关于子空间直和的教学思考和探究

1、关于子空间直和的教学思考和探究2012年2月第28卷第1期江苏教育学院(自然科学)JoumMofJiangsuInstituteofEducation(NaturMSciences)Feb.,2012Vo1.28No.1关于子空间直和的教学思考和探究徐新萍(江苏教育学院数学与信息技术学院,江苏南京210013)摘要子空间的和也是子空间,而直和是子空间和运算的一种特殊情形,是高等代数课程的重要内容之一,本文结合笔者多年的教学体会,提出关于子空间直和教学及应用的一些思考与探究.关键词子空间;直和;应用中图分类号0151.2文献标识码A文章编号16711696(2012)01002003子空间直和理

2、论是数学专业高等代数课程的重要内容,其中蕴含的线性空间分解思想为线性变换对角化和标准对角化提供了有力的理论依据.子空间直和理论无论在高等代数课程或为后继的近世代数课程中都是很重要的内容.由于这部分内容比较抽象,且判断命题叙述有多种变式,应用内容又在该教学单元之后,导致在教学中学生理解困难,掌握不理想.本文结合笔者多年的教学经验,对于子空间直和的教学及应用进行了思考与探索.一,关于子空间直和的教学策略子空间直和的概念较为抽象,为了便于学生理解和掌握,在概念引入前先复习子空间和的运算,并用一个实例加以说明:例1设V=R,1=(1,0,0),2=(0,1,0),s2:(0,0,1)(1)V1=L(1

3、,2),v2=L(3),求+,并讨论和空间元素的表示方法;(2)v3=L(l,2),v4=L(2,3),求+,并讨论和空间元素的表示方法.由两生成子空间和的结论,学生很容易得出+v2=V,+v4=此时要引导学生比较(1),(2),发现尽管两对子空间和都等于,但这两种和不一样.其中(1)中的每个向量能唯一地分解成两子空间元素的和,而(2)中的元素分解方法不唯一,如(1,1,1)=(1,1,0)+(0,0,1)=(1,0,0)+(0,1,1).根据所讲例子的思想,请学生思考下面类似问题,从而达到教学效果.V=R,1=(1,0),占2=(0,1),(1)V1:L(1),=L(2),求+;(2)v3=

4、L(1),=L(1+2),求+,并讨论和空间元素的表示方法.由(1)中的每个向量能唯一地分解成两子空间元素和的特殊性,由此引入子空间直和概念.定义设,都是线性空间的子空间,如果和+中每个向量的分解式1+2,1V1,2是唯一的,这个和就称为直和,记为.在具体应用时,通常要求证明一个线性空间是其两个子空间的直和.为了学生能理解直和的概念,在讲解定义时,要强调首先是和,然后要求满足每个向量分解是唯一的,才具备直和的条件.对于这种特殊的子空间和运算,用定义证明或检验直和问题有时很困难,当然有必要更深入研究它的性质,找出它的等价条件.定理1设,是线性空间的子空间,且=V1+,则下列命题等价(1)V=V1

5、(2)零向量表示法唯一,即若0=+:,则收稿日期20110918作者简介徐新萍(1964一),女,江苏南通人,江苏教育学院教授,博士,研究方向:代数教学与研究一20=Ot20,其中Ol1VI,Ot2v2(3)nv2=0(4)维(+)=维()+维(),即维(V)=维()+维()在教学中首先分析各等价命题的含义及相互关系,再通过循环论证的方法加以证明.二,子空间直和等价命题应用为了学生能真正理解和掌握定理1中各等价命题,在教学中主要通过具体例子说明其应用,在讲解例题时特别强调何时用何种等价命题,以及应用各等价命题的注意点.在选题时注意用不同的等价命题加以证明,同时配上类似的习题,以便学生理解掌握.

