刚体转动(Motion

1、Chap 3 刚体转动（刚体转动（Motion of Rigid Body）概要：实际的物体运动不总是可以看成质点的概要：实际的物体运动不总是可以看成质点的运动。运动。一、何谓刚体一、何谓刚体在任何情况下形状和大小都不发生变化的在任何情况下形状和大小都不发生变化的物体。即每个质元之间的距离无论运动或物体。即每个质元之间的距离无论运动或受外力时都保持不变。受外力时都保持不变。 mi mjcrji二、刚体运动的两种基本形式二、刚体运动的两种基本形式平动平动-刚体运动时，刚体内任一直线恒刚体运动时，刚体内任一直线恒保持平行的运动保持平行的运动 mi mj mi mj mi mj mi mj mi m

2、j二、刚体运动的两种基本形式二、刚体运动的两种基本形式1) 平动平动-刚体运动时，刚体内任一直线刚体运动时，刚体内任一直线恒保持平行的运动恒保持平行的运动 mi mj mi mjirjr mi mjOijr选取参考选取参考点点O，则：，则：) 1 (ijijrrrijvvijaacrij对（对（1）式求导：）式求导： mi mj mi mj mi mj mi mj mi mj mi mj mi mj结论：结论：刚体平动时，其上各点具有相同的速度、刚体平动时，其上各点具有相同的速度、加速度、及相同的轨迹加速度、及相同的轨迹。只要找到一点的运动。只要找到一点的运动规律，刚体的运动规律便全知道了。事

3、实上这规律，刚体的运动规律便全知道了。事实上这一点已经知道一点已经知道-质心运动已告诉了我们。也就质心运动已告诉了我们。也就是说质心运动定理是反映物体平动规律。是说质心运动定理是反映物体平动规律。2）转动）转动:定轴转动和定点转动定轴转动和定点转动刚体的各质元在运动中都绕一固定轴作圆周运刚体的各质元在运动中都绕一固定轴作圆周运动，动，称为刚体作定轴转动。称为刚体作定轴转动。OO定点转动：绕一固定点定点转动：绕一固定点转动。如陀螺。转动。如陀螺。3）刚体的一）刚体的一 般运动般运动一般运动：总可以看成是一个随质心的平动加上一般运动：总可以看成是一个随质心的平动加上绕质心的转动组合。平动转动绕质心

4、的转动组合。平动转动三、刚体定轴转动的角速度和角加速度三、刚体定轴转动的角速度和角加速度ivr ip在在p点取一质点，点取一质点，irop iirv iinrwa2)( iitra )(iirv 20021tt t 0)(20202 刚体作匀角加速度定轴转动刚体作匀角加速度定轴转动OXY刚体的平动动能刚体的平动动能niiikvmE1221平221CMv mi mjMC mi mjMC mi mjMC mi mjMC mi mjMC mi mjMC mi mjMCCv其平动动能应为各质元动能和。其平动动能应为各质元动能和。vc为质心为质心的速度的速度 miMCCv3-2转动动能转动动能 转动惯量

5、转动惯量一、转动动能一、转动动能Mnimmmm21, 刚体的动能应为各质元动能刚体的动能应为各质元动能之和，为此将刚体分割成很之和，为此将刚体分割成很多很小的质元多很小的质元222221)(2121iiiiiirmrmvmimir任取一质元任取一质元 距转轴距转轴 ，则该质元动能：，则该质元动能：故刚体的动能：故刚体的动能：212221)(2121 niiiiinikrmrmE刚体绕定轴以角速度刚体绕定轴以角速度 旋转旋转ivimr i质量不连续分布（离散）质量不连续分布（离散）212)(21 niiikrmE221021limiininmkrmEi22221)(21 Idmr 221 IEk

6、 质量连续分布质量连续分布0imMivimr idmrI2令 dmrrmIiii22质量不连续分布质量不连续分布质量连续分布质量连续分布221mvEk 221 IEk I转动惯量转动惯量 dVdsddm 线分布线分布m/面分布面分布m/S体分布体分布m/V二、决定转动惯量的三因素二、决定转动惯量的三因素hO质质BAX3）刚体转轴的位置刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）（如细棒绕中心、绕一端）1）刚体的质量刚体的质量；2）刚体的质量分布刚体的质量分布；（如圆（如圆 环与圆盘的不同）；环与圆盘的不同）；例例1）求质量为求质量为m,长为长为L的均匀细棒对下面三种的均匀细棒对下面三种 转轴的转

