设电梯中有一质量可以忽略的滑轮

1、 例题例题2-1 设电梯中有一质量可以忽略的滑轮，在滑轮两侧用轻设电梯中有一质量可以忽略的滑轮，在滑轮两侧用轻绳悬挂着质量分别为绳悬挂着质量分别为m1和和m2的重物的重物A和和B，已知，已知m1m2当电梯当电梯（1）匀速上升，（）匀速上升，（2）匀加速上升时，求绳中的张力和物体）匀加速上升时，求绳中的张力和物体A相对于电梯的加速度相对于电梯的加速度a 。解解 （1）取地面为参考系，如图（）取地面为参考系，如图（a）所示。把）所示。把A与与B隔离开隔离开来，分别画出它们的示意图如图（来，分别画出它们的示意图如图（b）。可以看出，每个质）。可以看出，每个质点都受两个力的作用：绳子的向上拉力和质点的

2、重力。点都受两个力的作用：绳子的向上拉力和质点的重力。m1m2ararxyOym1a1Tm1gya2Tm2gm2当电梯匀速上升时，物体对电梯的加速度等于它们对地面当电梯匀速上升时，物体对电梯的加速度等于它们对地面的加速度。选取的加速度。选取y轴的正方向向上，则轴的正方向向上，则B以以a 向上运动，而向上运动，而A以以a 向下运动。因绳子的质量可忽略，所以轮子两侧绳的向向下运动。因绳子的质量可忽略，所以轮子两侧绳的向上拉力相等。由牛顿第二定律得上拉力相等。由牛顿第二定律得由上列两式消去由上列两式消去T，解得：，解得： amgmT11 （1） amgmT22 （2）gmmmma2121 （3）把把

3、a 代入（代入（1），得），得gmmmmT21212 （4）由此解得由此解得)(11 aamgmT （5）)(22 aamgmT （6）)(2121gammmma （7）)(22121gammmmT （8）（2 ）当电梯以加速）当电梯以加速 上升时，上升时，A相对于地面的加速度相对于地面的加速度a1=a-a , B相对于地面的加速度相对于地面的加速度a1=a+a ,因此因此a 如在式（如在式（7）与式（）与式（8）中用）中用-a代替代替a，可得电梯以加速度，可得电梯以加速度a下降时的结果：下降时的结果：由此可以看出，当由此可以看出，当a=g时，时，a 与与T都等于都等于0，亦即滑轮、质点都，亦

4、即滑轮、质点都成为自由落体，两个物体之间没有相对加速度。成为自由落体，两个物体之间没有相对加速度。)(2121agmmmma （9）)(22121agmmmmT （10）显然，如果显然，如果a=0,上两式就归结为式（上两式就归结为式（3）与式（）与式（4）。）。 例题例题2-2 一个质量为一个质量为m、悬线长度为、悬线长度为 l 的摆锤，挂在架子上，的摆锤，挂在架子上，架子固定在小车上，如图（架子固定在小车上，如图（a）所示。求在下列情况下悬线的）所示。求在下列情况下悬线的方向（用摆的悬线与竖直方向所成的角方向（用摆的悬线与竖直方向所成的角 表示和线中的张力：表示和线中的张力：（1）当）当 小

5、车沿水平面以加速度小车沿水平面以加速度a1作匀加速直线运动时；作匀加速直线运动时；（2）当小车以加速度）当小车以加速度a2沿斜面（斜面与水平面成沿斜面（斜面与水平面成 角）向上角）向上作匀加速直线运动时。作匀加速直线运动时。mmmxyOlT1 a1GmmxyOT2 a2G由以上两式可以解出：由以上两式可以解出：11sinmaTx 方向：方向：0cos1 mgTy 方向：方向：解解 （1）当小车以加速度）当小车以加速度a1 向右作匀加速直线运动时，摆向右作匀加速直线运动时，摆的悬线将向左倾斜。在摆锤相对于小车来说处于相对静止的悬线将向左倾斜。在摆锤相对于小车来说处于相对静止时，摆锤的加速度也是时

