数值分析报告所有常考例题及详细问题详解

1、第二章线性方程组的直接解法1第三章解线性方程组的迭代法5第五章非线性方程和方程组的数值解法7第六章插值法与数值微分11第七章数据拟合与函数逼近16第八章数值积分 19第九章常微分方程的数值解法23第二章线性方程组的直接解法1、用LU分解法求如下方程组的解3 3513595 9 171 30 , 22132 3520X30127解:12 4 LULY(1 0 1)TY (1,1,3 232 2 03 0 12UX Y21 3 22 1 23 31 3 13512 X1X 13231133 2232426496152、对4阶矩阵A2691861518402 4261如496152解：A2 6918

2、16 1518403进展LU分解24261 1232 1363 2113、用高斯列主元素消去法解线性方程组2x1 x2 3x31 4论 2x2 5x3 4 x1 2x2711x1 3x2 2x3323x1 11x2 x3 0x-i2x2 2x31解：对增广矩阵进展初等行变换21312 +（-2）口21315r3（ g）r2213142540412041212071r3（ 2）ri5313721000222842% x2 3x3 1同解方程组为4x2 x327214回代求解得X (9, 1, 6)t此种方法叫高斯消去法，下面用高斯列主元素消去法213142r2r142542 112071 242

3、54542 （尹1131021,1、207r3（刁）r1350624342r3Tr20200得同解方程组5127841214回代求解得4x-| 2x25x342x212 X31721X384X （9, 1, 6）t1132323111011 r 2123 1231110113231 313 23 11221122123001152235723135234723231110522311101r3（ 57）r257475757470101232323235235193223030023235757得同解方程组23x111x2 x305723 X24723 X3223571930 ()x357回代得

4、X (0.212435 , 0.549222 ,1.15544)T4、用Jordan消去法解矩阵方程，AX B其中：11110A122, B012 1110解：容易验证A 0，故A可逆，有X对其进展初等变换得1 1 1 :1 01 1 112 2：0 10 1 12 11：1 00 311 0 01 0 02 10 1 11 10 1 00 0 13 320 0 1AB .因此，写出方程组的增广矩阵,101111011011113000263212123321X A *B1232256%5、用LU分解法求解如卜方程组 41319X2636X3101930100 256解：ALU210 0373

5、41 004(1)解 Lyb1y11021y219341纸30得 y110,y219 2(01,y33430 4即 y (10, 1,4)t(2)解 Ux y2 56X11037X214X34解得：x31,x22,x3所以方程组的解为x (3,2,1)t第三章解线性方程组的迭代法11、 A aa or1假如Jacobi迭代收敛，求解：1、A a时的Jacobi迭代矩阵B2a)(a)2Jacobi迭代收敛(B)2a2、 A 113a 2 Jacobi迭代矩阵3 2aa 131B 102a3 2021 21a1a a3a2a3a3 2aaa a丄 3a a1 2aa3 2a a2(2a-(-*a

6、a2)4a2. i a2. i aJacobi迭代收敛(B) 12-i 1 a 2a2、讨论AXb 的 Jacobi迭代和 Gauss-Seidel迭代的收敛性1 2 2b(1,1,0)T其中，A 1112 2 11102 2解：Jacobi迭代法的迭代矩阵BJ1(I A)10 1122 0如此I bJ3 0(Bj) 0 1Jacobi迭代收敛Gauss-Seidel迭代矩阵110 2210 22022Bg s11 01110102122 1042 10086IBG S(2 44)0(B2)2 2罷1Gauss-Seidel迭代发散3、讨论如下迭代法的收敛性211AX b的G-S迭代A1311

7、250.10.20.30.1 x(K 1BX(k) b B0.50.10.20.10.020.30.20.30.50.10.20.0500.50.5解：(DL) 501丄B66110306E B1(30 2101) 03012-310 .202 301故(B)=max i 1 Gauss Seide迭代收敛|B|0.9 1，故B的谱半径(B) |B|1，由迭代法收敛的充分必要条件知该迭代格式收敛第五章非线性方程和方程组的数值解法1、给定函数f(x)，设对一切x， f'(x)存在且0 m f'(x) M2证明：0，迭代过程Xk 1 xkf(Xk)均收敛于f (x) 0的根M证明：

8、f(x) 0的等价形式为x x f (x)如此Xk 1 Xkf(Xk)对应的迭代函数(X) X f(x)'(x) |1f'(x)0 m f'(x) M0 m f'(x)M 20 m f'(x) M 21 1 m 1 f'(x) 1 M 1'(x)1 f'(x) max 1m,1 M 1易证f(x) 0有根，故迭代过程Xk1 Xkf(xQ收敛于f(x) 0的根2、证明:X0 R,由Xk 1cosxk(k0,1,2)所产生的序列收敛于x cosx的根证：考虑区间1,1X1,1 ,(X)cosx1,1X1,1 ,'(X)sin

