全等三角形经典例题(共19页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上全等三角形经典例题（全等三角形的概念和性质）类型一、全等形和全等三角形的概念1、全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设ABC和A1B1C1是全等(合同)三角形，点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界ABCA，及A1B1C1A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形(如图1)，若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形(如图2)，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的

2、是( ) （答案）B；提示：抓住关键语句，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°，B答案中的两个三角形经过翻转180°就可以重合，故选B；其它三个选项都需要通过平移或旋转使它们重合.类型二、全等三角形的对应边，对应角类型三、全等三角形性质3、如图，将长方形沿折叠，使点落在边上的点处，如果，那么等于（ ）A.60° B.45° C.30° D.15°（答案）D；（解析）因为AFE是由ADE折叠形成的，所以AFEADE，所以FAEDAE，又因为，所以FAEDAE15°.（点评）折叠所形成的三角形与原三角形是全等的

3、关系，抓住全等三角形对应角相等来解题.举一反三：（变式）如图，在长方形ABCD中，将BCD沿其对角线BD翻折得到BED，若135°，则2_.（答案）35°；提示：将BCD沿其对角线BD翻折得到BED，所以2CBD，又因为ADBC，所以1CBD，所以235°.4、 如图，ABE和ADC是ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，若1232853，的度数是_.（答案）80°（解析）1232853，设128，25，33，285336180°，5°即1140°，225°，315°ABE和ADC是ABC

4、分别沿着AB，AC翻折180°形成的，ABEADCABC2ABE，3ACDEBCBCD222350°30°80°（点评）此题涉及到了三角形内角和，外角和定理，并且要运用全等三角形对应角相等的性质来解决问题.见“比例”设未知数x是比较常用的解题思路.举一反三：（变式）如图，在ABC中，A:ABC:BCA 3:5:10，又MNCABC，则BCM：BCN等于（ ）A1:2 B1:3 C2:3 D1:4（答案）D；提示：设A3，ABC5，BCA10，则351018180°，10°. 又因为MNCABC，所以NB50°，CNCB，所以

5、NCBN50°，ACBMCN100°，BCN180°50°50°80°，所以BCM：BCN20°：80°1：4.（全等三角形判定一（SSS，SAS）类型一、全等三角形的判定1“边边边”1、如图，在ABC和ADE中，ABAC，ADAE，BDCE，求证：BADCAE.(答案与解析）证明：在ABD和ACE中，ABDACE（SSS）BADCAE（全等三角形对应角相等）.(点评）把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的判定和性质. 要证BADCAE，先找出这两个角所在的三角形分别

6、是BDA和CAE，然后证这两个三角形全等.举一反三：(变式）已知：如图，ADBC，ACBD.试证明：CADDBC.(答案）证明：连接DC， 在ACD与BDC中ACDBDC（SSS）CADDBC（全等三角形对应角相等）类型二、全等三角形的判定2“边角边”2、3、 举一反三：(变式）已知，如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，并且AE（ABAD），求证：BD180°.(答案）证明：在线段AE上，截取EFEB，连接FC，CEAB，CEBCEF90°在CBE和CFE中，CBE和CFE（SAS）BCFEAE（ABAD），2AE ABAD AD2AEABAEAFEF，

7、AD2（AFEF）AB2AF2EFABAFAFEFEBABAFABAB，即ADAF在AFC和ADC中AFCADC（SAS）AFCD AFCCFE180°，BCFE.AFCB180°，BD180°.类型三、全等三角形判定的实际应用4、如图，公园里有一条“Z字形道路ABCD，其中ABCD，在AB，BC，CD三段路旁各有一个小石凳E，M，F，且BECF，M在BC的中点.试判断三个石凳E，M，F是否恰好在一条直线上？Why？ (答案与解析）三个小石凳在一条直线上证明：AB平行CD（已知）BC（两直线平行，内错角相等）M在BC的中点（已知）BMCM（中点定义）在BME和CM

