微积分基本教程48502

1、微积分教程微积分( Calculus )是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。 它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限极限、微分学、 积分学及其应用。微分学包括 求导数的运算， 是一套关于变化率的理论。它使得函数、 速度、加速度和曲线的斜率等均可 用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供 一套通用的方法。微积分的基本介绍微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数互为逆运算把上下限代入不定积分即得到积分值，而微分则是导数值与自变量增量的乘积，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。 我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学， 但

2、是在教学中， 微分学一般会 先被引入。微积分学是微分学和积分学的总称。 它是一种数学思想， 无限细分'就是微分， 无限 求和'就是积分。 十七世纪后半叶， 牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作， 分别独立地建立了微积分学。 他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量， 但是理论基础是 不牢固的。因为“无限”的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算，所以，直到十九世 纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论， 康托尔等建立了严格的实数理论， 这门学科才得 以严密化。学习微积分学，首要的一步就是要理解到， “极限”引入的必要性：因为，代数是人们 已经熟悉的概念，但是，代数无法处

3、理“无限”的概念。所以，必须要利用代数处理代表无 限的量，这时就精心构造了“极限”的概念。在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概 念绕过了用一个数除以 0 的麻烦，相反引入了一个过程任意小量。就是说，除的数不是零， 所以有意义，同时，这个小量可以取任意小，只要满足在德尔塔区间，都小于该任意小量， 我们就说他的极限为该数你可以认为这是投机取巧， 但是， 他的实用性证明， 这样的定 义还算比较完善，给出了正确推论的可能性。这个概念是成功的。微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、 经济学等自然科学、 社会科学及应用科学等多个分支中， 有越来越广泛的应用。 特别

4、是计算 机的发明更有助于这些应用的不断发展。客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引 入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。由于函数概念的产生和运用的加深， 也由于科学技术发展的需要， 一门新的数学分支就 继解析几何之后产生了， 这就是微积分学。 微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重 要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。微积分的本质【参考文献】 刘里鹏 .从割圆术走向无穷小揭秘微积分 ，长沙：湖南科学技术 出版社， 20091用文字表述： 增量无限趋近于零，割线无限趋近于切线，曲线无限趋近于直线，从而以直代曲，以

5、 线性化的方法解决非线性问题，这就是微积分理论的精髓所在。2用式子表示：微积分的基本方法微积分的基本原理告诉我们微分和积分是互逆的运算， 微积分的精髓告诉我们我们之所 以可以解决很多非线性问题， 本质的原因在于我们化曲为直了， 现实生活中我们会遇到很多 非线性问题，那么解决这样的问题有没有统一的方法呢？经过研究思考和总结， 笔者认为， 微积分的基本方法在于： 先微分， 后积分。笔者所看到的是， 现在的教材没有注意对这些基本问题的总结， 基本上所有的教材每讲 到积分时都还重复古人无限细分取极限的思想，讲到弧长时取极限，讲到面积时又取极限， 最后用一个约等号打发过去。 这样一来不仅让学生听得看得满

6、头雾水， 而且很有牵强附会之 嫌，其实懂得微积分的本质和基本方法后根本不需要再那么重复。微积分学的建立从微积分成为一门学科来说， 是在十七世纪， 但是， 微分和积分的思想在古代就已经产 生了。公元前三世纪， 古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、 球和球冠面积、 螺线下 面积和旋转双曲体的体积的问题中， 就隐含着近代积分学的思想。 作为微分学基础的极限理 论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的庄子一书的“天下篇” 中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭” 。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之 弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。 ”这些都是

7、朴素的、 也是很典型的极限概念。到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。 归结起来， 大约有四种主要类型的问题： 第一类是研究运动的时候直接出现的， 也就是求即 时速度的问题。 第二类问题是求曲线的切线的问题。 第三类问题是求函数的最大值和最小值 问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积 相当大的物体作用于另一物体上的引力。十七世纪的许多著名的数学家、 天文学家、 物理学家都为解决上述几类问题作了大量的 研究工作， 如法国的费马、 笛卡尔、 罗伯瓦、 笛沙格； 英国的巴罗、 瓦里士； 德国的开普勒； 意大利的卡瓦列利等