6、例2设与都是线性空间的子空间,V=,且Ol1,Ol2,OtU,1,卢2,IV是两个线性无关的向量组.证明:向量组,Ol,Ol,卢.,也线性无关.证明:设klOt1+k2ol2+OL+f11+Z22+Z=0,由V=U知,用直和的等价命题"零向量表法唯一".由1Ot1+2Ol2+OdU,Z1JB1+Z22+l,t3,得lOl1+后2Ot2+=0,Z1卢1+Z2卢2+Zf=0由1,2,OlU,卢1,卢2,是两个线性无关的向量组,则有尼1=|j2=Z1=Z2=Z=0,所以,向量组Ol,2,和卢,:,也线性无关.说明:此例题中涉及到向量组线性无关概念,故适合用直和的条件"零

7、向量表法唯一".例3设A是数域P上的n阶矩阵,且A=A.记,分别是方程组A=0与(E)=0的解空间.证明:=V1ov2.证明:VOlP,有Ol=(OlA)+,由A=A,易检验Ol-AaV1,Av2所以,P:V1+.又若OlVlnv2,有A=0,及(AE)Ol=0,则Ol=0.所以,nv2=0.于是,P=V1v2注意:此类题首先要证明P=V1十,然后再利用直和的等价条件.这里用"nv2=0"容易证明.与此题方法类似的下题由学生自行完成,以达到巩固证明一个空间等于两子空间直和的效果.习题1:设4是数域P上的n阶矩阵,且A=E.记,分别是方程组(A+E)X=0与(E)X

8、=0的解空间,证明:=Vv2.例4设A=(三)为n阶实可逆矩阵,V1,分别为齐次线性方程组AX=0,A=0的解空间.证明:=V1v2.证明:首先nI/2是齐次线性方程组r,X=0的解空间,即A=0的解空间.I4,=0因为A为n阶实可逆矩阵,所以齐次线性方程组A=0只有零解,即.nv2=0其次由nv2=0及维数公式,得维(+)=维()+维().设秩(A.)=r,则秩(A)=nr.于是维()=tl,一r,维(v2)=一(17,一r)=r.因此,维(+)=nr+r=17,=维(R)所以R=V1ov2.说明:在讲解此题时,容易得到n=0,学生就会立刻下结论R=vl,而忽略了证明R=+',2.通

9、过此例进一步说明证明直和有关命题的关键步骤.在此例题的基础上,让学生自己思考书上一个有关具体方程组的习题,以达到巩固证明一个空间等于两子空间直和的类似方法的效果.习题2:设V1,分别为齐次线性方程组+=0与1=2=的解空间,证明R=.三,与直和有关的后继内容在线性变换一章中,学习了特征值与特征向量后,可以综合直和内容,补充下面例题.例5设A为线性空间V的一个线性变换,且A=E,则A的特征值只能是1或一1.若用V与V一分别表示对应于特征值1与一1的特征子空间,证明:V=V1V证明:由特征子空间的定义一21V1=Or.1A仅=,VlIAoL=一o【.(1)v仅v,有仅:+.经检验v,v所以V=V】

10、+V一】(2)VV1nV一1,即A仪=01.,Aol=一0【.所以0【=0.因此VnV一=0由(1),(2),根据定理1(3),有V=V.V与此题方法类似的下题由学生自行完成,以达到进一步巩固证明一个空间等于两子空间直和的效果.习题3设A为线性空间V的一个线性变换,且A=A,则的特征值只能是1或0.若用V.与V.分别表示对应于特征值1与0的特征子空间,证明:V=V10V0.参考文献1北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数M.第3版.北京:高等教育出版社,2003.2杨子胥.高等代数习题解(下册)M.济南:山东科学技术出版社,2001.3杨儒生,朱平天.线性代数题解集M.南京:江苏教育

11、出版社,1997.(责任编辑印亚静)(上接第19页)(4)式中X的范围0X2b,根据X范围推得:?dO"x(5)由(2)(3)式可知,场强大小E>E>E:.可见结构的改变造成束缚电荷重新分布,束缚电荷反作用于自由电荷,进而改变自由电荷和场强的分布.所以束缚电荷的反作用不容忽视,同时自由电荷不均匀分布情况下高斯定理应用也是学习的重点.三,结论由以上讨论可知,当电场均匀分布且有某一种对称性时,应用D的高斯定理可以使问题得到简化,这是学生头脑中已经建构的知识结构.对束缚电荷对自由电荷分布的影响及非均匀电场下如何使用D的高斯定理解题的研究可以进一步扩展高斯定理的适用范围,加深对高斯定理的全面理解.因此在讲授一22一传统经典题型之余,不妨对此加以介绍,使得学生对高斯定理的应用更趋灵活,掌握得更加融会