数值分析资料报告精彩试题及问题详解

1、A. 10Xo= 0,11 X1B.1o X = 0, 11 XC.0 X01,I1 X10 X011 X1一、单项选择题（每小题3分，共15分）和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字A . 4 和 3B .3和2C . 3 和 4D .4和42121fx dxf 1Af()f2.已知求积公式1636，则 A =()1112A .6 B .3C .2D .33.通过点Xo, y°X1,yi的拉格朗日插值基函数10 X ,h X满足（4.设求方程f X 0的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速A .超线性 B .平方 C.线性D .三次X-! 2x2 x302x1 2x2 3

2、x335.用列主元消元法解线性方程组X 3x22作第一次消元后得到的第3个方程（）A X2X322x21.5x33.5C.2x2 x33D x2 0.5x31.5单项选择题答案1.A2.D3.D4.C5.B得 分评卷人、填空题（每小题3分，共15 分）1.设 X (2,3, 4)T,则 |X 11, |X |22. 一阶均差f X0,Xl3.已知n3时，科茨系数C。3C2338，那么C334.因为方程 有根。f x x 4 2X°在区间1,2上满足，所以X °在区间y雪yX5.取步长h 0.1，用欧拉法解初值问题y 11的计算公式填空题答案f X0f为1.9和辰2.X0X1

3、3.84.f 1 f2 0A A0.1yk 1 yk1.11 0.1k2 ,k 0,1,2|5.y。1得 分评卷人三、计算题（每题15分，共6° 分）y1.已知函数121 X的一组数据:求分段线性插值函数，并计算f 1.5的近似值.计算题1.答案1.°,1L X亠1 10.5 1 °.5x° 1 1 0X 1,21 20.20.3x 0.8所以分段线性插值函数为用雅可比迭代公式得x10.720 00,0.830 00,0.840 00用高斯-塞德尔迭代公式得0.720 00,0.902 00,1.164 401 0.5x x 0,10.8 0.3x x

4、1,2L 1.50.8 0.3 1.50.3510为 x2 2x37.2xi 10x2 2x38.32.已知线性方程组N 高斯-塞德尔迭代法公式 m 1mm x10.1x20.2x30.72 m 1m 1m x20.1x10.2x30.83 m 1m 1m 1 30.2x10.氓0.84 (m 0,1.)2 5x3 4.2(1) 写出雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式；(2) 对于初始值X 0,0,0，应用雅可比迭代公式、高斯塞德尔迭代公式分别计算X(保留小数点后五位数字).计算题2.答案1. 解原方程组同解变形为x10.1x20.2x3 0.72x20.1人 0.2x3 0.83x30.2

5、为 0.2x20.84雅可比迭代公式为m 1X1m 1X2m 1x30.1x2m0.2x3m0.720.1x1m0.2以0.830.2x1m0.2x2m0.84 0,1.)3.用牛顿法求方程x3 3x 10在1,2之间的近似根(1 )请指出为什么初值应取2?(2 )请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.计算题3.答案3.解 f Xx3 3xx 3x212x24 0故取x2作初始值迭代公式为XnXn1Xn 1Xn 1Xn11 3xn113xn 1,2,Xo2 33322 11.88889X232 1.8888931.8794531.888892 1X2X10.00944 0.0001X31.

6、879453 1 21.8793931.87 9 452 1x2|0.00006 0.0001方程的根x1.879394.写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分1dx01 x计算题4.答案bf4解梯形公式ab adx 2应用梯形公式得1 1dxx011 121 01°.75辛卜生公式为dXf a64f(U f b 2应用辛卜生公式得dx01 x1 0f61 04f() f 1 21 161 011 1得 分评卷人3次代数精确度四、证明题（本题 10分） 确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有Aof 0 Af h证明题答案2求积公式中含有三个待定系数,即Ai,A