7、动惯量：转轴的转动惯量：转轴通过棒的中心转轴通过棒的中心o并与棒垂直并与棒垂直转轴通过棒的一端转轴通过棒的一端B并与棒垂直并与棒垂直转轴通过棒上距质心为转轴通过棒上距质心为h的一点的一点A 并与棒垂直并与棒垂直hO质质BAXdxxdm已知已知：L、m求：求：IO、IB、IA解：解：以棒中心为原点建立坐标以棒中心为原点建立坐标OX、将棒分、将棒分割割 成许多质元成许多质元dm.dxdmLm/求：求：IO2312112mLL 求：求：IBdmxLdmrIB22)2(23313mLL 2/2/2)2/(LLdxxLdxdmLm/22222LLodxxdmxdmrIhO质质BAXdmLdxx dmrI

8、A2求求IALhL 2312 2/2/2)(LLdxxh 22121mhmL 2mh 222)2(12131LmmLmLIIOB 222121)121(mLmhmLIIOA 注意注意：dxdmLm/hO质质BAXdmLdxx2mh222)()2(12131LmmLmLIIOB 质心质心222)(121)121(mLmhmLIIOA 质心质心或：或：2)2(LmIIcB 2mhIIcA 注意注意：dxdmhO质质BALm/ XdmLdxx平行轴定理平行轴定理：刚体对任一轴：刚体对任一轴A的转动惯量的转动惯量IA和和通过质心并与通过质心并与A轴平行的转轴平行的转动惯量动惯量Ic有如下关系：有如下关

9、系：2mdIICA m为刚体的质量、为刚体的质量、d为轴为轴A与轴与轴C之间的垂直距离之间的垂直距离 MCAd正交轴定理正交轴定理：（仅适用于薄板状刚体）：（仅适用于薄板状刚体） （zx、y，xy轴在刚体平面内轴在刚体平面内Iz绕垂直其平面的转轴的转动惯量，绕垂直其平面的转轴的转动惯量，Ix，Iy在转动平面内两个正交轴的转动惯量。在转动平面内两个正交轴的转动惯量。yxzIII 例题例题2）半径为半径为R的质量均匀分布的细圆环及薄的质量均匀分布的细圆环及薄圆盘，质量均为圆盘，质量均为m，试分别求出对通过质心并，试分别求出对通过质心并与环面或盘面垂直的转轴的转动惯量。与环面或盘面垂直的转轴的转动惯

10、量。RR例题例题2）半径为半径为R的质量均匀分布的细圆环及薄的质量均匀分布的细圆环及薄圆盘，质量均为圆盘，质量均为m，试分别求出对通过质心并，试分别求出对通过质心并与环面或盘面垂直的转轴的转动惯量。与环面或盘面垂直的转轴的转动惯量。RR解：（解：（1）细圆环）细圆环Rdldldm LCdlRdmRI 222222mRRRdlRL 解：（解：（2）薄圆盘）薄圆盘rdrr2drrdrds2drrdmrdI322 rdrdsdm2例题例题2）半径为半径为R的质量均匀分布的细圆环及薄的质量均匀分布的细圆环及薄圆盘，质量均为圆盘，质量均为m，试分别求出对通过质心并，试分别求出对通过质心并与环面或盘面垂直

11、的转轴的转动惯量。与环面或盘面垂直的转轴的转动惯量。RdrrdIIRmC302 2）薄圆盘薄圆盘r2rdrds2drrdmrdI322 rdrdsdm2424Rdrrdr221mR4242RRm例例3）求一质量为）求一质量为m的均匀实心球对其一条直径的均匀实心球对其一条直径为轴的转动惯量。为轴的转动惯量。解：一球绕解：一球绕Z轴旋转，离球轴旋转，离球心心Z高处切一厚为高处切一厚为dz的薄圆的薄圆盘。其半径为盘。其半径为22ZRrdZZRdZrdV)(222dZZRdVdm)(22dZZRdmrdI2222)(2121 其体积：其体积：其质量：其质量：其转动惯量：其转动惯量：YXZORrd ZZ