8、F中 BMECMF（SAS）EMBFMC（全等三角形的对应角相等）EMFEMBBMFFMCBMFBMC180°（等式的性质）E，M，F在同一直线上(点评）对于实际应用问题，首先要能将它化成数学模型，再根据数学知识去解决. 由已知易证BMECMF，可得EMBFMC，再由EMFEMBBMFFMCBMFBMC180°得到E，M，F在同一直线上.（全等三角形判定二（ASA，AAS）类型一、全等三角形的判定3“角边角”1、如图，G是线段AB上一点，AC和DG相交于点E.请先作出ABC的平分线BF，交AC于点F；然后证明：当ADBC，ADBC，ABC2ADG时，DEBF.(答案与解析）

9、证明：ADBC，DACC BF平分ABC ABC2CBF ABC2ADG CBFADG在DAE与BCF中DAEBCF（ASA）DEBF(点评）利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下： (1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形； (2)证明这两个三角形全等； (3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等(变式）已知：如图，在MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQNQ求证：HNPM.(答案）证明：MQ和NR是MPN的高， MQNMRN90°， 又132490°，34 12 在MPQ和NHQ中， MPQNHQ（ASA） PMHN类型二、全等三角形的

10、判定4“角角边”2、已知：如图，是经过点的一条直线，过点A、B 分别作、，垂足为E、F，求证：.(答案与解析）证明： ， 在和中（） (点评）要证，只需证含有这两个线段的.同角的余角相等是找角等的好方法.3、平面内有一等腰直角三角板（ACB90°）和一直线MN过点C作CEMN于点E，过点B作BFMN于点F当点E与点A重合时（如图1），易证：AFBF2CE当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明(答案与解析）解：图2，AFBF2CE仍成立，证明：过B作BHCE于点

11、H，CBHBCHACEBCH90°CBHACE 在ACE与CBH中， ACECBH（AAS）CHAE，BFHE，CEEF，AFBFAEEFBFCHEFHECEEF2EC(点评）过B作BHCE与点H，易证ACHCBH，根据全等三角形的对应边相等，即可证得AFBF2CE正确作出垂线，构造全等三角形是解决本题的关键.举一反三：(变式）Error! Reference source not found.已知RtABC中，ACBC，C90°，D为AB边的中点，EDF90°，EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB于E、F当EDF绕D点旋转到DEAC于E时（如图1），易证；

12、当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明.窗体底端(答案）解：图2成立； 证明图2：过点作 则在AMD和DNB中，AMDDNB（AAS）DMDNMDEEDNNDFEDN90°， MDENDF在DME与DNF中，DMEDNF（ASA）可知，类型三、全等三角形判定的实际应用4、在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为了炸掉敌军的碉堡，要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出了这样一个办法：他面向碉堡站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部.然后，

13、他转身向后，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己这岸的某一点上.接着，他用步测的办法量出了自己与该点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离.这名战士的方法有道理吗？请画图并结合图形说明理由.(答案与解析）设战士的身高为AB，点C是碉堡的底部，点D是被观测到的我军阵地岸上的点，由在观察过程中视线与帽檐的夹角不变，可知BADBAC，ABDABC90°.在ABD和ABC中，ABD和ABC（ASA）BDBC.这名战士的方法有道理.(点评）解决本题的关键是结合图形说明那名战士测出的距离就是阵地与碉堡的距离，可以先画出示意图，然后利用全等三角形进行说明.解决本题的关键是建立数学模型，将实际问题转化为数

14、学问题并运用数学知识来分析和解决.直角三角形全等判定类型一、直角三角形全等的判定“HL”1、 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ）（2）一个锐角和斜边对应相等； （ ）（3）两直角边对应相等； （ ）（4）一条直角边和斜边对应相等 （ ）(答案）（1）全等，“AAS”；（2）全等，“AAS”；（3）全等，“SAS”；（4）全等，“HL”.(解析）理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.(点评）直角三角形全等可用的判定方法有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.举一反三：(变式）下列说法中

