关于数列极限和函数极限解法的解析

1、关于数列极限和函数极限解法的解析王雅丽 摘 要 在数学分析中，极限的知识体系包括数列极限和函数极限。在求解数列极限的方法中，我们从极限的定义出发，根据极限的性质以及相关的定理法则，例如单调有界收敛来论证极限；另外，对于函数极限的求解，文中列出六种类型，根据函数数列的定义、性质得出相关的定理和法则，对于不同类型，采用不同的方法。上述方法对函数概念的理解和加强，以及对极限方法的掌握起很大的帮助作用。关键词 数列极限定义 单调有界收敛 无穷小量 络必达法则早在两千多年前，我们的祖先就已经能够算出正方形，圆形和柱形等几何图形的面积。公元前3世纪刘徽创立割圆术，就是用圆内接正多边形面积这一思想近似的计算

2、圆周率，并指出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以致不可割，则于圆和体而无所失矣”在数学分析中，极限是一个核心内容，同时它本身研究问题的工具。极限概念与求极限的运算贯穿了数学分析课程的始终，因此全面掌握极限的方法与技巧是学习数学分析的关键。1 数列极限 古代哲学家庄周所著的庄子·天下篇引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去。把每天截下部分的长度列出如下（单位为尺）：第一天截下，第二天截下 第n天截下 ,这样就得到一个数列 。只有无穷数列才可能有极限,有限数列无极限.不难看出,数列 的通项随着n的无限增大

3、而无限地接近于0。“无限增大”和“无限地接近”是对极限做了定性的描述，无限地接近于0说明了当无限的增大时数列的第项与0的距离要多小有多小。下面把任意小量化：对于 ，如果要求 ，只需要即可；对于 ，如果要求， 只需要即可；对于 ，如果要求， 只需要即可；由上可以看出能满足不等式的不是唯一的，这就需要一个一般的任意小的正数来代替特殊的，如，为此就出现了任意小的正数。对于 如果要求， 只需要， 即可；从数列项以后的正整数都能满足不等式，通过任意小的正整数 ，以及 的存在性揭示了数列和0当n无限增大时的关系。对于任意给的正数，存在自然数，对任意的自然数，有成立。这样就可以引出数列极限的定义，利用极限的

4、定义来求解。1.1 数列极限的定义设 为数列, 为定数，若对任给的正数，总存在正整数N，使得当时,有,则称数列收敛于,定数称为数列的极限，并记做或。逻辑符号表示： 用定义证明数列的极限 证明极限：只需证明即可，定义中的“”任意给出的，先给出之后，要找。使时有不等式成立，因此找是证明数列极限的关键，怎么样找？应该从解不等式中找，是变化过程的界限，它由确定，越小，就越大，可记为，且取定后，的取值不唯一，满足此不等式的是正整数集合的无限子集中的任意一个数作为即可。具体步骤：（1）任意取，建立不等式； （2）解不等式，找出； （3）对给定的和求出的，叙述极限的定义。例1： 证明证明： 对于， 要是不等

5、式 成立， 解得：取， 对于： ， 有成立即有。例2：证明分析：由于 因此，对任给的，只要，便有 ，即当时， 式成立，又由于式是在的条件下成立的，故应取 证明：任给，取。据分析，当时有式成立。于是本题得证。 例3：证明，其中 。证明：当时，有 ，要使不等式成立， 解得 取 于是： ，有 即：，; 当时 是常数列 则，;当时， 令 从而 ,有由知道 , , 有成立, 即： .1.2 数列极限的性质：1).唯一性：若数列收敛，则它只有一个极限。2).有界性：若数列收敛，则为有界数列，即存在正数M使得对一切正整数n有。3).保号性：若>0（或<0），则对任何（或）,存在正数N，使得当n&

6、gt;N时，有（或）。4).保不等式性：设与均为收敛数列，若存在正数，当N>时，有，则。5).迫敛性：设收敛数列与都以a为极限，数列满足：存在正数，当n>时，有，则数列收敛，且。6).四则运算法则：若与为收敛数列，则，也都是收敛数列，且有，。特别当为常数C时，有,，若假设0及则也是收敛数列，且有。1.3 数列极限的求法在以上几个性质当中，我们主要应用迫敛性及四则运算法则来求数列极限，则求数列极限方法我们总结有以下几种：1). 应用收敛数列性质求数列极限： 应用迫敛性求数列极限； 应用四则运算法则求数列极限；2). 应用 无穷小×有界变量=无穷小 求数列极限3). 通项由递

7、推关系给出的数列极限的求法利用单调有界收敛法则求之 a. 判定数列单调有界，从而证其极限存在，设为A；b. 建立数列相邻两项之间的关系式；c. 两端取极限得关于A的方程； d. 解此方程，若可解出A，即求出所求极限。例4. 已知数列的通项为 ， ，证明存在并求出极限值。证明：由， 得到，又，故设，下证，事实上故为单调增加数列，又故有上界，所以存在。设，则对两边取时的极限得到. 解得（已设去负根）故.先用递推关系式求出一般项的表示式，再求极限。例5. 设，求解：故4). 无限项之和与无限项之积的极限求法 无限项之和的极限的求法a. 先求和再求极限 常用公式：；b. 裂项相消法常用裂项法：； ；c