8、人都提出许多很有建树的理论。 为微积分的创立做出了贡献。十七世纪下半叶， 在前人工作的基础上， 英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别 在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作， 虽然这只是十分初步的工作。 他们的 最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起， 一个是切线问题 （微分学的中心问题） ， 一个是求积问题 （积分学的中心问题 ）。牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量， 因此这门学科早期也称为无穷 小分析， 这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。 牛顿研究微积分着重于从运动学 来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。牛顿在 1671 年写了流数法和无穷级

9、数 ，这本书直到 1736 年才出版，它在这本书里 指出， 变量是由点、 线、面的连续运动产生的， 否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的 静止集合。 他把连续变量叫做流动量， 把这些流动量的导数叫做流数。 牛顿在流数术中所提 出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法） ；已知运动的速度求 给定时间内经过的路程 （积分法 ）。德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者， 1684 年，他发表了现在世界上认为是最早的 微积分文献， 这篇文章有一个很长而且很古怪的名字 一种求极大极小和切线的新方法， 它 也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算 。就是这样一篇说理也颇含糊

10、的文章，却有划时代的意义。它已含有现代的微分符号和基本微分法则。 1686 年，莱布尼 茨发表了第一篇积分学的文献。 他是历史上最伟大的符号学者之一， 他所创设的微积分符号， 远远优于牛顿的符号， 这对微积分的发展有极大的影响。 现在我们使用的微积分通用符号就 是当时莱布尼茨精心选用的。微积分学的创立， 极大地推动了数学的发展， 过去很多初等数学束手无策的问题， 运用 微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。前面已经提到， 一门科学的创立决不是某一个人的业绩， 他必定是经过多少人的努力后， 在积累了大量成果的基础上， 最后由某个人或几个人总结完成的。 微积分也是这样。不幸的是， 由于人

11、们在欣赏微积分的宏伟功效之余， 在提出谁是这门学科的创立者的时 候，竟然引起了一场悍然大波， 造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。 英国数 学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而 数学发展整整落后了一百年。其实， 牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究， 在大体上相近的时间里先后完成的。 比较 特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼茨早 10 年左右，但是正式公开发表微积分这一理论， 莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们的研究各有长处， 也都各有短处。那时候， 由于民族 偏见，关于发明优先权的争论竟从 1699 年始延续了一百多年。应该指出， 这是和历史上

12、任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样， 牛顿和莱布 尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。 牛顿的无穷小量， 有时候是零， 有时候不是零而是有限的小量； 莱布尼茨的也不能自圆其说。 这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。直到 19 世纪初， 法国科学学院的科学家以柯西为首， 对微积分的理论进行了认真研究， 建立了极限理论， 后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化， 使极限理论成为了 微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。任何新兴的、 具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。 在微积分的历史上 也闪烁着这样的一

13、些明星： 瑞士的雅科布 ?贝努利和他的兄弟约翰 ?贝努利、 欧拉、 法国的拉 格朗日、柯西欧氏几何也好， 上古和中世纪的代数学也好， 都是一种常量数学， 微积分才是真正的变 量数学， 是数学中的大革命。 微积分是高等数学的主要分支， 不只是局限在解决力学中的变 速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里， 建立了数不清的丰功伟绩。微积分的基本内容研究函数， 从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。这种方法叫做数学分析。本来从广义上说， 数学分析包括微积分、 函数论等许多分支学科， 但是现在一般已习惯 于把数学分析和微积分等同起来， 数学分析成了微积分的同义词， 一提数学分析就知道是指 微积

14、分。微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。 积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。微积分是与科学应用联系着发展起来的。 最初， 牛顿应用微积分学及微分方程对第谷浩 瀚的天文观测数据进行了分析运算， 得到了万有引力定律， 并进一步导出了开普勒行星运动 三定律。此后，微积分学成了推动近代数学发展强大的引擎，同时也极大的推动了天文学、 物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发 展。并在这些学科中有越来越广泛的应用， 特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发 展。一元微分定义： 设函数y = f(x)在某区