9、xsin1 1xo1,1由Xk 1 COSXk所得序列收敛于cosx X的根XoR , X1 COSXo1,1 ，将X1看作新的迭代初值，如此由知序列 必收敛于X cosx的根3、利用适当的迭代格式证明im & J2逅 2k '、'k个2证：考虑迭代式Xk 12 Xk (k 0,1,2,)如此X。0x,2x2. 22显然xk0,2记迭代函数(x) J2 x,X °2 则:(X)2/x 0,2有 1°(x)0,22 °'(X)'(0)需1由迭代法的全局收敛定理压缩映像原理知X 0,2由Xki ，牙瓦所产生序列收敛于x (x).

10、 2 x的根在0,2上解方程x ,2 x得惟一根x=2。lim x 24、研究求,a的牛顿公式1 axk1 护?,x 0,k 0,1厂证明：对一切k 1,2，,兀v a，且Xk单调递减，从而收敛分析，令 x -、a,x 0,则 x2 a,x 0,令f (x) x2 a由牛顿公式Xki Xk耿xk 3 a £(Xk 3f (Xk)2Xk 2Xk2(Xk 2a证：a 0,X00,故 Xk 0, (k 1,2,)Xk 1Xk 1XkXk单调递减有下界，必收敛5、设(x) x c(x2 3)，应如何选取c才能使迭代式Xk 1(Xk)具有局部收敛2解：迭代格式Xk 1 (Xk)Xk c(Xk

11、3) k 0,1,2，x0给定局部收敛，设迭代序列的极限值为,如此有c(23).3(x) 1 2cx0时,由局部收敛定理知当'(冋1,即迭代格式Xk 1(Xk)局部收敛于3当(J3)1,即 i 2j3c 1,即o13时，由局部收敛定理知迭代格式Xk 1(Xk)局部收敛于J36给出计算X 1的迭代公式，讨论迭代过程的收敛性并证明1丄1 1 45 1X2解：令X11 1,X211 1 _1_1 1其中,Xn中有n条分数线如此:Xn 11,且Xn1Xnn则Xn 1 f (Xn)显然,Xo 0,X11WXkI,k2,3，1我们不妨在丄,12上讨论迭代式Xn 1f(Xn)的收敛性1,121f(X

12、) c1,12ii： X1,1f (X)1(1 X)2iii： f' (x)11x2,1由全局收敛定理压缩映像原理Xo1f(xk)所得序1 Xk列必收敛于方程X f (x)解方程x.5 12limnXn即：-11第六章插值法与数值微分1、设 f (x)a,b ，且 f(a) f(b)求证max f (x)a x b(b a) max f"(x)证：以a,b为插值节点进展线性插值，其插值多项式为L1(x)f(a)x a-f(b) a由插值余项定理f(x) L1(x)屮X a)(xb)(a,b)f(x)专(x a)(x b)1 max2 a b()max(x a)(x b)I2&

13、#39;'一(b a) max f (x)8a x b2、试构造一个三次Hermite插值多项式，使其满足:H(0)1,H (0)0.5,H (1)2,H (1) 0.5解：法一首先构造如下的基函数表函数值导数值01011(x)10002(X)0100Hdx)0010H2(x)0001如此：1( x)(axb)(x1)21(x)(2x '2( x)(axb)(x0)22(X)(2Hdx)ax(x1)2H(x)x(x1)2H2(x)a(x1)x2H2(X)(X1)x"H(x)(2x1)(x1)22(2x3)*x2令 H(x)法二ao3)x221)(x 1)2x(x 1)

14、2】(x 1)x22 2aaaixa2X3a3X'2如此 H (x) a1 2a2x 3a3xaaqa23、确定一个不咼于四次的多项式H(x)，使得：H (0) H'(0)0, H(1) H '(1) H (2)1解：法一首先构造如下的基函数表函数值导数值01201o(x)100001（X）010002（X）00100o(x)000101（X）00001如此:o(x)(axb)(x 1)2(x2)512o(x)( -x -)(x 1)2(x 2)(x 2)22（X）a(x1)2x22(x)1 2(x (x41)2o(x)a(x1)2*(x 2)o(X)12x(x 2)(

15、 x 1)21( x)a x21)(x 2)x1（X）(x21)(x 2)xH(x)0o(x)1 1(X)1 2（X）0-o(x) 1 1(X)x2(x 2)2 lx2(x41)2 (X1)>(x 2)x21 x42(x 3)2法二1令H (x) a。a2X2a33X4a4X(axi(x)i(x)b)x2(x 2)x2IQ2如此 H (x) a1 2a2x 3a3x 4a4xa0a1 0a2 02a303a4040a°0a0a 1a2 12a313a414 1a。a1 2a2 22a323a4241q2a20 3a302 4a4030a10a12a21 3a312 4a4131