7、o,A，将f x 1，x,x分别代入求积公式，并令其左右相等，得A i Ao A 2 hh(A1 A) 02 2 3 h2(Ai A)-h33Ai A得3Ao4h3。所求公式至少有两次代数精确度。又由于hx3dxhh3x4dxh4x dx4hh 一 f 0_ f h33具有三次代数精确度。填空（共20分，每题2 分）f X1,X22.设一阶差商f x2f Xfx2x1fX2，X3f x3f x2X3X2则二阶差商为，X2,X3,1)T,则 |X lbIIXII24.求方程x1.250的近似根,用迭代公式X X 1.25，取初始值沟1，那么X15 解初始值问题y' f(x,y)y(xo)

8、 yo近似解的梯形公式是yk i6、7、，则A的谱半径f(x)23x 5, Xkkh, k 0,1,2,., 则f Xn,Xn 1,Xn 29、解常微分方程初值问题的欧拉Euler )方法的局部截断误差为y 1010、为了使计算X 1(X 1)2(X 1的乘除法运算次数尽量的少，应将表达式改写成填空题答案1、2.31502、f X2,X3f 为公2f X1,X2 , X3X3X1532 4一1116'3、6和、诃4、1.5hyk-f5、2Xk, ykf Xk 1, yk 16、(A)67、Xn , Xn 1 , Xn 23, f Xn,Xn 1,Xn 2X收敛9、 h10、132 (X

9、 1) (X 1)二、计算题（共75分，每题15分）3f (x) X2, Xo1 设14, X1（1）试求4上的三次Hermite插值多项式X使满足H(Xj) f(Xj), j 0,1,2,. H(X1)X以升幂形式给出。（2）写出余项R（X） f（x） H（x）的表达式计算题1.答案14 3 263 2 23311、（ 1）XRX 19 5(x(2)4!16225450450251291 94)(x 1)(x J,(X) (4,4)2. 已知 的 满足，试问如何利用 构造一个收敛的简单迭代函数 ，使0, 1收敛? 计算题2.答案12、由 x (x)，可得 x 3x (x) 3x, x 2(X

10、)3x)(X)因'(x)1( (x) 3),故 | '(x)|x) -3| * 11故 xk i(xk)- (xk) 3Xk , k=0,1,.收敛。23. 试确定常数A, B, C和a,使得数值积分公式Gauss 型有尽可能高的代数精度。 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为 的？计算题3.答案10 163、9，B9,315，该数值求积公式具有5次代数精确度，它是 Gauss型的y' f(x,y)4. 推导常微分方程的初值问题y(x0) y°的数值解公式:h '''yn 1 yn 1 3(yn 1 4y.n 1)(提示：利用

11、Simpson求积公式。)计算题4.答案4、数值积分方法构造该数值解公式：对方程 y f(x)在区间 xn 1,xn 1上积分,xn 1y(xn得1)y(Xn1) f (x, y(x)dx，记步长为h,xn 1x.对积分x,f (x,y(x)dx用Simpson求积公式得xn 1xn 12hh (f (x,y(x)dx f (xn 1)4f(Xn)f (xn1)-(yn 14ynyn 1)63所以得数值解公式：h '''yn 1 yn 1 亍(yn1 4yn * 1证明：因f（x） （x3Xn 1 xnf'(xn) ,n 0,1,得f (人)X12x23x314

12、2为5x22X3185.利用矩阵的LU分解法解方程组 3X1X25X320计算题5.答案1123ALU21145、解：35 124令Lyb得y(14,10, 72)t,Uxy 得 x (1,2,3)t三、证明题（5分）1.设，证明解 的Newton迭代公式是线性收敛的。 证明题答案,n 0,1,. 6xn又x需,则（需）| |（需）3 | 10,/3、2(Xn a)236xn(Xn a)因迭达函数（x） |x命而（x） 55故此迭达公式是线性收敛的、填空题（20分）（1）.设x* 2.40315是真值x 2.40194的近似值，则x有位有效数字。(2).对 f(x)x3 x j 差商 f 0,