6、，摆锤的加速度也是a1 ，摆的悬线与竖直方向成，摆的悬线与竖直方向成 角。角。这时摆锤所受合力等于这时摆锤所受合力等于ma1,方向水平向右。对摆锤来说，方向水平向右。对摆锤来说，它受到两个力的作用：重力它受到两个力的作用：重力G 和绳子对它的拉力和绳子对它的拉力T1 ， T1 和和 G 的合力必在水平面内，等于的合力必在水平面内，等于ma1, 方向向右。取坐标轴方向向右。取坐标轴方向如图（方向如图（b）所示，即得）所示，即得121agmT gatgarcgatg11, 22sin)90cosmaGTx （方向：方向：0cos)90sin2 GTy（方向：方向：22sin)sinmamgT （于

7、是于是 cos)cos2mgT （2）当小车以加速度）当小车以加速度 a2 沿斜面向上作匀加速直线运动时，沿斜面向上作匀加速直线运动时，在摆锤相对于小车来说处于相对静止时，摆锤的加速度也是在摆锤相对于小车来说处于相对静止时，摆锤的加速度也是a2 ，摆的悬线与竖直方向成，摆的悬线与竖直方向成 角。这时，对摆锤来说，它受角。这时，对摆锤来说，它受到重力到重力 和绳的拉力和绳的拉力 的作用，这两个力的合力等于的作用，这两个力的合力等于ma2，方向方向沿斜面向上。取坐标轴方向如图（沿斜面向上。取坐标轴方向如图（c），即得），即得由以上两式可以解出：由以上两式可以解出：222222222sin2cos)

8、sin(agagmgagmT cossin)(2gagtg cossin2gagtgarc这里，如果这里，如果a =0， a2 a1，这就是情况（，这就是情况（1），由上式可看），由上式可看出出T2将等于将等于T1， = 。又如果。又如果a2 gsin ,这就是小车在这就是小车在斜面上自由下滑的情况，这时斜面上自由下滑的情况，这时T2 mgcosmg，而，而 = ，可见这时悬线方向与斜面相垂直。可见这时悬线方向与斜面相垂直。 读者可以想见，利用一个系统（例如小车中的单摆悬读者可以想见，利用一个系统（例如小车中的单摆悬线的取向，可测知这个系统直线运动时的加速度。线的取向，可测知这个系统直线运动时

9、的加速度。 例题例题2-3 一重物一重物m用绳悬起（图），绳的另一端系在天用绳悬起（图），绳的另一端系在天花板上，绳长花板上，绳长l=0.5。重物经推动后，在一水平面内作匀速率。重物经推动后，在一水平面内作匀速率圆周运动，转速圆周运动，转速n=1r/s。这种装置叫做圆锥摆。求这时绳和。这种装置叫做圆锥摆。求这时绳和竖直方向所成的角度。竖直方向所成的角度。解解 重物作匀速圆周运动时，重物作匀速圆周运动时，加速度是向心加速度。根据加速度是向心加速度。根据牛顿第二运动定律，合外力牛顿第二运动定律，合外力的方向应与加速度的方向相的方向应与加速度的方向相同。因此本题中重物所受合同。因此本题中重物所受合外

10、力亦即绳子拉力外力亦即绳子拉力T和重力和重力G （=mg）的合力）的合力 F ，必定指，必定指向圆心。通常把这种引起向向圆心。通常把这种引起向心加速度的合外力称为向心心加速度的合外力称为向心力。向心力的量值等于质点力。向心力的量值等于质点的质量和向心加速度的乘积。的质量和向心加速度的乘积。GT OTsin Tcos TGxy式中式中 为绳和竖直方向所成的角。在水平面内，重物所受的为绳和竖直方向所成的角。在水平面内，重物所受的合力合力F的大小为的大小为Tsin ,所以所以mgGT cos（1）maT sin（2）式中式中a为向心加速度。由（为向心加速度。由（1）、（）、（2）两式可得）两式可得在

