【高考冲刺】最新河南省开封市高考数学一模试卷(理科)及解析

1、河南省开圭寸市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （5 分）设 U=R 已知集合 A=x|x 1 , B=x|xa，且（？uA）UB=R 则实数 a 的取值范围是（）A. （-x，1） B. （-x，1 c.（1，+x）D. 1，+x）2.（5 分）若复数z1, Z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=1 - 2i，则复数在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.（5 分）已知向量 a= （m - 1，1），b= （ m，- 2），贝厂m=2 是

2、 “丄 b”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. （5 分）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn,且 9=S6, a2=1，则 a1=（A.亍B _C.D.2的距离为.爲则该双曲线的方程为（）A./二寺 B. x2-y2=1 C-y2y2D. x2-y2=27.（5 分）我国古代名著庄子？天下篇中有一句名言 一尺之棰，日取其半， 万4.A.(5 分)若 2cQs2a=sin(-_-( )，则 sin2 由勺值为6.2 X2 y2 a=1 （a0，b0）为等轴双曲线，且焦点到渐近线（5 分）已知曲线世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永

3、远都截不完.现将该木 棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取 7 天后所剩木棍的长 度（单位：尺），则处可分别填入的是（）9. （5 分）如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个 2X2X3 的长方体框 架，一个建筑工人欲从 A 处沿脚手架攀登至 B 处，则其最近的行走路线中不连 续向上攀登的概率为（）A.iT,二$，i=2i1C. i5 二魯 1=i+1 D.B. i7, 二，i=2i1i7, #, 1=1+18. （5 分）如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球01、02,这外切，且球 0i与正方体共顶点A 的三个面相切，球 02与正方体共顶点 Bi的三个面相切，则两球

4、在正方体的面3311. （5 分）抛物线M:y2=4x的准线与 x 轴交于点 A,上一点 P 满足 PA 丄 PF,则以 F 为圆心且过点 P 的圆被 y 轴所截得的弦长约为（参 考数据：2.24）（）A.： 一 丨 B.C GD.学).涎0,亜王,若函数 F(x) =f (x)D3-3 的所有零点依次记为X1， x2， x3，Xn，且 X1Vx2VX3VV冷，则X1+2X2+2X3+2xn-1+xn=()、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.D.10. （5 分）函数 y灯的图象大致是（）点 F 为焦点，若抛物线 M12.（5A.127B.445nC. 455nD.一1

5、37lx3313. （5 分）（x- y）10的展开式中，x7y3的系数与 x3y7的系数之和等于14.(5 分)设 x, y 满足约束条件*応工+1_，且 x, y Z,则 z=3x+5y 的最大值为_ .f2eW, x2的值有_ 个.16. (5 分)一个棱长为 5 的正四面体(棱长都相等的三棱锥)纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为_ .三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. ( 12分)在厶ABC中， 角A, B, C所对应的边分别为a, b, c， 且2cos(acosC+ccosA)+b=0.(I)

6、求角 B 的大小；(U)若 a=3,点 D 在 AC 边上且 BD 丄 AC, BD；，求 c.1418. (12 分)如图 1,在矩形 ABCD 中, AD=2AB=4 E 是 AD 的中点.将 ABE 沿BE 折起使 A 到点 P 的位置，平面 PEB 丄平面 BCDE 如图 2.(I)求证：平面 PBCL 平面 PEC(U)求二面角 B-PE- D 的余弦值.19. (12 分)近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017 年双 11 期间，某购物平台的销售业绩高达 1271 亿人民币.与此同时，相关管理部门推出 了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出 200 次成

7、功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为 0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为 80 次.(I)完成下面的 2X2 列联表，并回答是否有 99%的把握，认为商品好评与服 务好评有关？对服务好评对服务不满意合计对商品好评对商品不满意合计(U)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的 3 次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量 X:(1) 求对商品和服务全好评的次数 X 的分布列;(2) 求 X 的数学期望和方差.附：20. (12 分)给定椭圆 C: +=1( a b 0),称圆心在原点 O,半径为,：.的圆是椭圆 C 的 准圆”已知椭圆 C 的离心

8、率 -.， 其准圆”的方程为X2+=4.3(I)求椭圆 C 的方程;(II)点 P 是椭圆 C 的准圆”上的动点，过点 P 作椭圆的切线 11,12交准圆”于点M，N.(1)当点 P 为准圆”与 y 轴正半轴的交点时，求直线 11, 12的方程，并证明 11丄 |2；(2)求证：线段 MN 的长为定值.21. (12 分)已知函数 f (X)= (t - 1) xex，g (X)=tx+1 - ex.(I)当 t丰1 时，讨论 f (x)的单调性；(n) f (X)k)0.150.100.050.025 0.010 0.0050.0012.072 2.706 3.8415.024 6.635

