数值计算课后复习资料

1、习题一解答355作为n的近似值，求各自的绝对误差，相对113221. 取 3.14，3.15，27误差和有效数字的位数分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先 求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位 的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。 有了定理2后，可以根据定理2更标准地解答。根据定理2，首先要将数值转化 为科学记数形式，然后解答。解：1绝对误差：e(x)= n 3.14 = 3.14159265 3.14 = 0.001590.00

2、16。相对误差：/、 e(x) 0.0016 门 一 “3er(x)0.51 10x 3.14有效数字：因为 n = 3.14159265 =0.314159265X 10，3.14 = 0.314 X 10，m=1而 n 3.14 = 3.14159265 一 3.14 = 0.00159 所以 In 3.14 |=0.00159 三 0.005=0.5 X 102 = 1 10 2 - 101 32 2所以，3.14作为n的近似值有3个有效数字。2绝对误差:e(x)= n 3.15 = 3.141592653.14 = 0.008407 "0.0085。 相对误差：er(x) 宓

3、 0.00850.27 10 2x 3.15有效数字：因为 n = 3.14159265 =0.314159265X 10，3.15 = 0.315 X 10，m=1而n 3.15 = 3.14159265 3.15 = 0.008407 1 1 2 -101 22所以 |n 3.15101 1=0.008407 < 0.05=0.5 X 10 =2所以，3.15作为n的近似值有2个有效数字。3绝对误差：0.0013e(x)22 3.14159265 3.1428571430.001264493 相对误差：er(x)空曾 0.41 10 322有效数字:因为n = 3.14159265

4、=0.314159265 X 10,3.1428571430.3142857143 10 , m=12222 3.14159265 3.1428571430.0012644937所以220.5 103.14159265 3.1428571430.001264493 0.005所以，22作为”的近似值有3个有效数字。e(x)绝对误差：3553.14159265 3.141592920.0000002705 0.000000271113相对误差:e（x）e(x)x0.0000002717PS一°.863 10113有效数字:因为n = 3.14159265 =0.314159265 X

5、10,3551133.14159292 0.314159292 10, m=1。3553.14159265 3.141592920.0000002705 3553.14159265 3.14159292113113所以0.510 60.0000002705 0.0000005所以,1 611 710 102 2355作为n的近似值有7个有效数字。113指出:实际上，此题所求得只能是绝对误差限和相对误差限，而不是绝对误差和相对误差2、用四舍五入原那么写出以下各数的具有五位有效数字的近似数。346. 7854，7. 000009，0. 0001324580，0. 600300解：346. 7854

6、 346. 79，7. 000009 7. 0000，0. 0001324580 0. 00013246，0. 600300 0. 60030。指出:注意0。只要求写出不要求变形。3、以下各数都是对准确数进展四舍五入后得到的近似数，试分别指出 他们的绝对误差限和相对误差限和有效数字的位数。x-i 0.0315, x2 0.3015, x3 31.50, x4 5000。分析：首先，此题的准确数未知，因此绝对误差限根据四舍五入规那 么确定。其次，应领先求绝对误差限，再求相对误差限，最后确定有效数 字个数。有效数字由定义可以直接得出。解：由四舍五入的概念，上述各数的绝对误差限分别是(x1) 0.0

7、0005, (x2) 0.00005, (x3) 0.005, (x4) 0.5由绝对误差和相对误差的关系，相对误差限分别是（X1）X10.0315°16%,(x2)0.00005（X2）-0.02%,X20.3015(x3)0.005区）0.002%,X331.5(Xj(X4)0.50.01%.x45000有效数字分别有 3位、4位、4位、4位。指出:此题显然是直接指出有效数位、直接写出绝对误差，用定义求出相对 误差4. 计算,10的近似值，使其相对误差不超过 0.1 %解：设取n个有效数字可使相对误差小于0.1 %，那么11 n100.1%，2q而3.104，显然,11 n110

8、2a121即11 n1010 3，6也即6 10n104所以,n=4。此时,103.162。3，此时,ai3101 n 0.1%，5、在计算机数系 F(10,4,-77,77) 中，对X10.14281103 与 X20.314159101，试求它们的机器浮点数fl(Xi)(i1,2)及其相对误差。解：fi(x)叫)30.1428 10 ,e(fl()0.3142X1101,e(fl(X2)333fl (X1) 0.14281 100.1428 100.00001 10 ,x2 fl(x2)0.314159 101 ( 0.3142 101) 0.00041 101其相对误差分别是0.0000