12、dmrdI221 2552158mRR334Rm dIIRRdZZR222)(21YXZORrd ZdZZR222)(21Am, m,R 例例3 系统由一个细杆和一个小球组成，求绕过系统由一个细杆和一个小球组成，求绕过A点的轴转动时的转动惯量。点的轴转动时的转动惯量。球球杆杆解解：IIIA 231mlI 杆杆2)(lRmIIOA 球球球球由由平平行行轴轴定定理理：252mRIO 球球222)(5231lRmmRmlIA 练习七练习七3-3 力矩力矩 转动定律转动定律Frp FrM矢量式：矢量式：sinrFM 力矩：力矩：注意注意：单位：米单位：米.牛顿牛顿1）力）力 必须在转动平面内：必须在转

13、动平面内：FFrM FF2）若力）若力 不在转动平面内，不在转动平面内， 分解成分解成,/平面平面，FF平面平面/FrM 一、力矩一、力矩3）若刚体受）若刚体受N个外力作用，个外力作用，NFFF,21iiiiFrM合力是连续的力是连续的FdrM合iiiNNiiFrFrFrFrMM2211合力不连续力不连续例例1，均匀细杆，在平面内以角速度，均匀细杆，在平面内以角速度转动，求转动，求M摩擦力摩擦力。rrdrdm解解力是连续的力是连续的 FdrM合合其中：其中：drlmggdmdF 所以所以mglrdrlmgrdFMl 2110 合合F例例2，现有一圆盘在平面内以角速度，现有一圆盘在平面内以角速度

14、转动，求转动，求摩擦力产生的力矩（摩擦力产生的力矩（、m、R）。）。rdr解解rdrRmdsdm 22 取细圆环为质元取细圆环为质元rdrRmgrgdmrrfdM 22 gmRdrrRmgdMMR 322022 要揭示转动惯量的物理意义，实际上是要找到一个要揭示转动惯量的物理意义，实际上是要找到一个类似于牛顿定律的规律类似于牛顿定律的规律转动定律。转动定律。二、转动定律二、转动定律OziriFiF内ii刚体可看成是由许多小质元刚体可看成是由许多小质元组成，在组成，在p点取一质元，点取一质元，iiirdmm),( 受力：外力受力：外力 ，与，与 成成 角角iFiri合内力合内力 ，与，与 成成

15、角角iF内内iri)(itiniiiiiaamamFF 内内- )()()()(itiiniiitiniiiiiararmaarmFFr 内内用 左叉乘式ir0 iniar)()(itiiiiiarmFFr 内内,0traiit 2iitirar - iiiiiirmFrFr2)( 内内 )(2 iiiiiiiiirmFrFr内内对整个刚体，对对整个刚体，对式求和式求和0 iiiFr内内)(2 iiirmI IFrMiii 合外力合外力IM 转动定律转动定律注意：注意：M、I、都是相对于同一转轴而言。都是相对于同一转轴而言。IM定轴转动定律定轴转动定律：绕某定轴转动的刚体，所受：绕某定轴转动的

16、刚体，所受合外力矩在该轴上的分量等于刚体对该轴的合外力矩在该轴上的分量等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积。转动惯量与角加速度的乘积。IM 或或说明说明：1）定律是瞬时对应关系；定律是瞬时对应关系；如图可将力分解为两个如图可将力分解为两个力，只求那个垂直于轴力，只求那个垂直于轴的力的力矩就可以了。的力的力矩就可以了。ZFF F ZMr2）,JM应是对同应是对同一轴而言的一轴而言的如何求力对轴的矩呢？如何求力对轴的矩呢？3 3）转动定律说明了）转动定律说明了I I是物体转动惯性大小的量是物体转动惯性大小的量度。因为：度。因为：IM一定时I即即I越大的物体，保持原来转动状态的性质就越大的物体，

17、保持原来转动状态的性质就越强，转动惯性就越大；反之，越强，转动惯性就越大；反之，I越小，越容越小，越容易改变状态，保持原有状态的能力越弱。或易改变状态，保持原有状态的能力越弱。或者说转动惯性越小。者说转动惯性越小。如一个外径和质量相同的实心圆柱与如一个外径和质量相同的实心圆柱与空心圆筒，若空心圆筒，若 受力和力矩一样，谁转受力和力矩一样，谁转动得快些呢？动得快些呢？IMMM纸风车纸风车不敢！不敢！电风扇电风扇没事！没事！T例例1:一质量一质量m1为的物体绕在一半径为为的物体绕在一半径为r质量为质量为m2的圆盘上的圆盘上,开绐时静止开绐时静止,求重物的加速度、绳中的张力和求重物的加速度、绳中的张