13、1,2,3()。(3).设 X (2, 3,7)t,则 |X|nC（n）（4）.牛顿一柯特斯求积公式的系数和k 0。填空题答案（1）3（ 2）1（ 3）7（ 4）1二、计算题1）.（ 15分）用二次拉格朗日插值多项式L2（x）计算sin 0.34的值。插值节点和相应的函数值是（0, 0）,（ 0.30, 0.2955），（ 0.40, 0.3894）。计算题1.答案l_2（X）(xxj(xX2)f (xx)(xX2)f (xXo)(Xxjf 0f 1(XoXj(XoX2) (X1怡)(为X2) (X2Xo)(X2X1)1）=0.3333362）.（15分）用二分法求方程f（x）x3 x 1 0

14、在 I1。1.5区间的一个根, 误差限102。计算题2.答案N 6X1 1.25X2 1.375X3 1.31252) x4 1.34375 x5 1.328125 & 1.32031254x1 2x2 x311X1 4x2 2x3183）.（ 15分）用高斯-塞德尔方法解方程组2x1 x2 5x3 22，取x（0） （0,0,0）T，迭代三次（要求按五位有效数字计算）.。计算题3.答案3）迭代公式(k222K(IX2(k24). (15分)求系数A'A和A3,使求积公式1 11f(x)dx Af( 1) A?f( ) A3f(-)对于次数2的一切多项式都精确成立1 33计算题

15、4.答案1111 2A 民人 2 A3A23A30 A9 A2A393A A0A34)223x12X210X31510X14x2X355). (10分)对方程组2x110x24X38试建立一种收敛的SeideH迭代公式，说明理由计算题5.答案5)解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优10人 4x2 x352x110x2 4x383x1 2x2 10x315故对应的高斯一塞德尔迭代法收敛迭代格式为(k 1)X14x3k) 8)2x1k “x3k ° 1( 3x(k ° 2x2k1)15)10取x（°） （OQO）T，经7步迭代可得：x* x（7）（O.999

16、991 459, O.999 95° 326,1.000 O1O）T .三、简答题1）（5分）在你学过的线性方程组的解法中，你最喜欢那一种方法，为什么？2）（ 5分）先叙述Gauss求积公式，再阐述为什么要引入它。、填空题（2O分）1. 若a=2.42315是2.42247的近似值，贝U a有（）位有效数字.2. Io(x), h(x),ln（x）是以O,1，-n为插值节点的Lagrange插值基函数，则nili(x)'° ().3.设f （x）可微，则求方程x f（x）的牛顿迭代格式是（）.、夕（k 1）（k）4. 迭代公式X BXf收敛的充要条件是 。（k 1）

17、厂（k）r5. 解线性方程组Ax=b （其中A非奇异，b不为0）的迭代格式x Bx f9x1 x28中的B称为（）.给定方程组x1 5x24，解此方程组的雅可比迭代格式为（）。填空题答案2. xXnf(xn)Xn 1 Xn '3. 1 f (xn)4.(B) 1k 1X11(8 9x2k)5.迭代矩阵，k 1X215(4x1k)得 分评卷人二、判断题(共10分)1. 若 f(a)f(b) °，则 f(x) ° 在(a,b) 定有根。()2. 区间a,b上的三次样条函数是一个次数不超过三次的多项式。()3. 若方阵A的谱半径(A)1，则解方程组Ax=b的Jacobi迭

18、代法收敛。()n4. 若f (x)与g (x)都是n次多项式，且在n+1个互异点Xii °上f (Xi) g(Xi)，贝y f (x) g(x)。()1 x 1X2x5. 用 2 近似表示e产生舍入误差。()判断题答案1. x 2. x 3. x 4. V5. x得 分评卷人三、计算题(70分)1. (10分)已知f(0) = 1, f(3) = 2.4，f=5.2，求过这三点的二次插值基函数h(x)=()， f0,3,4=(),插值多项式P2(x)=(),用三点式求得f (4)().计算题1.答案由插值公式可求得它们分别为：八 7 彳 77203_x(x 4),1 一x 一x(x