9、7.879 10.828(a+b) (c+d) (a+c) (b+ d)其中 n=a+b+c+d)22.(10 分)已知直线 I: 3x- . ;y- 6=0,在以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴 为极轴的极坐标系中，曲线 C：p-4sin0=0(I )将直线 I 写成参数方程”岂+比口(t 为参数，口 0, n),)的形式，y=tsi口。并求曲线 C 的直角坐标方程；(U)过曲线 C 上任意一点 P 作倾斜角为 30勺直线，交 I 于点 A,求| AP|的最 值.选修 4-5:不等式选讲23.已知关于 x 的不等式| x+11+| 2x- 1| 3 的解集为x|mwx 1 , B=x|xa

10、，且（？uA）UB=R 则实数 a 的取值范围是（）A. （-x，1） B. （-x，1 c.（1，+x）D. 1，+x）【解答】解：U=R 集合 A=x|x1=1，+x），B=x| xa =（a，+x），?uA=（-x，1），又（？uA）UB=R.实数 a 的取值范围是（-x，1）.故选：A.2.（5 分）若复数 z1, z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且 z1=1 - 2i，则复数一在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解答】解： Z1=1 - 2i，且复数 Z1，Z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，z2= 1 2i，则丁 二一一丄丄-二 | 二2则

11、巧 l-2i （1-2L）（1+21）飞5】，.复数一在复平面内对应的点的坐标为（音+），在第四象限.故选：D.3.（5 分）已知向量 a= （m - 1，1），b= （ m，- 2），贝厂m=2 是 “丄b”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解：T护(m - 1, 1), b = (m,- 2),，丄L? m (m- 1)- 2=0.由 m (m - 1)- 2=0,解得 m= - 1 或 m=2.m=2 是 “丄的充分不必要条件.故选：A.故选：C.5. (5 分)已知等比数列an的前 n 项和为 Sn,且 9S3=S6, a2=1，则

12、 a1=()A.寺 B.夢 C.血 D. 2【解答】解：设等比数列an的公比为 q= 1,V9$=s, a=1,9引(1-q3) aj (l-qS)1-q1-q-,a1q=1.贝 U q=2, a1 今.故选：A.22CT6. (5 分)已知曲线 r 亍=1 (a0, b0)为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为.爲则该双曲线的方程为( )4. (5 分)若-：r.，贝 U sin2 o 的值为(B.；C. D.VL51【解答】解：若工二十A.贝 U 2(cosa+sina -,即 cosa+sin2 a),即 卩2(cos2a-sin2cos - si22丄=即 sin2a=2sin8sina

13、aCOSa=2第 7 次剩下 ，27A.2 1-_2B. x2-=1 C F-/二血 D. x2-y2=22【解答】解：根据题意，若曲线 qa2匚=1( a 0, b0)为等轴双曲线，则 a2=b2, b2c=J j=Ja,即焦点的坐标为（ |；：打 a, 0）;其渐近线方程为 x y=0,若焦点到渐近线的距离为.：，则有 一口=a=】:,Vl+I故选：D.?2Xy227.（5 分）我国古代名著庄子？天下篇中有一句名言 一尺之棰，日取其半, 万世不竭”其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取 7 天后所剩木棍的长度（单位：尺

14、），则处可分别填入的是（A. i7,i-2iiC.S 二号 i= Hl D.B. iL S=S i=2iii7, s= i=i+i【解答】解：由题意可得：由图可知第一次剩下,第二次剩下,由此得出则双曲线的标准方程为=1，即卩 x2-y2=2；可得为 i0 时，y=xInx，y =+1nx，即 0vxv时，函数 y 单调递减，当因为函数 y 为偶函数，故选：D11. (5 分)抛物线 M : y2=4x 的准线与 x 轴交于点 A,点 F 为焦点，若抛物线 M 上一点P 满足 PA 丄 PF,则以 F 为圆心且过点 P 的圆被 y 轴所截得的弦长约为(参 考数据：仟2.24)()A二 I B.：

15、 . ； C.- ： D.【解答】解：由题意，A (- 1, 0), F (1, 0),点 P 在以 AF 为直径的圆 x2+y2=1 上.设点 P 的横坐标为 m，联立圆与抛物线的方程得 x2+4x-仁 0, m0,二 m= - 2+ n,.点P的横坐标为-2+. n, I PF=m+仁-1 皿,圆 F 的方程为(x- 1)2+y2= ( n - 1)2,令 x=0,可得 y= L457KA.-B.445nC. 455nD.33IT【解答】解：函数 f(K) 4sin(2x-),H-+kn得 x 丄:+, k乙 即 f （x）的对称轴方程为6223k Z. f (x)的最小正周期为 T=n,