15、，正确的画“”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（ ）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等（ ）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等（ ）(答案）（1）；（2）×；在ABC和DBC中，ABDB，AE和DF是其中一边上的高，AEDF （3）×. 在ABC和ABD中，ABAB，ADAC，AH为第三边上的高，2、已知：如图，DEAC，BFAC，ADBC，DEBF.求证：ABDC.(答案与解析）证明：DEAC，BFAC，在RtADE与RtCBF中RtADERtCBF （HL） AEC

16、F，DEBFAEEFCFEF，即AFCE在RtCDE与RtABF中，RtCDERtABF（SAS）DCEBAF ABDC.(点评）从已知条件只能先证出RtADERtCBF，从结论又需证RtCDERtABF.我们可以从已知和结论向中间推进，证出题目.3、 举一反三：(变式）4、如图，ABC中，ACB90°，ACBC，AE是BC边上的中线，过C作CFAE，垂足为F，过B作BDBC交CF的延长线于D.（1）求证：AECD；（2）若AC12，求BD的长.(答案与解析）（1）证明：DBBC，CFAE，DCBDDCBAEC90°DAEC又DBCECA90°，且BCCA，DBC

17、ECA（AAS）AECD（2）解：由（1）得AECD，ACBC，CDBAEC（HL） BDECBCAC，且AC12 BD6(点评）三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件.角的平分线的性质知识点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：

18、ABC的内心为，旁心为，这四个点到ABC三边所在直线距离相等.(典型例题）类型一、角的平分线的性质及判定1、已知：如图，在中，AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F. 求证：AEAF(答案与解析）证明：AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F. DEDF（角平分线上的点到角两边的距离相等）（垂直定义）在和中 （HL）(点评）先由角平分线的性质得出DEDF，再证，即可得出AEAF.分析已知，寻找条件，顺次证明举一反三：(变式）如图，AD是BAC的平分线，DEAB，交AB的延长线于点E，DFAC于点F，且DBDC.求证：BECF.(答案）证明：DEAE，DFAC，AD是BAC的平分线， DE

19、DF，BEDDFC90° 在RtBDE与RtCDF中，RtBDERtCDF（HL） BECF2、3、如图，AC=DB，PAC与PBD的面积相等求证：OP平分AOB(答案与解析）证明：作PMOA于M，PNOB于N ，且 又ACBD PMPN 又PMOA，PNOB OP平分AOB (点评）观察已知条件中提到的三角形PAC与PBD，显然与全等无关，而面积相等、底边相等，于是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到角平分线判定定理可得.跟三角形的高结合的题目，有时候用面积会取得意想不到的效果.4、举一反三：(变式）如图，DCAB，BAD和ADC的平分线相交于E，过E的直线分别交DC、AB于C、

20、B两点. 求证：ADABDC.(答案） 证明：在线段AD上取AFAB，连接EF，AE是BAD的角平分线，12，AFAB  AEAE，ABEAFE，BAFE由CDAB又可得CB180°，AFEC180°，又DFEAFE180°，CDFE，DE是ADC的平分线，34，又DEDE，CDEFDE，DFDC，ADDFAF，ADABDC 全等三角形全章复习与巩固类型一、巧引辅助线构造全等三角形(1)倍长中线法：1、已知，如图，ABC中，D是BC中点，DEDF,试判断BECF与EF的大小关系，并证明你的结论.(答案与解析）BECFEF；证明：延长FD到G，使DGDF,

21、连结BG、EGD是BC中点BDCD又DEDF在EDG和EDF中EDGEDF（SAS）EGEF在FDC与GDB中FDCGDB(SAS)CFBGBGBEEGBECFEF(点评）因为D是BC的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段DF，使DGDF,证明EDGEDF，FDCGDB，这样就把BE、CF与EF线段转化到了BEG中，利用两边之和大于第三边可证.有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）.举一反三：(变式）已知：如图所示，CE、CB分别是ABC与ADC的中线，且ACBABC求证：CD2CE(答案）证明： 延长CE至F使EFCE，连接BF EC为中线， AEBE在AEC与BEF中，