18、力和t时刻重物下时刻重物下降多高降多高?(绳的质量与轴上的磨擦力不计绳的质量与轴上的磨擦力不计).rm2m1m1grm2gTTN已知已知: m1 、m2、r求：求：a、T、h解：建立转动轴的正解：建立转动轴的正方向，加速度的正方方向，加速度的正方向向.T隔离物体分析力：隔离物体分析力：列方程：列方程：a+ +m1g - T= m1a.(1)Tr=I (2)221mrI (3)a = r (4)(5)T=TraTrm2m1m1grm2gTTNTa+ +m1g - T= m1a.(1)Tr=J (2)221mrI (3)a = r (4)(5)T=TT=T=J rm1g - = m1aI rm1g

19、 - = m1r I r =m1grm1r2+Im1grm1r2+ m2r212=2m1g(2m1+m2)r=a = r =2m1g2m1+m2由由(2)式式:代入代入(1)式式:所以所以:Trm2m1m1grm2gTTNTa+ +m1g - T= m1a.(1)Tr=J (2)221mrJ (3)a = r (4)(5)T=Ta = r 221ath m1gt22m1+m2=注意注意: a等于常数且初速为零等于常数且初速为零!T=T=J r2m1g(2m1+m2)r= T=m1m2g2m1+m2所以所以:2m1g2m1+m2=m1g2T1Tr1T2Tgm2Ngm1gm3M2a1armmm.3

20、21求求：2121.TTaa解解：以：以.321mmm为研究为研究对象。对象。受力分析受力分析：,:111Tgmm,:222TgmmNgmm,:3321,TT21.TTr例例2）质量分别为）质量分别为m1。m2的物体通过轻绳挂在质的物体通过轻绳挂在质量为量为m m3 3半径为半径为 的圆盘形滑轮上。求物体的圆盘形滑轮上。求物体m m1 1。m m2 2运动的加速度以及绳子张力运动的加速度以及绳子张力, ,（绳子质（绳子质量不计）量不计）已知已知：抵消抵消建立轴的正向建立轴的正向：（力矩投：（力矩投影的正方向）影的正方向）m1m2)3(21IrTrT)5(21raa)1(1111amTgm)4(

21、2123rmI 321212121)(mmmgmmaa列方程：列方程：)2(2222amgmT+线量的正方向应满足线量的正方向应满足解上面五式得：解上面五式得：ra2T1Tr1T2Tgm2Ngm1gm3M2a1am1m23213121121212mmmgmmgmmT321212121)(mmmgmmaa3213221221212mmmgmmgmmT讨论：当讨论：当03m时时212121)(mmgmmaa+2T1Tr1T2Tgm2Ngm1gm3M2a1am1m22121212mmgmmTT例例3 3）一静止刚体受到一等于）一静止刚体受到一等于M M0 0（N.m)N.m)的不变力矩的不变力矩的作

22、用的作用, ,同时又引起一阻力矩同时又引起一阻力矩M M1 1， M1M1与刚体转动与刚体转动的角速度成正比的角速度成正比, ,即即| M| M1 1 |= |= a a (Nm),(a(Nm),(a为常数为常数) )。又已知刚体对转轴的转动惯量为又已知刚体对转轴的转动惯量为J,J,试求刚体角速试求刚体角速度变化的规律。度变化的规律。M+M0M1已知：已知：M0M1= a I |t=0=0求：求： （t）=？解：解： 1）以刚体为研究对象；）以刚体为研究对象；2）分析受力矩）分析受力矩3）建立轴的正方向；）建立轴的正方向；4）列方程：）列方程：IMM10JM+M0M1=a 解：解：4）列方程：

23、）列方程：IMM10IMM10IaM0IaMdtd0IdtaMd0tIdtaMd000ItMaMa)(ln100IateMaM00)1 (10IateMa分离变量：分离变量：练习六练习六OzFrsdd35力矩的功力矩的功 定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理一、力矩的功一、力矩的功cosdddsFsFAcosddsFsFAsinsindFrdsFA090MddFrsin力矩的功力矩的功MdA是刚体在力矩的作用下转过的角度是刚体在力矩的作用下转过的角度rdds 设一细杆的质量为设一细杆的质量为m，长为，长为L，一端支以枢轴，一端支以枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。求：而能自由旋转，设此杆