11、竖直方向上，重物所受的力是平衡的，即在竖直方向上，重物所受的力是平衡的，即gatg cossin从图中可以看出圆的半径从图中可以看出圆的半径R=lsin ,圆周长为圆周长为2 lsin ，所以，所以重物在圆周上运动的速率重物在圆周上运动的速率v= 2 lsin ,而向心加速度而向心加速度 sin4sin)sin2(2222lnlnlRva 将式将式（4）代入代入（3）得）得lng224cos 代入代入已知数据得已知数据得3160497. 05 . 0148 . 9cos2 即即 从上式可以看出，物体的转速从上式可以看出，物体的转速n愈大，愈大， 也愈大，而与也愈大，而与重物的质量重物的质量m无

12、关。无关。 应该指出，工厂里常见的离心加速器应该指出，工厂里常见的离心加速器就是根据圆锥摆原理制成的。就是根据圆锥摆原理制成的。maRBG例题例题2.4 计算一小球在水中竖直沉降的速度。已知小球的质计算一小球在水中竖直沉降的速度。已知小球的质量为量为 m 。水对小球的浮力为。水对小球的浮力为 B ，水对小球运动的粘性力为，水对小球运动的粘性力为 R=Kv，式中，式中K是和水的粘性、小球的半径有关的一个常量。是和水的粘性、小球的半径有关的一个常量。dtdvmKvBmg即即解解 先对小球所受的力作一分先对小球所受的力作一分析：重力析：重力G ，竖直向下；浮力，竖直向下；浮力B，竖直向上；粘性力，竖

13、直向上；粘性力R ，竖，竖直向上（图直向上（图a）。取向下方向为）。取向下方向为正，根据牛顿第二定律，小球正，根据牛顿第二定律，小球的运动方程可写为的运动方程可写为aGmBRvvT0.632vT0M/KtmKvBmgdtdva或或（1） 当当t=0时，设小球初速为零，由式（时，设小球初速为零，由式（1）可知，此时加速）可知，此时加速度有最大值。度有最大值。 Bmga 当小球速度当小球速度 v逐渐增加时，其加速度就逐渐减小了。令逐渐增加时，其加速度就逐渐减小了。令KBvmgvT（2） 于是式（于是式（1）可化作）可化作 mvvKdtdvTdtmKvvdvTtvTdtmKvvdv00tmKvvvT

14、Tln或或 对上式两边取积分，则有对上式两边取积分，则有 （3）tmKTTevvvtmKTevv1TTvevv632. 011式（式（4）表明小球沉降速度）表明小球沉降速度 v 随随t增大的函数关系，增大的函数关系，如图如图b所示。所示。 由式（由式（4）可知，当）可知，当t时，时，v=vT，而当而当（4）mKt 时时 ，Tu b 因小球在粘性介质中的沉降速度与小球半径有关，利用因小球在粘性介质中的沉降速度与小球半径有关，利用不同大小的小球有不同沉降速度的事实，可用来分离大小不不同大小的小球有不同沉降速度的事实，可用来分离大小不同的球形微粒。同的球形微粒。mKt 所以，只要所以，只要 时，就可

15、以认为时，就可以认为v vT。我们把。我们把vT叫做极限叫做极限速度，它是小球沉降所能达到的最大速度。也就是说，当下降时间速度，它是小球沉降所能达到的最大速度。也就是说，当下降时间符合符合 条件时，小球即以极限速度匀速下降。条件时，小球即以极限速度匀速下降。mKt 所有物体在气体或液体中降落，都存在类似情况。物体越是所有物体在气体或液体中降落，都存在类似情况。物体越是紧密厚实，它沉降速度就越大。典型例子如下：雨滴，紧密厚实，它沉降速度就越大。典型例子如下：雨滴，7.6m/s；烟粒，；烟粒，10-3 m/s；人；人 7.6m/s。xgBGF lgdtdvmgxl ）（ 例题例题2-5 有一密度为