9、1 103 e130.1428 100.007%,e20.000041 101丽R°013%。6、在机器数系F(10,8,L,U)中，取三个数x 0.23371258 10 40.33678429 102,z 0.33677811 102，试按(x y) z,x (y z)两种算法计算x y z的值，并将结果与准确结果比拟 解：fl (x y) z) (0.23371258 10 4 0.33678429 102) 0.33677811 102 (0.00000023 102 0.33678429 102) 0.33677811 1022 20.33678452 100.336778

10、11 100.00000641 102fl(x (y z)0.23371258 10 4 (0.33678429 102 0.33677811 102)0.23371258 10 4 0.00000618 1020.00000023 102 0.00000618 1020.00000641 102准确计算得：422x y z 0.23371258 10 4 0.33678429 100.33674719 102第一种算法是按从小到大的顺序计算的，防止了大数吃小数，计算更 准确。准确计算得：x y z 0.23371258 1040.33678429 1020.33677811 1020.000

11、023371258 0.0033678429 33.6778110.003391214158 33.67781133.67441978584220.33674419785842 102 0.33677811 1022 2 2(0.00000023371258 102 0.33678429 102) 0.33677811 1020.33678452371258 102 0.33677811 10220.0000641371258 102 第一种算法按从小到大计算 , 但出现了两个数量级相差较大的数相加 容易出现大数吃小数 . 而第二种算法那么出现了两个相近的数相减 , 容易导 致有效数位的减少。

12、计算结果证明，两者精度水平是一样的。在机器数系 F(10,8,L,U) 中，取三个数x 0.23371258 10 4,y 0.33678429 10 2,z 0.33677811 102 ，试按(x y) z,x (y z)两种算法计算x y z的值，并将结果与准确结果比拟。解：fl(x y) z) (0.23371258 10 40.33678429 102)0.33677811 1022 2 2(0.00233713 10 2 0.33678429 10 2) 0.33677811 102 220.33912142 10 2 0.33677811 102220.00003391 102

13、0.33677811 1020.3367442 102fl(x (y z)0.23371258 10 4(0.33678429 10 20.33677811 102)0.23371258 10 4 (0.00003368 102 0.33677811 102 ) 420.23371258 10 4 0.33674742 102220.00000023 102 0.33674742 102显然，也是第一种算法求出的结果和准确结果更接近7、某计算机的机器数系为F(10,2,L,U)，用浮点运算分别从左到右计算及从右到左计算1 0.4 0.3 0.2 0.04 0.03 0.02 0.01试比拟所得

14、结果。解：从左到右计算得1 0.4 0.3 0.2 0.04 0.03 0.02 0.010.1 10 0.04 10 0.03 10 0.02 10 0.00 10 0.00 10 0.00 10 0.00 10 0.19 101.9从右到左计算得1 0.4 0.3 0.2 0.04 0.03 0.02 0.010.01 0.02 0.03 0.04 0.2 0.3 0.4 10.1 101 0.2 10 1 0.3 10 1 0.4 10 1 0.2 0.3 0.4 10.1 0.2 0.3 0.4 10.1 10 10.1 10 0.1 100.2 102从右到左计算防止了大数吃小数，比

15、从左到右计算准确。&对于有效数 x13.105,x2 0.001,x3 0.100，估计以下算式的相对误差限X2y1 x, x Xa, y2 X1X2X3, ya X3分析：求和差的相对误差限采取先求出和差的绝对误差限再求相对误差限的方法。求积商的相对误差限采取先求每一个数的相对误差限再求和 的方法。解：因为 x13.105, x2 0.001, x3 0.100 都是有效数,所以 任)0.0005, (x2) 0.0005, (x3) 0.0005（为）0.00050.00050.0005 ,0.16%, (x2)50%, (x3)0.5%3.1050.0010.100那么(x-i

16、x2 x3)(x1)(x2)(x3) 0.0005 0.0005 0.0005 0.0015(X!X2、(x1 x2 x3)0.00150.0015, “ “ 4 cx3)' COSX “I ,x 0且 x «1;x1一 cotx,x 0且 X1。x分析：根据算法设计的原那么进展变形即可。当没有简单有效的方法时 就采用泰勒展开的方法。解：(1) In x1 In x2In 互；x(2)11 x 1 X (1 x)21 x 1 x (1x)(1 x)丿4.99 10 1 x (1 2x X2)3x X2 0.05%x1 x2 x3|3.105 0.001 0.1003.004(