24、自水平静止释放。求：重力矩的功重力矩的功当杆到达铅直位置当杆到达铅直位置时重力矩所作的功时重力矩所作的功 ZFNmgL以杆为研究对象以杆为研究对象 受力：受力：mg，FN2sin2cos2)90sin(220200LmgLmgdLmgdLmgMdA12)(21pppEEEmgLA二、刚体的重力势能二、刚体的重力势能CpmgZE ZC质心距质心距0势能面的距离势能面的距离 mgL)cos2(LLmg三、刚体转动动能定理三、刚体转动动能定理力矩的功定义式力矩的功定义式MddA dI ddtdIdIOM1XM21X1221考虑一个过程，设在力考虑一个过程，设在力矩作用下，刚体的角位矩作用下，刚体的角

25、位置由置由角速度由角速度由21MddA 21MdA21222121II21dI2122212121IIMd此称刚体转动此称刚体转动的动能定理的动能定理定轴转动刚体的动能定理定轴转动刚体的动能定理：外力矩对转动刚体：外力矩对转动刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。所作的功，等于刚体转动动能的增量。四、刚体的机械能守恒四、刚体的机械能守恒若刚体系统若刚体系统 ，则刚体的机械能，则刚体的机械能守恒守恒E1E2。0非保守外AA例例1 设一细杆的质量为设一细杆的质量为m，长为，长为L，一端支以枢，一端支以枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。求：轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。求：当杆过铅直位

26、置当杆过铅直位置时的角加速度时的角加速度、角速度以及角速度以及此时此时A A和和C C点的线速度量值。点的线速度量值。1）以杆为研究对象）以杆为研究对象 受力：受力： mg，N（不产生（不产生对轴的力矩）对轴的力矩）建立建立OXYZ坐标系坐标系 ZNmgYX OL解解(一一)CAM建立建立OXYZOXYZ坐标系（并以坐标系（并以Z Z轴为转动量的正方向）轴为转动量的正方向）sin2LmgM sin2331sin2LgmLmgJM231mLJ ZmgYX ON) 1 (rLg 2/32/00则则 L故取正值。故取正值。Fr沿沿Z轴正向，轴正向，2） =？dtddddtd)2sin(23LgdLg

27、dcos23两边积分：两边积分：dLgdcos232/00 sin23LgZmgYX ONr dd2） =？ZmgYXONr dLgcos232/00dLgLg23sin23212/02Lg3gLLgLLvc32132121 gLLgLLvA33 解解( (二二) )：考虑杆从水平静止转到铅直方向：考虑杆从水平静止转到铅直方向的过程，重力做功，角速度从的过程，重力做功，角速度从 0 - 0 - 依动能定理依动能定理2022121JJA力矩 YXO220LmgLmg ）（ZmgNr 12)(pppEEEA 力力矩矩可得可得Lg3231mLJ 例例2，劲度系数为，劲度系数为k的轻弹簧，一端固定另一

28、端通的轻弹簧，一端固定另一端通过一定滑轮系一质量为过一定滑轮系一质量为m的物体，滑轮半径为的物体，滑轮半径为R，转动惯量为转动惯量为I，绳与滑轮无相对滑动，求物体从弹，绳与滑轮无相对滑动，求物体从弹簧原长时开始簧原长时开始(静止静止)下落到下落到h距离时的速度？距离时的速度？kmI,Rh解解机械能守恒机械能守恒222212121 Imvkhmgh Rv 解之，可得解之，可得222RImkhmghv 一）定轴转动的角动量定理积分形式一）定轴转动的角动量定理积分形式dtIddtdIIM)(122121IILddtMLLtt定轴转动的角动量定理积分形式定轴转动的角动量定理积分形式FZMZ3-5 角动

29、量定理、角动量守恒定律角动量定理、角动量守恒定律 IL 刚体的角动量：刚体的角动量：dtLdM 角动量定理微分形式角动量定理微分形式设设 时间内，刚体角速度由时间内，刚体角速度由2121tt 角冲量角冲量1221IIdtMtt角动量的增量角动量的增量注意：注意：1 1）角冲量又叫冲量矩，）角冲量又叫冲量矩，故此定理又叫冲量矩定理故此定理又叫冲量矩定理dtFrFr2 2）该定理也适应于刚体、变刚体和绕某一定）该定理也适应于刚体、变刚体和绕某一定点转动的质点：点转动的质点：1221 CCttCIIdtM 三、一长为l、质量为m的均匀细杆，可绕轴O轴转动。桌面与细杆间的滑动摩擦系数为，杆初始转速为，