16、有一密度为 的细棒，长度为的细棒，长度为l，其上端用细线悬着，其上端用细线悬着，下端紧贴着密度为下端紧贴着密度为 的液体表面。现将悬线剪断，求细棒在的液体表面。现将悬线剪断，求细棒在恰好全部没入液体中时的沉降速度。设液体没有粘性。恰好全部没入液体中时的沉降速度。设液体没有粘性。解解 根据已知条件，液体没有粘根据已知条件，液体没有粘性，所以在下落时细棒只受到两性，所以在下落时细棒只受到两个力：一是重力个力：一是重力 G ，方向竖直，方向竖直向下；一是浮力向下；一是浮力B ，方向竖直，方向竖直向上，如图所示。其中向上，如图所示。其中B 是个变是个变力，当棒的浸没长度为力，当棒的浸没长度为x时，时，

17、B= xg(为方便计，棒的截面积被为方便计，棒的截面积被假设为假设为1个单位）。取竖直向下个单位）。取竖直向下为为x的正方向，棒所受合外力为的正方向，棒所受合外力为xx lGB 因所求的是当浸没长度因所求的是当浸没长度x为为l时的棒速，所以上式中的变量时的棒速，所以上式中的变量t应应消去而只保留消去而只保留x和和v两个变量。考虑到这三个变量之间有关系两个变量。考虑到这三个变量之间有关系. 把它代入上式，并整理成如下形式：把它代入上式，并整理成如下形式：dtdxmv mvdvgdxxl ）（ 这样就可以积分了。这样就可以积分了。 vvlvdvlmvdvgdxxl000 ）（最后求得最后求得 lg

18、lg2 v例题例题2-6 质量质量M=3t 的重锤，从高度的重锤，从高度h=1.5处自由落到受锻压处自由落到受锻压的工件上（图），工件发生变形，如果作用的时间（的工件上（图），工件发生变形，如果作用的时间（1）=0.1s，（，（2） =0.2s。试求锤对工件的平均冲力。试求锤对工件的平均冲力。 解解 解法一：取重锤解法一：取重锤为研究对象。在为研究对象。在这这段时间内，作用在锤段时间内，作用在锤上的了有两个：重力上的了有两个：重力G，方向向下；工件，方向向下；工件对锤的支持力对锤的支持力N，方，方向向上。此支持力是向向上。此支持力是个变力，在这极短时个变力，在这极短时间间 内迅速变化，我内迅速

19、变化，我们平均支持力们平均支持力 来代来代替。替。NhGN自由落体公式，可以求出锤刚接触工件时的速度为自由落体公式，可以求出锤刚接触工件时的速度为在这极短时间在这极短时间 内，锤的速度由初速度内，锤的速度由初速度v0变到末速度变到末速度v=0。如取竖直向上的方向为坐标轴的正方向，那么，根据动量如取竖直向上的方向为坐标轴的正方向，那么，根据动量定理得到定理得到ghv20 ghMMvGN2)00 （）（ 由此得由此得)121(2 ghMgGghMN 将将M、h、 的数据代入，求得的数据代入，求得NNNs531019. 0)18 . 95 . 121 . 01(8 . 9103 . 01 . 01

20、时，时，）（ NNNs631017. 0)18 . 95 . 1201. 01(8 . 9103 . 001. 02 时，时，）（ 重锤对工件的平均冲力重锤对工件的平均冲力 的大小等于工件对锤的平均支的大小等于工件对锤的平均支持力持力 所以所以 ，但方向竖直向下。，但方向竖直向下。由上面的计算知道，锤的自重对平均冲力是有由上面的计算知道，锤的自重对平均冲力是有影响影响的。但在第的。但在第二种情况中，锤对工件的平均冲力比锤的自重要大几十倍，因二种情况中，锤对工件的平均冲力比锤的自重要大几十倍，因此，在计算过程中，可以此，在计算过程中，可以忽略忽略锤的自重的影响。锤的自重的影响。 NN NNN65