15、间内有定义，x0及x0 + x在此区间内。如果函数的增 量厶y = f(x0 + x) - f(x0)可表示为 y = A x0 + o( x0)(其中A是不依赖于 x的常数)，而o( A x0)是比 x高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且 A x称作函数在点x0相应于自变量增量 A x的微分，记作dy，即dy = Adx。通常把自变量x的增量 Ax称为自变量的微分，记作dx,即dx = A x。于是函数y = f(x) 的微分又可记作 dy = f'(x)dx 。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。 因此， 导 数也叫做微商。几何意义设A x是曲线y = f

16、(x)上的点M的在横坐标上的增量，A y是曲线在点 M对应A x在纵坐标上的增量，dy是曲线在点 M的切线对应A x在纵坐标上的增量。当| A x|很小时，| A y -dy|比|A y|要小得多(高阶无穷小)，因此在点 M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线 段。多元微分多元微分又叫全微分， 是由两个自变量的偏导数相对应的一元微分的增量表示的。A Z=A* A X+B* A Y+ o ( p )为函数Z在点(x、y)处的全增量，(其中A、B不依赖于A X和A Y，而只与X、y有关，p = (xA 2+yA 2) A (12),A* A X+B* A Y即是Z在点的全微 分。总的来说， 微分学

17、的核心思想便是以直代曲， 即在微小的邻域内， 可以用一段切线段来 代替曲线以简化计算过程。积分有两种：定积分和不定积分。定积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，定积分作用 不仅如此， 它被大量应用于求和， 通俗的说是求曲边三角形的面积， 这巧妙的求解方法是积 分特殊的性质决定的。一个函数的不定积分 (亦称原函数) 指另一族函数， 这一族函数的导函数恰为前一函数。其中： F(x) + C' = f(x)一个实变函数在区间a,b上的定积分，是一个实数。它等于该函数的一个原函数在 b的 值减去在a的值。定积分和不定积分的定义迥然不同， 定积分是求图形的面积， 即是求

18、微元元素的累加和， 而不定积分则是求其原函数，它们又为何通称为积分呢？这要靠牛顿和莱布尼茨的贡献了， 把本来毫不相关的两个事物紧密的联系起来了。 详见牛顿莱布尼茨公式。一阶微分与高阶微分函数一阶导数对应的微分称为一阶微分 ;一阶微分的微分称为二阶微分 ;n阶微分的微分称为(n+1)阶微分即:d(n)y=f(n)(x)*dxAn (f(n)(x)指 n 阶导数,d(n)y 指 n 阶微分,dxAn 指 dx 的 n 次方)含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分Dyt, D2yt，的函数方程，称为常差分方程(简称n 阶差分方程的一差分方程 ）；出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方程的阶。

19、般形式为F（t, yt, Dyt，Dnyt）=0 ,其中F是t, yt, Dyt ,，Dnyt的已知函数，且Dnyt 定要在方程中出现。含有两个或两个以上函数值yt, yt+1，的函数方程，称为（常）差分方程，出现在差分方程中未知函数下标的最大差, 称为差分方程的阶。 n 阶差分方程的一般形式为F（t, yt, yt+1 ,yt+n）=0,其中F为t, yt, yt+1，yt+n的已知函数，且 yt和yt+n 一定要在差分方程中出现。常微分方程与偏微分方程的总称。含自变量、 未知函数和它的微商 （或偏微商）的方程 称为常（或偏）微分方程。未知函数为一元函数的微分方程,称为常微分方程。未知函数为

20、 多元函,从而出现多元函数的偏导数的方程,称为偏微分方程。微积分的诞生及其重要意义微积分的诞生是继 Euclid 几何建立之后,数学发展的又一个里程碑式的事件。微积分 诞生之前, 人类基本上还处在农耕文明时期。 解析几何的诞生是新时代到来的序曲, 但还不 是新时代的开端。它对旧数学作了总结, 使代数与几何融为一体, 并引发出变量的概念。变 量,这是一个全新的概念,它为研究运动提供了基础推导出大量的宇宙定律必须等待这样的时代的到来, 准备好这方面的思想, 产生像牛顿、 莱布尼茨、 拉普拉斯这样一批能够开创未来, 为科学活动提供方法,指出方向的领袖, 但也 必须等待创立一个必不可少的工具微积分,