16、得14X42 1 2,X ) X (x43)2H(x) 9x241 x2(9 6x44、求三次多项式P3（x），使得P3（0）P3(0)R(2)3解：令 P(x) a0 a1X2a2Xa3x如此P'(x)& 2a2x3a3X2aoa0a。a2a2a 1 a2 a1 20 a2 020 3a3 021222a2asa3 03013 123a3a?4a?a。aia38a3a2a35414P(x)1 34"xx2(54x)5、求一个次数3的多项式P3（x）,使得P3（0）1P3(1)2 , P3(0)P3(1)-解：令P（x）a°a1X2a2X3a3X如此P(x)

17、a<i 2a? xc 23a3xa。a 123a21a312a12a2 13a3 120.5由11得a01由12得a10.5由13得a°a1a2a：3 2由11得a12a23a30.5把a>01、a0.5代入5、6得a0ai(1)a2 023a3 0a1 02a2 0a30320.5a?1.5、831x 2e xdx的数据表如下:P(x) 10.5x 1.5x2 x3Xy(x)6给出概率积分y(x)0试用拉格朗日插值法计算x 0.427时，该积分值等于多少?心Xi0.46x?0.47x30.48捲0.49解：记y0.484655y20.493745y30.502750y4

18、0.511668将y看成x的函数y y(x)，以洛,乂2公3,人为插值节点作y(x)的3次插值多项L3(x) yd(x) y2 样l2(x) y3%(x) y/l4(x)y1(x X2)(X X3)(x xj(%X2)(%X3)(% X4)(x xj(x X3)(X X4)(X2 *)(X2 X3XX2 X4)(X X1)(X X2)(X X4)(X3 X1XX3 X2XX3 X4)(X Xj(x X2)(X X3)y(0.472)L3(0.472)0.02326344 0.42659568 0.108594 0.0163733760.495582864y4(X4 X1XX4 X2XX4 X3

19、)0.4722e x dx当x 0.472时，概率积分y(0.472)00.4955828647、利用y、匚在Xg 100, X! 121,X2 144处函数值计算-115的近似值并估计误差解：y 仮过点100，10、 121，11、 144，12，令 X0 100, yo 10, X1 121,% 11, X2 144, y2 12,如此y x的二次Lagrange插值多项式L2(x) y°l°(x) yih(x) y22(x)10(x 121)(x 144)(100 121)(100 144)(x 100)( x 144)(121 100)(121144)(x 100)

20、( x 144)(144 100)(144 121).115y(115) L2(115) 10.722756|R(115)| |III y ()3!(115 100)(115 121)(115 144) |100,14452 15 6 29113100 19.0 a bT9232.3 a b25解：法一建立超定方程组 49.0 a b312273.3 a b3897.8 a b4421 19219.01 25232.3a即：1 31249.0c b 15 6 296 8 1.63125 10第七章 数据拟合与函数逼近1、用最小二乘法求一个形如y a bx2的经验公式，使它与如下数据相拟合Xi1

21、925yi3138441 38273.31 44297.819.011111a42亠“221312b192523138442382114421 1921 25211111192 252 312 382 44232.349.073.397.8得 55327 a5327 7277699 b271.4369321.5a 0.972606b 0.0500351法二利用公式建立正规方程组5512Xii 1i 1a5252 2bXiXiX1i 155327 a5yi 152Xi yii 1271.45327 7277699 b369321.5a 0.972606b 0.05003512、求形如y aebx

22、（a,b为常数且a 0）的经验方式，使它能和下表数据相拟合Xiyi解：对经验方式y ay"作变换，有In y In a bx ，令y ln y, A ln a,则y A bx，为了用最小二乘法求出A,b将(Xi, yi)转化为(Xi, yi)Xiyi法一建立超定方程组1.629A1.00b1.756A1.25b1.876A1.50b2.008A1.75b2.135A2.00b即:1 1.001 1.25 A A1 1.50 b1 1.751 2.001.6291.7561.8762.0082.135得正规方程组11.0011.2511.5011.7512.00111111.001.2

23、5 A1.50 b1.752.001.629即:11.00 1.2511.5011.7512.001.7561.8762.0082.13555512Xiyii 1i 1Ai 1552b52xXiXi y1i 1i 1解之得:57.5A7.5 11.875b9.40414.422A 1.1224 b 0.5056Aa e 3.07220.5056xy 3.0722e2x 4y 113、解超定方程组3x 5y 3x 2y 62x y 72 4113 5 x3解：由3 5 x3得正规方程组12y62172411231235 x23123452112 y45216217刚183x51即：346y48解