21、1017. 01019. 0 和和 解法二：动量定理不仅用于锤与工件接触的短暂时间，也可解法二：动量定理不仅用于锤与工件接触的短暂时间，也可用于锻压时的整个过程。设锤自由落下用于锻压时的整个过程。设锤自由落下h高度的时间为高度的时间为t，显，显然然ght2 0)( tGN)121()1( ghMgtGN 由此得由此得这和解法一的结果相同这和解法一的结果相同 在这锻压的整个过程中，重力在这锻压的整个过程中，重力 的作用时间为（的作用时间为（t+ )，它的冲，它的冲量大小等于量大小等于G （t+ )，方向竖直向下；，方向竖直向下；N 的作用时间为的作用时间为，它，它的冲量大小为的冲量大小为 N ，

22、方向竖直向上。由于重锤在这整个过程，方向竖直向上。由于重锤在这整个过程的初、末速度均为零，所以它的初、末动量均为零。如取竖的初、末速度均为零，所以它的初、末动量均为零。如取竖直向上的方向为坐标轴的正方向，那么，根据动量定理得到直向上的方向为坐标轴的正方向，那么，根据动量定理得到例题例题2-7 一绳跨过一定滑轮，两端分别拴有质量为一绳跨过一定滑轮，两端分别拴有质量为m及及M的的物体物体A和和B（图），（图），M大于大于m。B静止在地面上，当静止在地面上，当A自由下自由下落落h距离后，绳子才被拉紧。求绳子刚被拉紧时两物体的速距离后，绳子才被拉紧。求绳子刚被拉紧时两物体的速度，以及度，以及B能上升的

23、最大高度。能上升的最大高度。 解解 已知物体已知物体A自由下自由下落落h 距离时，正好绳距离时，正好绳子拉紧，此时子拉紧，此时A的速的速度为度为 ghv2 MAT1T2G2G1mmMB 当绳子拉紧时，当绳子拉紧时，A和和B除受到重力外，还同时受到绳子除受到重力外，还同时受到绳子的冲力作用，经过极短时间的冲力作用，经过极短时间t后，它们以相等的速率后，它们以相等的速率V运动，运动，B的的速度向上，速度向上，A的速度向下，因此的速度向下，因此B在受到冲量的前后速度在受到冲量的前后速度分别为分别为0及及V，而，而A分别为分别为-V（我们以向上的速度为正，向（我们以向上的速度为正，向下的为负）。根据动

24、量定理，得下的为负）。根据动量定理，得 )()(11mvmVtGT 0)(22 mVtGT 式中式中T1是是A所受的向上的冲力，所受的向上的冲力，T2是是B所受的向上的冲力。所受的向上的冲力。 T1 和和T2相等，都等于这时绳子中的张力。相等，都等于这时绳子中的张力。A和和B所受的重力与冲所受的重力与冲力相比较，可以忽略不计。因力相比较，可以忽略不计。因T1= T2，从式（，从式（2）和式（）和式（3）得）得mMmvV 将式（将式（1）中的）中的v代入，得代入，得 mMghmV 2 绳子拉紧后，绳子拉紧后，A和和B两物体分别作向下和向上的加速运动，加两物体分别作向下和向上的加速运动，加速度速度

25、a可根据牛顿运动定律求得：可根据牛顿运动定律求得： gmMmMa B以初速以初速V上升，其加速度方向与速度方向相反，设最后上升，其加速度方向与速度方向相反，设最后B上升的高度为上升的高度为H，这时它的瞬时速度为零，于是，这时它的瞬时速度为零，于是 aHV202 )()(2)2(22222222mMhmgmMghmaVH 例题例题2-8 矿砂从传送带矿砂从传送带A落到另一传送带落到另一传送带B，其速度，其速度v1=4m/s，方向与竖直方向成方向与竖直方向成300角，而传送带角，而传送带B与水平成与水平成150角，其速度角，其速度v2=2m/s。如传送带的运送量恒定，设为。如传送带的运送量恒定，设