21、没有微积分, 推导宇宙定律是不可能的。 在 17 世纪的天才们开发的所有知识宝库中,这一领域是最丰富的,微积分为创立许多新的学 科提供了源泉。微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一, 一部微积分发展史, 是人类一步一步顽强 地认识客观事物的历史, 是人类理性思维的结晶。 它给出一整套的科学方法, 开创了科学的 新纪元,并因此加强与加深了数学的作用。恩格斯说：“在一切理论成就中,未必再有什么像 17 世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精 神的最高胜利了。 如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和惟一的功绩,那就正是在这里。”有了微积分,人类才有能力把握运动和过程。 有了微积分,就有了工业革命,

22、 有了大工 业生产, 也就有了现代化的社会。 航天飞机。 宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接 后果。 在微积分的帮助下, 万有引力定律发现了, 牛顿用同一个公式来描述太阳对行星的作 用,以及地球对它附近物体的作用。 从最小的尘埃到最遥远的天体的运动行为。 宇宙中没有 哪一个角落不在这些定律的所包含范围内。这是人类认识史上的一次空前的飞跃,不仅具有伟大的科学意义, 而且具有深远的社会影响。 它强有力地证明了宇宙的数学设计,摧毁了笼罩在天体上的神秘主义、迷信和神学。一场空前巨大的、席卷近代世界的科学运动开始了。 毫无疑问,微积分的发现是世界近代科学的开端。微积分优先权大争论历史上, 微积分是

23、由两位科学家, 牛顿和莱布尼茨几乎同时发现的。 在创立微积分方面, 莱布尼茨与牛顿功绩相当。 这两位数学家在微积分学领域中的卓越贡献概括起来就是： 他们 总结出处理各种有关问题的一般方法, 认识到求积问题与切线问题互逆的特征, 并揭示出微 分学与积分学之间的本质联系； 他们都各自建立了微积分学基本定理, 他们给出微积分的概 念、法则、公式和符号理论为以后的微积分学的进一步发展奠定了坚实而重要的基础。总之, 他们创立了作为一门独立学科的微积分学。 微积分这种数学分析方法正式诞生以后， 由于解决了许多以往靠初等数学无法作答的实际问题，所以逐渐引起科学家和社会人士的重视。同时，也带来了关于“谁先建立

24、微积分” 问题的争论。 从牛顿和莱布尼茨还在世时就开始出现这种争论， 英国和欧洲大陆各国不少科 学家都卷入这场旷日持久的、 尖锐而复杂的论战。 这场论战持续了 100 多年的时间。就创造与发表的年代比较， 牛顿创造微积分基本定理比莱布尼茨更早。 前者奠基于 1665 1667 年，后者则是 1672 1676 年，但莱布尼茨比牛顿更早发表微积分的成果。故发明微 积分的荣誉应属于他们两人。第二次数学危机及微积分逻辑上的严格化 微积分诞生之后，数学迎来了一次空前繁荣的时期。对 18 世纪的数学产生了重要而深 远的影响。 但是牛顿和莱布尼茨的微积分都缺乏清晰的、 严谨的逻辑基础， 这在初创时期是 不

25、可避免的。 科学上的巨大需要战胜了逻辑上的顾忌。 他们需要做的事情太多了， 他们急于 去攫取新的成果。基本问题只好先放一放。正如达朗贝尔所说的： “向前进，你就会产生信 心！”数学史的发展一再证明自由创造总是领先于形式化和逻辑基础。于是在微积分的发展过程中， 出现了这样的局面： 一方面是微积分创立之后立即在科学 技术上获得应用， 从而迅速地发展； 另一方面是微积分学的理论在当时是不严密的， 出现了 越来越多的悖论和谬论。 数学的发展又遇到了深刻的令人不安的危机。 例如， 有时把无穷小 量看作不为零的有限量而从等式两端消去， 而有时却又令无穷小量为零而忽略不计。 由于这 些矛盾，引起了数学界的极

