn 11xnx 11x 1L L L L L L (4分)n01x则 g ( x)(xg(t )dt )(1x1)121 ，01x(1 x)x123，LLLLLL(3分)f (x) (f (t)dt )g ( x) (1x)21)(1x)0故s( x) xf ( x)2x3LLLLLL(1分)(1x)典型题目xn1)nx n，1n2 xnx2xn 1 n(nn 1 n1n 1 n(n1)2nn 1(1x)3六（12 分）证明：函数 S(x)ln(1nx) 在 0,1上连续，且有连续的导函数 .n 1n3证：对

12、任意 n ，任意x0,1，ln(1nx)nx1，又1收敛，n3n3n2n 1 n2由 M- 判别法，ln(1nx) 在0,1 上一致收敛 . L LL LL L (3分)n 1n3又由ln(1nx)各项在0,1 上连续，n 1n3则 S( x)ln(1nx) 在 0,1上连续 .L LLLLL(2分)n1n3显然ln(1nx) 各项在0,1 上有连续的导函数且n 1n3( ln(1nx) )n1(11，LLLLLL(2分)n31 nx n3nx)n2对任意 n ，任意 x0,1，(11212，又12 收敛，nx)nnn1 n1由 M-判别法，在0,1 上一致收敛 . L L L L L L (

13、3分)2n 1 (1nx)n又由 n 1 (11各项在0,1上连续，则 S( x)n 112在0,1上连续，nx)n2(1 nx) n即S( x)ln(1nx) 在 0,1 上有连续的导函数 . LLLLLL (2分)n 1n3注 上述题目分母中3 次方，改为两次方依然成立。典型例题： P43 例 3P45ex5,， ex6 和 ex7知识的重难点（级数部分）：函数列、函数项级数（包括幂级数）的解析性定理定理重点掌握，即三个交换图成立的条件及意义；明确极限符号与求和符号、积分符号、求导符号交换顺利的条件（交换顺序需要验证的条件：连续和可积需要验证两个条件，可微分需要验证三个条件），并灵活应用（往年至少有两大题）级数和反常积分得基本判别法：（ I）一般判别分：D-A判别法； M- 判别分，莱布尼茨判别法（交错级数）（ II ） 正项级数，非负函数的无穷限反常积分：比较判别法（一般式子，极限形式更方便）、比值判别法和比式判别法（级数）；注意：比较对象：p 级数和 p 积分； 等比数列（记住基本结论