19、3),禾口3 12151262. (15分)已知一兀方程x 3x 201) 求方程的一个含正根的区间；2) 给出在有根区间收敛的简单迭代法公式(判断收敛性)；3) 给出在有根区间的Newton迭代法公式。计算题2答案2. ( 1)f(0)1.20 , f(2)1.80 又f (x)连续故在(0,2)内有一个正根x 3j3x 1.2,(x)(3x1.2)-3, maxx (0,2)(X)|21.231, xn 1 芋 3xn 1.2 收敛-3Xn3x 1.2f '(x) 3x3,xn !xn3)W2Q(3)xn31f (x)dx Af ( 0.5) Bf(xJ Cf (0.5)3. (

20、15分)确疋求积公式1的待疋参数,使其代数精度尽量高，并确定其代数精度.计算题3.答案3. 假设公式对f (x) 1,x,x2,x3精确成立则有A B C 20.5A Bx10.5C02 20.25A Bx；0.25C330.125ABx；0.125C04. （15分）设初值冋题y 3X 2y 0 x 1y(o) 1（1）写出用Euler方法、步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式；（2）写出用改进的Euler法（梯形法）、步长h=0.2解上述初值问题数值解 的公式，并求解y1，y2，保留两位小数。计算题4答案4.(1) yn 1yn 0.1(3xn2yn)0.3xn1.2yn0.2 yn

21、1 yn yQ'2yn)3(人0.2) 2ym=yn0.1(6Xn 2yn2yn10.6)333y 1ynXn24403336333迭达得y11.575, y22.5852402404 0.2405. （ 15分）取节点X。0，x1 0.5, X2 1，求函数y e x在区间0,1上的二次插 值多项式p2（x），并估计误差。计算题5.答案e 1 e 0.50.5P2（X）e00.5e0.5(x0)10.50.50 (x 0)(x 0.5)1 00.5=1+2(e1)x2(e1c 0.52e''Xye ,M3IImax yA X1,ex 0,11)x(x0.5)p2(x)

22、 f ( ) x(x 0.5)(x1)3!0 x 1W F P2(x)| lx(x °.5)(x 1)l、填空题（每题4分，共20分）1、 数值计算中主要研究的误差有 和。2、设lj(x)(j0,1,2川n)是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则n.l i (x)Ij(Xi) (i, j 0,1,2川n) ； j 0 j _。3、设lj(x)( j 0,1,2川n)是区间a，b上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为 ;插值型求积公式中求积系数 Aj ;且nAjj 0o4、辛普生求积公式具有次代数精度，其余项表达式为。25、f(x) x 1,则 f1,2,3, f1,2

23、,3,4填空题答案1.相对误差绝对误差1, i j,2. 0, i j3.至少是nbalk(x)dxb-a4. 3而(亍)4严(),(a'b)5. 10、计算题1、已知函数y f(x)的相关数据10123012313927x/3 p(_!)由牛顿插值公式求三次插值多项式 R(x)，并计算.2的近似值。计算题1答案4 3P3(x) N3(x)3x33P3(1) 4(1)323 22x22(y8x 1,38 1 ()123 22、( 10 分)利用尤拉公式求解初值问题，其中步长 h OH ,yy(0)y x1.1,x (0,0.6)0计算题2.答案f (x, y) y x 1, yo1,h 0.1,yn 0.1(Xn 1 yn),(门 0,1,2,3，川)1,1.000000;1.000000;1.010000;1.029000;yn 1yoyk解：差商表If【心鬲zlf 血,41)Aj+2 卞.a01132229623327864口由牛顿插值公式:解：1.056100;1.090490;1.131441.3、( 15分)确定求积公式hh f (