26、大争论。 如当时爱尔兰主教、 唯心主义哲学家贝克莱嘲笑“无穷 小量”是“已死的幽灵” 。贝克莱对牛顿导数的定义进行了批判。当时牛顿对导数的定义为：当x增长为x+o时，x的立方（记为xA3）成为（x+o）的立方（记为（x+o）人3）。即xA3+3 xA2o+ 3x 0人2+ 0人3。x与乂人3的增量分别为 o和3 xA2o+ 3x 0人2+ 0人3。这两个增量与 x的增 量的比分别为1和3 xA2+ 3x o+ oA2，然后让增量消失，则它们的最后比为1与3 xA2。我们知道这个结果是正确的， 但是推导过程确实存在着明显的偷换假设的错误： 在论证的前一部 分假设o是不为0的，而在论证的后一部分又

27、被取为0。那么o到底是不是0呢？这就是著名的贝克莱悖论。 这种微积分的基础所引发的危机在数学史上称为第二次数学危机，而这次危机的引发与牛顿有直接关系。历史要求给微积分以严格的基础。第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地的意见的是达朗贝尔。他在 1754 年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。 但是他本人未能提供这样的理论。 最 早使微积分严格化的是拉格朗日。 为了避免使用无穷小推理和当时还不明确的极限概念，拉格朗日曾试图把整个微积分建立在泰勒展开式的基础上。但是， 这样一来， 考虑的函数范围太窄了， 而且不用极限概念也无法讨论无穷级数的收敛问题， 所以， 拉格朗日的以幂级数

28、为 工具的代数方法也未能解决微积分的奠基问题。到了 19 世纪，出现了一批杰出的数学家，他们积极为微积分的奠基工作而努力，其中包括了捷克的哲学家B.Bolzano.曾著有无穷的悖论，明确地提出了级数收敛的概念，并对极限、连续和变量有了较深入的了解。分析学的奠基人，法国数学家柯西在 18211823年间出版的分析教程和无穷小 计算讲义 是数学史上划时代的著作。 在那里他给出了数学分析一系列的基本概念和精确定 义。对分析基础做更深一步的理解的要求发生在 1874 年。那时的德国数学家外尔斯特拉斯 构造了一个没有导数的连续函数， 即构造了一条没有切线的连续曲线， 这与直观概念是矛盾的。它使人们认识到

29、极限概念、 连续性、 可微性和收敛性对实数系的依赖比人们想象的要深 奥得多。黎曼发现， 柯西没有必要把他的定积分限制于连续函数。 黎曼证明了，被积函数不 连续，其定积分也可能存在。也就是将柯西积分改进为 Riemann 积分。这些事实使我们明白， 在为分析建立一个完善的基础方面， 还需要再深挖一步： 理解实 数系更深刻的性质。这项工作最终由外尔斯特拉斯完成，使得数学分析完全由实数系导出， 脱离了知觉理解和几何直观。 这样一来， 数学分析所有的基本概念都可以通过实数和它们的 基本运算表述出来。 微积分严格化的工作终于接近封顶， 只有关于无限的概念没有完全弄清 楚，在这个领域，德国数学家 Cantor 做出了杰出的贡献。总之， 第二次数学危机和核心是微积分的基础不稳固。 柯西的贡献在于， 将微积分建立 在极限论的基础上。 外尔斯特拉斯的贡献在于逻辑地构造了实数论。 为此， 建立分析基础的 逻辑顺序是实数系极限论微积分18 世纪的分析学驱动 18 世纪的微积分学不断向前发展的动力是物理学的需要，物理问题的表达一般都 是用微分方程的形式。 18 世纪被称为数学史上的英雄世纪。他们把微积分应用于天文学、 力学、光学、热学等各个领域，并获得了丰硕的