16、02 时，f (a) =log3(a2- 1),若 log3(a2-1)v2,则 f(f(a)=2吟。M=2,解得 a=2,或 a=-2,与 a2 不符，若 log3(a2- 1) 2,则 f (f (a) =log3 (log3(a2- 1) =2,解得 a2=310+1, - a 吋补叮 i 或 a=- J?叫i与 a2 不符.15. (5 分)(x)=，且 f (f (a) =2，则满足条件的 a的值有 4个.x-1【解答】解：f (x)=当 av2 时，f(a)2 严，x2,贝 U f (f(a) =1比)2-l =2,解得 a=l 出+1，成立;5【解答】解：由约束条件.応嚣+1作出

17、可行域如图,L1-573作出直线 3x+5y=0,由此得到满足条件的 a 的值有 1- In2 和 In；+1 和 2 和:，共 4 个.故答案为：4.16. (5 分)一个棱长为 5 的正四面体(棱长都相等的三棱锥)纸盒内放一个小 正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动， 则小正四面体的棱长的最大值 为二.一丄一【解答】解：在此纸盒内放一个小正四面体， 若小正四面体在纸盒内可以任意转动，小正四面体的外接球是纸盒的内切球，设正四面体的棱长为 a,则内切球的半径为：a,外接球的半径是a，124纸盒的内切球半径是 二，12 自 12设小正四面体的棱长是 X，贝U 1=X，解得 X，12 4 I

18、3小正四面体的棱长的最大值为一，3故答案为：”三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. ( 12分)在厶 ABC中， 角 A, B, C所对应的边分别为 a, b, c， 且 2cos(acosC+ccosA)+b=0.(I)求角 B 的大小；(U)若 a=3,点 D 在 AC 边上且 BD 丄 AC, BD；，求 c.14【解答】解：(1)在厶 ABC 中，角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,且 2cosB(acosC+ccosA) +b=0.则：2cosB (sinAcosC+sinCcosA +sinB=0,整理得：2cosBsin(A+C) =-

19、 sinB,由于：OvBv n,则：sinBM0,解得：-i寸二-二，所以：B= .(U)点 D 在 AC 边上且 BD 丄 AC,在直角 BCD 中，若 a=3, BD=1415V314解得:=14只14故: c=5.18. (12 分)如图 1,在矩形 ABCD 中, AD=2AB=4 E 是 AD 的中点.将 ABE 沿BE 折起使 A 到点 P 的位置，平面 PEB 丄平面 BCDE 如图 2.(I)求证：平面 PBCL 平面 PEC(U)求二面角 B-PE- D 的余弦值. AB=AE取 BE 中点 O,连接 P0,则 P0 丄 BE,又平面 PEBL 平面 BCDE 平面 PEBA

20、 平面 BCDE=BE P0 丄平面 BCDE 贝 U P0 丄 EC,解得: AD=2AB E 为线段 AD 的中点,则：在 RtAABD 中,则：一i；所以：cos/ ABD=.-|Z在矩形 ABCD 中 ,二 AD=2AB E 为 AD 的中点, BELEC,贝UECI平面 PBE ECLPB,又 PB 丄 PE 且 PEAEC=E PB 丄平面 PEC 而 PB?平面 PBC平面 PBCL平面 PEC(U)解：以 OB 所在直线为 x 轴,以平行于 EC 所在直线为 y 轴,以 OP 所在直 线为 z轴建立空间直角坐标系，- PB=PE=2 则 B (.二,0 , 0), E ( -,

21、 0 , 0), P (0 , 0, . :), D (- 2 ：,.: ,0),二豆二(伍，山-血)，起二 d，山-2),五=(,豆,-归) 设平面 PED 的一个法向量为；,.nrPE 二 r/ixp?沪 0 由T ir-PD 二一 2 近I+V27-V2I=0又平面 PBE 的一个法向量为；_.，19. (12 分)近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇,2017 年双 11 期间，某购物平台的销售业绩高达 1271 亿人民币与此同时，相关管理部门推出,令z=1,则_-,则 cosv二.1zV3V3X1_=_3面角 B- PE- D 的余弦值为二.了针对电商的商品和服务的评价体系，

22、现从评价系统中选出 200 次成功交易，并 对其评价进行统计，对商品的好评率为 0.6,对服务的好评率为 0.75,其中对商 品和服务都做出好评的交易为 80 次.(I)完成下面的 2X2 列联表，并回答是否有 99%的把握，认为商品好评与服 务好评有关？对服务好评对服务不满意合计对商品好评对商品不满意合计200(U)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的 3 次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量 X:(1) 求对商品和服务全好评的次数 X 的分布列;(2) 求 X 的数学期望和方差.附：P (K2k)0.150.100.050.025 0.010 0.0050.0012.072