17、X!X2X3)(x1)(x2)(x3) 0.16% 50% 0.5% 50.66%(2)(x2)(x3) 50% 0.5% 50.5%X3指出：如果简单地用有效数字与误差的关系计算，那么不够准确。注意是相对误差限的讨论。符号要正确，商的误差限是误差限的和而不 ;是£°x冬1表示x充分9、试改变以下表达式，使其计算结果比拟准确其中接近0， x冷1表示x充分大。(1) In 捲 In x2, x-ix2 ；x X x XX X32n 1X X/八n 1 X X1、.X2!4!(2n)!1 JX212X(.x21 Jx21)(1 1X X / X21 cosx241(1汀4!2n

18、（唱)1 1(X) (X)XX11 1. XX.XvX2X21 X2 1 X :Xx_( .x2 1 . X2 1)2. x( X21- X2 1)111113cotx(-XXXXX3451 1322nBn2n 1XXB ' rX345(2n)!（Bn是贝努利数）22nBn 2n 1X (2n)!)242nX X/八n 1 X(1)2!4!(2n)!指出:采用等价无穷小代换的方法一般不可行。近似计算中的误差并不是无穷小量，利用无穷小量等价代换，两个量的差异可能恰恰是影响精度的因素。采用等价无穷小代换，可能只会得到精度水平比拟低的结论。例如1cosx2si n2?22(f)2xxxx21

19、cotx1cosxsin xxcosxxxsi nxxsin xx XCOSX/.(x 冬 1,sin x x) xsin x1 cosxsin x1 i(x 总1,cosx 1) si nx0试与上例比拟。有时候这种方法可以使用，例如因为 cos(x ) cosx cos sin xsin ，当冬 1 时，cos1,s in0cos(x ) cosxcos sin xsin cosx sin x*在这个计算中，由于x是常数，x的函数值实际上放大了每一项的计算结果，使得相近的数相减的问题不很突出。而利用一阶的泰勒展开f (x ) f (x) f ( )(x x )，当 冬1时,就有 f(x)

20、f (x)f (x)，因此cos(x) cosxsin x和上面的结果一样。但显然，用泰勒展开的方法具有一般性并能得到精度更高的结果，而且不会有方法上出错的可能。 采用洛必达法那么也是不可以的。实际上，无论是等价无穷小还是洛 必达法那么都是极限方法，而因为近似计算中的误差虽然可以近似地看作 是微分，但本质上却是一个确定的可能极小的小数而不是无穷小趋于零 的变量，因此近似计算是不能采用极限方法的。 转化的结果要化简，比方化繁分式为简分式，但不能取极限。取极限 就违背的了数值计算的本意。所以，口 1110 1011 x1 x 1 x是错误的。 极小的数做除数，实际上是0型的不定型，要转化为非不定型

21、10、用4位三角函数表，怎样算才能保证1 cos2有较高的精度?解：根据1 cos2 2sinT，先查表求出sin1再计算出要求的结果精度 较咼。指出：用度数就可以。不必化为弧度。11、利用.78327.982求方程x2 56x 10的两个根，使它们至少具有4位有效数字。解:由方程的求根公式，本方程的根为羽256 、562 4256 2282 1228783因为.78327.982，那么为 28783 28 27.982 55.982如果直接根据求根公式计算第二个根，那么因为两个相近的数相减会 造成有效数字的减少，误差增大。因此根据韦达定理x1x2 1，在求出x1 55.982后这样计算x2

22、:x2 丄 1= 0.01786=0.1786101x1 55.982这样就保证了求出的根有四位有效数字。12、试给出一种计算积分1Ine 1 xnexdx(n0,1,2,3,.)，0近似值的稳定算法。解：当n= 0时,I011e00 X |x e dxe1(e 1) 11(eXdx01)对I n运用分部积分法budvauvbvdu)得a11 n XIn e x e dx0e 1(xn1n 1 x、 n x e dx)0e 1(e1n 1 x、 n x e dx)01.1 n 1 :1 n e x e0xdx 1nIn由此得到带初值的递推关系式由递推公式I n = 1 nIn1I n的值作估计

23、，有11 n x ,I n e x e dx0另有11 n xI n e x e dx010In解得enInIn1(n 1,2,3,)1-(1 In)，这是逆向的递推公式，对n11 1 ne x dx011 ne x dx0(取e的指数为最小值0，将e取作 那么 e1丄In 。n 1n 1那么，我们可以取其上下限的平均值作为其近似值。即取e0 = 1作为常数即可简化公式。In 1 (e1 1)2 n 1可以看出，n越大，这个近似值越准确地接近于准确值。(n越大，In的上限和下限就越接近，近似值区间的长度就越短，近似值和准确值就越接近)此时，en1=I n 1 I n1 = (I n I n)