8、. 根据迫敛性求极限。2 无限项之积的求法a. 恒等变形法 将分子分母（分母为1）同乘以一因式，然后用平方差公式逐次相乘，将n项积化为易求极限的有理式。 将分子分母（分母为1）同乘以一因式，然后用倍角三角公式化简，将n项积化为已知极限的代数式。 用等比数列求和公式将n项积化为易于求其极限的形式。b. 商式法5). 将数列极限转化为函数极限求之。函数极限与数列极限的关系：数列可以看作是定义在正整数集上的函数，即看作是函数的特例，这样数列的极限也就可以归入函数的极限。 2 函数极限2.1 函数极限六种类型 ； ； ； ； 。 其证明方法和数列极限的证明方法类似，这里不再重复。像在下面的例题证明过程

9、中，对于一般函数列极限的证明，可直接证明定义：有成立即可。极限有明显的几何意义：对，有和两条直线，形成以为中心以为宽的带形区域，表示在轴上原点右侧总存在一点，有，表示在上函数的图像位于上述带形区域之内。例1： 证明证明： 要使不等式成立解得： 取，于是 有即：。 例2：证明 证明：不妨设， ， 为使不等式成立解得 取 于是 有即： 。 例3：证明：证明：已知有取于是，有即：2.2 利用函数的性质求函数的极限的方法 2.2.1 应用函数极限的迫敛性（夹逼法则）含有乘方或阶乘形式的函数 这类函数自变量n或x包含在幂指数，根数或对数中，且有两处出现该自变量。 常用：； ； ；已知或易求出双向不等式的

10、数列（或函数）可用夹逼法则求其极限 ；3 根号下函数含取整函数，其极限可用夹逼法则求之2.2.2 利用两个重要极限求函数极限两个重要极限： 、；例 ：求解：令，则，且当时，所以有。 例：求解：2.2.3 利用四则运算法则求函数极限例: 求解：由，则有 由四则运算法则有。2.2.4 利用无穷小量性质三角函数中常用的等价无穷小 对数函数中常用的两对等价无穷小 反三角函数中常用的两对等价无穷小 (4)数函数中常用的两对等价无穷小 二项式中常用的两对等价无穷小 差函数中常用的等价无穷小 2.2.5 利用洛必达法则求极限的方法及技巧例: 设具有一阶的连续导数，且，求。解：，则当时，为型，利用洛必达法则有

11、 例：求 解： 令 2.2.6幂指函数的极限的求法 利用下述命题 如果 （），且A,B均为有限常数，则. 换底法 利用重要极限 下列命题亦可用：命题1：设与是定义在上的两函数，且， ，则命题2：设，则命题3：设在上有定义，a,b,c为常数，则，2.2.7求极限时必须考虑左，右极限的几种函数(1) 求含的函数x趋向无穷的极限，或求含的函数x趋于0的极限;(2) 求含取整函数的函数极限;3 分段函数在分段点处的极限;4 含偶次方根的函数以及或的函数，趋向无穷的极限. 至此，我们介绍了求极限的几种主要方法，而求极限的方法并非仅有以上几种，有些方法我们还没有找到规律，形成系统，也有些方法我们尚未寻到，

12、为更好，更快，更准确地求极限，我们需要熟练掌握现有方法，只有这样我们才能更好的探索，寻求未知方法以解决求极限问题。 参考文献：1华东师范大学数学系编. 数学分析上册. 北京: 高等教育出版社, 2001年.2毛纲源. 高等数学解题方法技巧归纳（上册）. 华中科技大学出版社, 2001年8月.3谢慧民,恽自求,易法槐,钱定边. 数学分析习题课讲义.北京: 高等教育出版社.2003年6月.4姚允龙. 数学分析.上海: 复旦大学出版社. 2002年8月. 5裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法. 北京: 高等教育出版社. 1988年8月.6同济大学数学系 彭周、 华东师范大学数学系 姬燕妮. 数学分

13、析同步辅导.航空工业出版社.2005年.致 谢我的毕业论文（设计）撰写工作自始至终都是由邱桂红老师全面、具体的指导之下进行的。邱桂红老师渊博的学识、敏锐的思维、民主而严谨的作风，使我受益非浅，终生难忘。邱老师严谨的治学态度和对工作的兢兢业业、一丝不苟的精神将永远激励和鞭策我认真学习、努力工作。感谢我的指导老师邱老师对我的关心、指导和教诲！感谢我的学友和朋友对我的关心和帮助！About sequence limit and limit of function solution analysisWang Yali Directed by Prof.Qiu guihongAbstract In ma

14、thematical analysis, limit knowledge system including sequence limit and limit of function. In the solution sequence limit's method, we embark from the limit definition, according to the limit nature as well as the correlation theorem principle, for example has restraining to prove the limit monotonously; Moreover, regarding limit of function's solution, in the article lists six types, according to the function sequence's definition, the nature obtains the related theorem and the principle, regarding the different type, uses the different method. The a