22、 AECBEF（SAS） ACBF，AFBE（全等三角形对应边、角相等）又 ACBABC，DBCACBA，FBCABCA ACAB，DBCFBC ABBF又 BC为ADC的中线， ABBD即BFBD在FCB与DCB中， FCBDCB（SAS） CFCD即CD2CE(2)作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形2、已知：如图所示，在ABC中，C2B，12求证：ABACCD(答案与解析）证明：在AB上截取AEAC在AED与ACD中， AEDACD（SAS） AEDC(全等三角形对应边、角相等)又 C2B AED2B由图可知：AEDBEDB， 2BBEDB BEDB BEED即BECD ABAE

23、BEACCD(等量代换)(点评）本题图形简单，结论复杂，看似无从下手，结合图形发现ABAC故用截长补短法在AB上截取AEAC这样AB就变成了AEBE，而AEAC只需证BECD即可从而把ABACCD转化为证两线段相等的问题举一反三：(变式）如图，AD是的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HDBD.(1)求证：B与AHD互补；(2)若B2DGA180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明.(答案）证明：（1）在AB上取一点M, 使得AMAH, 连接DM. CADBAD, ADAD, AHDAMD. HDMD, AHDAMD. HDDB, DB MD. DMB

24、B. AMDDMB 180°, AHDB180°. 即 B与AHD互补. （2）由（1）AHDAMD, HDMD, AHDB180°. B2DGA 180°, AHD2DGA. AMD2DGM. AMDDGMGDM. 2DGMDGMGDM. DGMGDM. MDMG. HD MG. AG AMMG, AG AHHD. （3）.利用截长(或补短)法作构造全等三角形：3、如图所示，已知ABC中ABAC，AD是BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MBMCABAC(答案与解析）证明：因为ABAC，则在AB上截取AEAC，连接ME在MBE中，MBMEBE（三

25、角形两边之差小于第三边）在AMC和AME中， AMCAME（SAS） MCME（全等三角形的对应边相等）又 BEABAE， BEABAC， MBMCABAC(点评）因为ABAC，所以可在AB上截取线段AEAC，这时BEABAC，如果连接EM，在BME中，显然有MBMEBE这表明只要证明MEMC，则结论成立充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键.举一反三：(变式）如图，AD是ABC的角平分线，ABAC,求证：ABACBDDC(答案）证明：在AB上截取AEAC,连结DEAD是ABC的角平分线，BADCAD在AED与ACD中AEDADC（SAS）DEDC在BED中，BEBDDC即ABAEBDDCA

26、BACBDDC（4）.在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.4、如图所示，已知E为正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且DAEFAE求证：AFADCF(答案与解析）证明： 作MEAF于M，连接EF 四边形ABCD为正方形， CDEMA90°又 DAEFAE， AE为FAD的平分线， MEDE在RtAME与RtADE中， RtAMERtADE(HL) ADAM(全等三角形对应边相等)又 E为CD中点， DEEC MEEC在RtEMF与RtECF中， RtEMFRtECF(HL) MFFC(全等三角形对应边相等)由图可知：AFAMMF， AFADFC(等量代换)(点评）与角平分

27、线有关的辅助线： 在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段. 四边形ABCD为正方形，则D90°而DAEFAE说明AE为FAD的平分线，按常规过角平分线上的点作出到角两边的距离，而E到AD的距离已有，只需作E到AF的距离EM即可，由角平分线性质可知MEDEAEAERtAME与RtADE全等有ADAM而题中要证AFADCF根据图知AFAMMF故只需证MFFC即可从而把证AFADCF转化为证两条线段相等的问题5、如图所示，在ABC中，AC=BC，ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E， ，求证：BD是ABC的平分线(答案

28、与解析）证明：延长AE和BC，交于点F，ACBC，BEAE，ADE=BDC（对顶角相等），EAD+ADE=CBD+BDC即EAD=CBD在RtACF和RtBCD中所以RtACFRtBCD（ASA）则AF=BD（全等三角形对应边相等）AE=BD，AE=AF，即AE=EF在RtBEA和RtBEF中，则RtBEARtBEF（SAS）所以ABE=FBE（全等三角形对应角相等），即BD是ABC的平分线(点评）如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决平时练习中多积累一些辅助线的添加方法.类型二、全等三角形动态型问题6、在ABC中，ACB90°