24、之得x 3.0409, y 1.2418第八章数值积分11、用复化梯形求积公式求°exdx的近似值,问要将0,1分成多少等分才能保证结果有四位有效数字，假如用复化抛物线公式呢?解：要求结果有四位有效数字此处误差R(f,Tn)詈h2f"()0,1要使R(f, Tn)忙 f"(12112n2112n21n2 104，即 n6假如用复化抛物线公式，如此只需40.8n 41R(f,Sn)h2880h4e28802880n4故：用复化梯形求积公式至少需要 41等分才能保证结果有四位有效数字,而用复化抛物线公式只需2等分就可以保证结果有四位有效数字。2、对于积分1exsin

25、xdx，当要求误差小于10 6时，用复化梯形公式计算所需节点数是多少?f(x)xe sin xa 1,b3,10 6解： bh 一R( f ,Tn)a 2-hf ()3 12 2 ()Sf () n12f (x). 2ex sin(x)4f (x) 2e'x! cosxmax f (x)1 x 3max 2e cosx1 x2e3R(f,Tn)2e34e33n24e3只需an24e1035175.013即：n取n 5176要使误差小于10 6，至少要取5176个节点3、用Romberg方法求I1%，使误差不超过10解:kT0(k)T(k1)T2(k 2)T3(k 3)4、用Romber

26、g求积法求积分I101Zdx的近似值要求误差不超过x1001234山丁（k 1） t （k）a 0 b 1 盘）红叫 ，如此41解: f(x)Xif(x)011 x2按公式计算如下:kT0(k)T1(k 1T2(k 2)T3(k 3)012341| R, R| |3.145926 3.1415858 | - 1021 4故=dx R2 3.1415926为所求近似值01 x225、分别用抛物线公式和三点高斯公式计算积分x2 cosxdx1解：设 f(x) x2 cosx,则 f(1)f ( 1) 0.540302305, f (0) 0由抛物线辛普森公式-0.5403023053：x2cosx

27、dx | f( 1) 4f (0)0.360201537由三点高斯公式 cosxdx 519f(385)9f(0)f(3)而匕3)f(3)0.428821915,f(0) 0故 x2 cosxdx12 f ( A 3)0.476468795与准确值比拟知：Simpson公式的计算结果无有效数字；三点高斯公式有两 位有效数字。&确定如下求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出代数精度1 1 1f(x)dx - f( 1) 2f( ) 3f()31解：当f (x) 1时，左边 Jdx 21右边1 2 1 3 123左边二右边1当f (x) x时，左边/dx 01 右边 -1 233

28、1 2当 f (x) x2 时，左边1x2dx 一3右边 (1 2 23 2)23 3 ( 1)2 2 2 3 23要使求积公式具有2次代数精度，当且仅当1-(1 23 )033 2.615将(1, 1)代求积公式得11f(x)dx13 f( 1)1 .653 26152f(16) 3f(皿)515当 f (x)x3 时，左边1x3dx 01316 33 2、6 3右边-(1)2()3()0515左边 右边，故此时求积公式具2次代数精度; 将(2, 2 )代入求积公式得11f(x)dx11.63 2.63 f( 1) 2fF 3fF)当 f (x) x3时，左边1x3dx 01 2(吕3十)5

29、15左边右边，故此时求积公式具2次代数精度综上:，亠或匚，占时515515所得求积公式具最高代数精度2第九章常微分方程的数值解法1、用Euler预估一校正格式求解初值问题dydxy2 s inx 0y(1) 1要求步长h 0.2，计算y(1.2)及y(1.4)的近似值解：设 f (x, y)2y y sin x, xo 1, y 1, Xnxonh 1 0.2hYn 1 Yn hfgyn)Euler预估一校正式为h-yn 1% f(Xn，yn) 口人1),丫.12yn 1yn 0.2(ynyn 1yn 0.1(yny；sinXn)y；sinXn yn 1 y： 1 si nxnj由yo 1计算得：y10.631706y(1.2) y10.7154892、用欧拉法解初值问题y'10x(1 y)y(0) 0y20.476965y(1.4) y20.526112(0 x 1.0)2取步长h 0.1，保存5位有效数字，并与准确解y 1 e5x相比拟解：h 0.1, xi ih, i0,1,2 ,10f (x, y) 10x(1 y)5x2y(x) 1 e5x欧拉公式如下：yi 1 y hf(x,yj y/i 10h<(1 yjy。 0即:yi 1 X (1 为)为Yo 0i 0,1,9计算结果如下表所示iXi