24、e n，| e° | = | Cn |，计算是稳nnn!定的。实际上，如果我们要求 丨9,可以先求出丨20，这样求出的丨9的误差是比丨20 的误差小得多的，而丨20的误差本身也并不大。实际上，这样求出的 丨9比直接计 算出来的准确得多。补充题一1、 给出数系F(10,4,-5,5)中的最大数、最小数和最小整数。解：最大数：0.9999 X 105;最小数：0.9999 X 105 ； 最小正数：0.0001 X 105。2、 ，求它在 F(10, 5, 5, 5和 F(10, 8， 5, 5中的浮点数。解：在 F(10, 5, 5, 5中，fl(e) 0.27183 101在 F(1

25、0, 8, 5, 5中，fl(e) 0.27182818 103、数e的以下几个近似数，它们分别有几位有效数字？相对误差是多 少？x0,2.7183, x02.7182818。分析：题目没有说明近似数是通过哪种途径取得的，也就没有明确每个 近似数和准确数之间的误差关系。所以，此题的解容许当从求近似数的误差开场。解：因为e X。110.00008181 丄 10 3 丄 1014,22e x1110.00002 10 4 101 5, ,22e x21 711 80.00000003 10 7 102 2所以，xo 2.7182, x, 2.7183, X。2.7182818 分别有 4、5、8

26、 个有效数字。其相对误差分别是er(Xo)e x1e x21 10142x°|2.718214141 10 3,4104,1074、数(3 迥：与下述各式在实数的意义上是相等的,(3 . 8)3(31(17 6 ： 8)3, 2(17 6 8)3 1 ,3(3, 8)Q ,4(38)6 1 ,519601 6920.8， 6(19601 69208) 1。试说明在浮点数系F(10,4, 8,8)中，用哪个公式计算出的结果误差最小。分析：此题实际上是一个算法分析与设计问题，也就是说要应用算法设计的根本原那么进展分析讨论。解：在本例中，显然 3和.8在浮点数系中是相近的数。进一步地，17

27、和6,8、19601和6920、. 8也是相近的数。因此: 为防止相近的数相减，不应采用1、 3、 5三种计算方法。 在余下的三种计算方法中，2需要进展4次乘除法，4需要进展7次乘除法，6需要进展1次除法。从减少运算次数来说，应采用6所以，采用6计算，计算结果误差最小。x5、f (x) xe2 ln(1 x) / x3，当x冬1时，如何计算才能获得准确的结果？解：当x«1即很小时，f(x)的分子是两个相近的小数相减，而分母也是一个小数，因此应防止简单地按原计算顺序直接计算，而应进展变 形。由泰勒展开得xe2 x/X x(?)2!3!4!In(1 x)因此1f(x)(81、33)x(i

28、，)x4(4)x5/X316 2455 11397 2xx24 481920此处最后略去局部的第一项为-)x120 32 6639 3x3840当x1时，这一局部是相当小的值，可以略去指出:如果要提高计算精度，就可以考虑保存更多的项补充题二 一1、计算e的近似值，使其误差不超过10- 62、利用f(x)1 x x21 x(1n 2x)(01,x 1)计算f(0.1)的近似值，其误差不超过10-2,求n3、3.142和3.141分别作为n的近似数，各有几位有效数字？4、近似数x的相对误差限为0.3%，问x至少有几个有效数字?5、x的以下3个近似数的绝对误差限都是0.005，问它们的有 效数字各有

29、几位？a=138.00，b=-0.0132 ，c=-0.86 X10"46、设近似值x=1.234，且绝对误差界为0.0005，那么它至少有几位有效数字？7、某校有学生6281人，通常说有6000人。下面哪个式子表示6000这个近似数适宜?0.6 1040.601040.6001040.6000 104分析与解答Xx2nxXen 1e 1 x2!一 Xn! (n 1)!(0当x=1时,e1,11e12!n! (n1)!故 Rn(1)e3(n1)!。(n 1)!1、解：令f(x)=ex，而fk)(x)=ex,fk)(0)=e°=1。由麦克劳林公式，可知1)(0当n = 9时，

30、Rn(1)<10-6,符合要求。此时,1)e 2.718 285解决这类问题其实很简单。只要知道了泰勒展开式，余下的就只是简单的 计算了。泰勒(Taylor)中值定理：假设函数f(x)在a,b上存在直至n阶的连续导函数, 在(a,b)上存在n+1阶导函数，那么对任意给定的x, X0 a, ,b，至少存在一点 & a, ,b，使得f(x)f(X°) f (X°)(X X。)f (x0)(x xo)22!f(n)(X0)(Xn!rn °()(n 1)!(x X°)n 1其中,f(T()(n 1)!当X0=0时,得到麦克劳林公式。f(x) f(0