29、，ACBC，直线经过顶点C，过A，B两点分别作的垂线AE，BF，垂足分别为E，F。（1）如图1当直线不与底边AB相交时，求证：EFAEBF。（2）将直线绕点C顺时针旋转，使与底边AB相交于点D，请你探究直线在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系，ADBD；ADBD；ADBD.(答案与解析）证明：（1）AE，BF，AECCFB90°，1290°ACB90°，2390°13。在ACE和CBF中，ACECBF（AAS）AECF，CEBF EFCECF，EFAEBF。（2）EFAEBF，理由如下：AE，BF，AECCFB90°，1290°A

30、CB90°，2390°，13。在ACE和CBF中ACECBF（AAS）AECF，CEBFEFCFCE，EFAEBF。 EFAEBFEFBFAE证明同.(点评）解决动态几何问题时要善于抓住以下几点：(1) 变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用；(2) 图形在变化过程中，哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化；原来的线段之间、角之间的位置与数量关系是否还存在是解题的关键；(3) 几种变化图形之间，证明思路存在内在联系，都可模仿与借鉴原有的结论与过程，其结论有时变化，有时不发生变化.举一反三：(变式）已知：在ABC中，BAC90°，ABAC

31、，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF（1）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图1，求证：CFBD （2）当点D运动到线段BC的延长线上时，如图2，第（1）问中的结论是否仍然成立，并说明理由.(答案）证明：（1）正方形ADEF ADAF，DAF90° DAFDACBACDAC，即BADCAF 在ABD和ACF中， ABDACF（SAS） BDCF （2）当点D运动到线段BC的延长线上时，仍有BDCF 此时DAFDACBACDAC，即BADCAF 在ABD和ACF中， ABDACF（SAS） BDCF全等三角形全章复习与巩固（基础）类型一、

32、全等三角形的性质和判定1、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；(2)证明：DCBE .(答案与解析)解：（1）BAECAD 证明：BACEAD90° BAC CAEEAD CAE 即 BAECAD 又ABAC，AEAD， ABEACD（SAS）（2）由（1）得BEACDA,又COEAOD BEACOE CDAAOD90° 则有DCE180° 90°90°， 所以DCBE.(点评)ABE与AC

33、D中，已经有两边，夹角可以通过等量代换找到，从而证明ABEACD；通过全等三角形的性质，通过导角可证垂直.我们可以试着从变换的角度看待ABE与ACD，后一个三角形是前一个三角形绕着A点逆时针旋转90°得到的，对应边的夹角等于旋转的角度90°，即DCBE.举一反三：(变式)如图，已知：AEAB，ADAC，ABAC，BC，求证：BDCE.(答案)证明：AEAB，ADAC， EABDAC90° EABDAEDACDAE ，即DABEAC. 在DAB与EAC中，DABEAC （SAS） BDCE.类型二、巧引辅助线构造全等三角形(1)作公共边可构造全等三角形：2、 如图：

34、在四边形ABCD中，ADCB，ABCD.求证：BD.(答案与解析)证明：连接AC，ADCB，ABCD. 12，34 在ABC与CDA中 ABCCDA（ASA）BD(点评)B与D不包含在任何两个三角形中，只有添加辅助线AC，根据平行线的性质，可构造出全等三角形.添加公共边作为辅助线的时候不能割裂所给的条件，如果证AC，则连接对角线BD.举一反三：(变式)在ABC中，ABAC.求证：BC(答案)证明：过点A作ADBC在RtABD与RtACD中 RtABDRtACD（HL） BC.(2)倍长中线法：3、(点评)用倍长中线法可将线段AC，2AD，AB转化到同一个三角形中，把分散的条件集中起来.倍长中线法实际上是绕着中点D旋转180°.举一反三：(变式)若三角形的两边长分别为5和7, 则第三边的中线长的取值范围是( ) A.1 6 B.5 7 C.2 12 D.无法确定(答案)A ；提示：倍长中线构