26、为k=20kg/s，求落到传送，求落到传送带带B上的矿砂在落上时所受的力。上的矿砂在落上时所受的力。解解 设在某极短的时间设在某极短的时间t内落在传送带上矿砂的质量为内落在传送带上矿砂的质量为m，即即m=k t，这些矿砂动量的增量为，这些矿砂动量的增量为AB30300 030300 015150 015150 0v1mv1mv2 (mv)其量值可用矢量差方法求得其量值可用矢量差方法求得参看图参看图 (b)于是于是12)(vmvmvm smmvm/75cos24224)(22 )(mvtF 这些矿砂在这些矿砂在t时间内的平均作用时间内的平均作用力力为为 ，根据动量定理，根据动量定理，FNtsmt

27、ktvmF6 .79/98. 3)( 29sin75sin)(2 vmvm即作用力即作用力 近似地沿竖直方向向上。近似地沿竖直方向向上。F作用力作用力 的方向与的方向与 的方向相同，图的方向相同，图 (b)中的中的角角可由下式求得可由下式求得F)(vm 2.9 2.9 一柔软绳长一柔软绳长 l l ，线密度，线密度 r r，一端着地开始自由下落，一端着地开始自由下落， 下落的任意时刻，给地面的压力为多少？下落的任意时刻，给地面的压力为多少？解法一：解法一：解：解：以落地部分为研究对象，以落地部分为研究对象，运用牛顿第二定律运用牛顿第二定律tPFdd )-d(d0d)(ylvvmPylgNF )

28、(3ylgNN 0 0y yl ly y注意注意：m m是指落地部分质量。是指落地部分质量。解法二：解法二：以以 d dt t 时间内时间内将要落地的将要落地的 d dy y 段段绳子绳子为研究对象，运用牛顿第二定律为研究对象，运用牛顿第二定律)d(d0dd1yvvmPygNF 0 0y yl ly yN N1 1d dmgmgmgmgd dy y21NNN gylN)(2 11NN 注意注意：d dm m是指将要落地部分质量，恒为正值，是指将要落地部分质量，恒为正值，d dy y是绳子长度增量，是代数量，在此为负值。是绳子长度增量，是代数量，在此为负值。解法三：解法三：CCamF 将整个绳子

29、当成质点组，运用质心运动定理将整个绳子当成质点组，运用质心运动定理glNFC lm 22ddtyaCC lylyyylyC220)(2 0 0y yl ly yy yC C解法四：解法四：以整个绳子为研究对象，以整个绳子为研究对象，运用牛顿第二定律运用牛顿第二定律yvmvPglNF 0 0y yl ly y 例题例题2-10装有货物的木箱，重装有货物的木箱，重G980N，要把它运上汽车。，要把它运上汽车。现将长现将长l3m的木板搁在汽车后部，构成一斜面，然后把木的木板搁在汽车后部，构成一斜面，然后把木箱沿斜面拉上汽车。斜面与地面成箱沿斜面拉上汽车。斜面与地面成300角，木箱与斜面间的角，木箱与

30、斜面间的滑动摩擦系数滑动摩擦系数 =0.20，绳的拉力，绳的拉力 与斜面成与斜面成100角，大小为角，大小为700N，如图，如图 (a)所示。求：（所示。求：（1）木箱所受各力所作的功；）木箱所受各力所作的功；（2）合外力对木箱所作的功；（）合外力对木箱所作的功；（3）如改用起重机把木箱直）如改用起重机把木箱直接吊上汽车，能不能少做些功？接吊上汽车，能不能少做些功？F30300 0FFfrGN10100 0rf解：解： 木箱所受的力为：拉力木箱所受的力为：拉力F ，方向与斜面成，方向与斜面成100角向上；角向上；重力重力G ，方向竖直向下；斜面对木箱的支持力，方向竖直向下；斜面对木箱的支持力N