30、求：（1）细杆受的摩擦力矩；（2）从到停止转动共经历的时间；（3）从到停止转动共转了多少圈（如图）。Ox0 图gdxgdmdflm,mgllggdxxxdfdMMl2120解解：（1） 00IIIMtglmglmlMIt 3221310020 （2）（一）用动量矩定律：）（一）用动量矩定律： lgIM23t0glt3200（二）亦可用转动定律：（二）亦可用转动定律： （3）（一）用运动学方法：）（一）用运动学方法：glgllgglttN 6202230223213202222102 或 22002 gl 322020 gln 6220 （二）动能定理：（二）动能定理： 20210 IM glm

31、gLmlMI 3213121212020220 glN 6220 2211II或或:二）定轴转动的角动量守恒二）定轴转动的角动量守恒,0iiM,12CLLL则若定轴转动的刚体所受对转轴的合外力矩若定轴转动的刚体所受对转轴的合外力矩恒为零，则刚体对该轴的角动量保持不变。恒为零，则刚体对该轴的角动量保持不变。) 0( ZZZMCI 注意：角动量守恒定理不仅对刚体成立而且对注意：角动量守恒定理不仅对刚体成立而且对非非 刚体也成立。刚体也成立。一般有三种情况：一般有三种情况：A A：I I不变，不变， 也不变，保持匀速转动。也不变，保持匀速转动。B B：I I发生变化，但发生变化，但I I 不变，则不

32、变，则 要发生改变。要发生改变。C C：开始不旋转的物体，当其一开始不旋转的物体，当其一部分旋转时，必引起另一部分部分旋转时，必引起另一部分朝另一反方向旋转。朝另一反方向旋转。直升飞机后面的螺旋浆直升飞机后面的螺旋浆双浆直升飞机双浆直升飞机例例1 1：质量为：质量为M M、半径为、半径为R R的转台，可绕通过中心的转台，可绕通过中心的竖直轴转动。质量为的竖直轴转动。质量为m m的人站在边沿上，人和转的人站在边沿上，人和转台原来都静止。如果人沿台边缘奔跑一周，求对台原来都静止。如果人沿台边缘奔跑一周，求对地而言，人和转台各转动了多少角度？地而言，人和转台各转动了多少角度？已知已知：0,RmM求求

33、：台人,解解：以：以M。m为研究对象为研究对象 0外力矩M故角动量守恒故角动量守恒以地面为参照，建立轴以地面为参照，建立轴的正方向如图：的正方向如图：+MXm)1(0 台台人人 II02122台人MRmR)2(2台人mMttdtmMdt002台人因人和台原来都静止故因人和台原来都静止故角动量角动量台人,（2）式）式dt积分：积分：+MXm若人和转台的角速度分别为若人和转台的角速度分别为人台ttdtmMdt002台人) 3(2台人mM)4(2 台人mMm4台mMM2人人+MX台mAAm人台子弹射入之前子弹射入之前子弹射入之后子弹射入之后MmvMM+mgNOM+NOmg已知已知：vmlM,求求：?

34、解解：例例2 2：一木杆长：一木杆长 可绕光滑端轴可绕光滑端轴O O旋转。设这旋转。设这时有一质量为时有一质量为m m的子弹以水平速度的子弹以水平速度 射入杆射入杆端并箝端并箝 入杆内，求杆偏转的角度。入杆内，求杆偏转的角度。vl射入前后的过程射入前后的过程角角 动动 量量 守守 恒！恒！在此过程中在此过程中N和和mg的力矩的角冲量可视为零的力矩的角冲量可视为零m1ZL2ZLmlvL 1 )31(222mlMlIL 系统在子弹射入之后的角动量系统在子弹射入之后的角动量：系统在子弹射入之前的角动量系统在子弹射入之前的角动量：) 1 ()31(lmMmv)31(22mlMlmlv依角动量守恒定理：依角动量守恒定理：子弹射入之前子弹射入之前mvMM+O1ZL以以M、m为研究对象，建立轴的正方向。为研究对象，建立轴的正方向。子弹射入之后子弹射入之后O2ZL以以M、m、地球地球为研究对象，为研究对象，以杆端为势能零点以杆端为势能零点初态的机械能初态的机械能22121lMgIE 末