31、) f(0)咲呼 2!Rn(x)(x x°)n1叫做拉格朗日型余项2 x(n 1) /nxn(n 1)!(0 1)2、解:n 1X7、n 2(1 X)9(n 2)0.1n 1(1 0.1)n210 3,9n 21030.1n(护10102,所以，n=2 。n=3.14159265 =0.314159265 X10,3.142 = 0.3142X10 ,m=1 。因为 n-3.142 = 3.14159265 一3.142 = 0.00040 所以，|n 3.142 | = 0.00040 W 0.0005=0.5 X 10 一1010所以，3.142作为n的近似值有4个有效数字3.1

32、415926 ,3.1415926 3.1410.000590.0050.5 10-1021 1 3101 32取为9,小数点后几个0，10的指数的绝对值就是几。解：设x有n位有效数字，其第一位有效数字按最不利情况 那么0.3% 1000_12(91) 101九 101n 1 101n2 10由上可得6 10n 1000，n 2.2，所以取n=2。解:0.005102 ,所以 m-n=-2。a=138.00=0.13800 X103，那么 m=3，所以 n=3-(-2)=5即a有5位有效数字；b=-0.0132=-0.132X10-1，那么 m=-1，所以n=-1-(-2)=1，所以b有1位有

33、效数字。c=-0.86 X10-4，那么 m= -4，所以 n= -4-(-2)= - 2<0 所以c没有有效数字。解：因为近似数x=1.23410.0005 -2的绝对误差界为0.0005 ,所以103，那么 m-n=-3。而 x=1.234 =0.1234 X101, 那么m=1 ,所以 n=1-(-3)=4有4位有效数字。所以，x=1.2346000这个近似数适宜实际上要看近似数解：哪个式子表示6000有多少个有效数字。6281近似到十位、百位，千位分别是6281 6280628163006281 6000写成科学记数的形式分别是46281 6280 0.628 104628163

34、000.63 1046281 6000 0.6 104可见，上述写法中，第一种是适宜的。实际上，6281 0.6281 104,6000 0.6000 104所以m=4,而 6281 60002810.281 1030.5 1 031 103所以m-n=3 ，那么 n=m-3=4-3=1，即近似数6000只有一个有效数字，所以，只有0.6 104这 种写法是适宜的。二1、测量某长方形场地的长为 a= 110米，宽为b = 80米。假设I a a |w.米，|b b |w米，试求其面积的绝对误差限和相对误差限。2、 三角形的两个内角的测量误差都不超过0.1 °那么计算第三个角时，绝 对

35、误差不超过多少。13、 假设x1=1.03 ±.01，x2=0.45 ±.01，计算y x2 _ex2的近似值并估计误2差。4、测量某长方形场地的长为 a= 110米，宽为b = 80米。假设I a a |w.米，I b b |w米，试利用多元函数的误差分析方法求其面积S=ab的绝对误差限和相对误差限，并与四那么运算的误差分析比拟。5、如果用电表测得一个电阻两端的电压和通过的电流分别是V=110±2(V)，I=20 ±.5(A)试运用欧姆定律R V-求这个电阻值R的近似值，并估计所求出的近似值的绝对误差和相对误差6近似值ai=2.21,a2=4.63,a

36、s=7.98是由四舍五入得到的，它们的绝对误差界 都是0.005试估计色更a3和ai旦已的相对误差界。8382分析与解答1、S8b, (S)(8b)8 (b)2b (8)19.1(m )(8b)19.1(S)(8b)0.002170.217%8b110 802、提示：内角和为180°而且180是准确数，没有误差。3、 由，xi=1.03, xi = 0.01, x2=0.45, x2= 0.01。所以，1fx1 (X1,X2) 2x12.06, fx2(X1,X2)-ex20.7842,£(x»= X1= 0.01， £ (2) = X2= 0.01。所以，y的绝对误差限为(y)fXi (X1,X2)(X1) fX2 (X1,X2) (X2)2.06 0.01 0.7842 0.01 0.028将有关数据代入函数表达式，可以求出函数值的近似值为21 x2y X1e 1.845，2那么y的相对误差限为(y)3 空 1.5%y 1.845进一步地，此题的绝对误差限可以看作是 0.05,那么计算结果中只需要保存到百分位就可以了，即最