23、 2.706 3.8415.024 6.635 7.879 10.828(K2_nGdbp) *(a+b) (c+d) (a+c) Cb+d)，其中 n=a+b+c+d)【解答】解：(I)由题意可得关于商品和服务评价的 2X2 列联表如下:对服务好评对服务不满意合计对商品好评8040120对商品不满意701080合计15050200呂_200乂 熄0X10 TO X foF150X50X120X80故有 99%的把握，认为商品好评与服务好评有关.(n)( 1)每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为，且 X 的取值可以是0， 1， 2， 3.其中 P(x=0)=(亠)， p( x=D =丁二叶

24、，十，11.111 6.635,P (X=2)=.-P (X=3) =_ .-.X 的分布列为:(I)求椭圆 C 的方程；(II) 点 P 是椭圆 C 的准圆”上的动点，过点 P 作椭圆的切线 h , 12交准圆”于点M, N.(1)当点 P 为准圆”与 y 轴正半轴的交点时，求直线 li, 12的方程，并证明 li丄 |2；(2)求证：线段 MN 的长为定值.由准圆方程为 x2+y2=4，贝 U a2+b2=4，椭圆的离心率解得：a=二，b=1,Vy2=1(U)证明：(1)V准圆 x2+f=4 与 y 轴正半轴的交点为 P(0,2),设过点 P (0, 2)且与椭圆相切的直线为 y=kx+2

25、.125(2)vXB(3,0_27_125I541253&1253a), E( X)=一二一，5 5D(X)=3xZx2=155 25+ +=1 (ab0)，称圆心在原点 0,半径为.；.的圆是椭圆 C 的 准圆”已知椭圆 C 的离心率V6,其准圆”的方程为X2+=4.【解答】解：(I)椭圆的标准方程:20. (12 分)给定椭圆 C:联立肿，整理得(1+3k2) x2+12kx+9=0.直线 y=kx+2 与椭圆相切， =144k2- 4X9 (1 +3k2) =0,解得 k= 1,h, I2方程为 y=x+2，y= -x+2.=1，出=-1，丄iH k 陋=-1，则 h 丄 l2.(2)当

26、直线 l1，I2中有一条斜率不存在时，不妨设直线 I1斜率不存在, 贝UI1: x=:;,当 l1： x=时，l1与准圆交于点(F；，1)(二，-1),此时 l2为 y=1 (或 y=- 1),显然直线 l1, l2垂直;同理可证当 h：x=ff 时，直线 11, 12垂直.当 l1, l2斜率存在时，设点 P (xo, yo),其中 xo2+yo2=4.设经过点 P (xo, yo)与椭圆相切的直线为 y=t (x- xo) +yo,ry=t(z-x0)+y0由吕 7得h十八丄由厶=o 化简整理得 (3 -xo2) t2+2xoyot+1 - yo2=o,xo2+yo2=4., 有(3 -

27、xo2) t2+2xoyot+ (xo2-3) =o.设 l1, l2的斜率分别为 t1, t2,l1, I2与椭圆相切， t1, t2满足上述方程(3 - xo2) t2+2xoyot + (xo2- 3) =o, - b?t2=-1,即 I1, I2垂直.综合知：I1, |2经过点 P (xo, yo),又分别交其准圆于点M,N,且 I1, I2垂直.线段 MN 为准圆 x2+y2=4 的直径，| MN| =4,线段 MN 的长为定值.(1+3t2) +6t (yo- txo) x+3 (yo- txo)2- 3=o.21.(12 分)已知函数 f (x) = (t - 1)xW, g(x

28、) =tx+1 - ex.(1)当 t丰 1时，讨论 f(x)的单调性；(n)f (x) 1,则 xv-1 时，f (x)v0, f (x)递减，x- 1 时，f (x) 0, 递增，若 tv1,则 xv- 1 时，f (x) 0, f (x)递增，x- 1 时，f (x)v0, 递减，故 t1 时，f(x)在(-x,-1)递减，在(-1,+x)递增， tv1 时，f(乂)在(-x,-1)递增，在(-1,+X)递减；(2) f (x) g (x)在0, +x)上恒成立， 即(t - 1) xe- tx - 1+ex0, h (x)在0, +x)递增， h (x) h (0) =0,故 h (x)在0, +x)递增，故 h (x) h (0) =0,显然不成立， t 工 1,则 h (x) =ex(x+ ) (t- 1),t令 h (x) =0,贝Ux=-,(x)(x)1当-w0 即 tV或 t 1时，t-1回若 tw丄，则 h (X)在0, +x)为负，h (X)递减，故有 h (x)wh (0) =0, h (x)在0，+x)递减， h (x)wh (0) =0 成立，若 t 1,则 h (x)在0，+x)上为正，h (x)递增，故有 h (x) h (0) =0,故 h (x)在0，+x)递增，故 h (x) h (0) =0，不成立，2-土 LA0 即丄wtw