31、 ，方向垂，方向垂直于斜面向上，斜面对木箱的摩擦力直于斜面向上，斜面对木箱的摩擦力 方向和斜面平行，方向和斜面平行，与木箱运动方向相反，如图与木箱运动方向相反，如图 (b).已知已知l=3m,每个力所作的功每个力所作的功可计算如下。可计算如下。JJFlA311007. 2985. 0370010cos JJFlA321047. 15 . 0398060180cos ）（）（重力重力 所做的功所做的功A2G（1）拉力）拉力F 所做的功所做的功A1090cos3 NlA正压力正压力 所做的功所做的功A3Nrf 摩擦力摩擦力 所作的功所作的功A4；分析木箱在垂直分析上的受力；分析木箱在垂直分析上的受

32、力情况，由于木箱在垂直于斜面方向上没有运动，根据牛顿第情况，由于木箱在垂直于斜面方向上没有运动，根据牛顿第二定律得二定律得030cos10sin GFNNFGN72710sin30cos 由此可求得摩擦力由此可求得摩擦力NNNfr14572720. 0 JJlfAr4353145180cos4 因为重力和摩擦力在这里是阻碍物体运动的力，所以它们因为重力和摩擦力在这里是阻碍物体运动的力，所以它们对物体所作的功对物体所作的功 都是负值。都是负值。JAAAAA1654321 （3）如改用起重机把木箱吊上汽车，这时所用拉力）如改用起重机把木箱吊上汽车，这时所用拉力 至至少要等于重力少要等于重力 。在这

33、个拉力（。在这个拉力（F=980N）的作用下，木箱）的作用下，木箱移动的竖直距离是移动的竖直距离是lsin300。因此拉力所作的功为。因此拉力所作的功为F G（2）根据合力所作功等于各分力功的代数和，算出合）根据合力所作功等于各分力功的代数和，算出合力所作的功力所作的功JJFlA31047. 15 . 03098030sin 它等于重力它等于重力 所作的功，而符号相反（因为这时合外力所作的功，而符号相反（因为这时合外力 所作的功为零）。与（所作的功为零）。与（1）中）中 F 作的功相比较，用了起重作的功相比较，用了起重机能够少作功。我们还发现，虽然机能够少作功。我们还发现，虽然 F 比比 F

34、大，但所作的大，但所作的功功A却比却比A1为小，这是因为功的大小不完全取决于力的为小，这是因为功的大小不完全取决于力的大小，还和位移的大小及位移与力之间的夹角有关。为大小，还和位移的大小及位移与力之间的夹角有关。为了把木箱装上汽车，我们所需要作的最小功等于克服重了把木箱装上汽车，我们所需要作的最小功等于克服重力所作的功，其大小为力所作的功，其大小为1.47103J, 这对于斜面或是利用这对于斜面或是利用起重机甚至其他机械都是一样的。机械不能省功，但能起重机甚至其他机械都是一样的。机械不能省功，但能省力或省时间，正是这些场合，使我们对功的概念的重省力或省时间，正是这些场合，使我们对功的概念的重要

35、性加深了认识。现在，在（要性加深了认识。现在，在（1）中推力）中推力 F 所多作的功所多作的功JJJ3331060. 01047. 11007. 2 起的是什么作用呢？我们说：第一，为了克服摩擦力，用起的是什么作用呢？我们说：第一，为了克服摩擦力，用去去435J的功，它最后转变成热量；第二，余下的的功，它最后转变成热量；第二，余下的165J的功的功将使木箱的动能增加。将使木箱的动能增加。例题例题2-11 利用动能定理重做例题利用动能定理重做例题2-5。glglgdxxldxBGAll220021)( 应用动能定理，因初速度为应用动能定理，因初速度为0，末速度末速度v可求得如下可求得如下所得结果相同，而现在的解所得结果相同，而现在的解法无疑是大为简便法无疑是大为简便2222212121lvmvglgl gllv )2( 解：解： 如图所示，细棒下落过程中，合外力对它如图所示，细棒下落过程中，合外力对它 作的功为作的功为xx lGB 例题例题2-12 传送机通过滑到将长为传送机通过滑到将长