第二章 微型专题2

1、微型专题2竖直面内的圆周运动学习目标1.了解竖直面内圆周运动的两种根本模型.2.掌握轻绳(或轻杆)约束下圆周运动的两个特殊点的相关分析.3.学会分析圆周运动问题的一般方法一、竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型如图1所示 ,甲图中小球受绳拉力和重力作用 ,乙图中小球受轨道的弹力和重力作用 ,二者运动规律相同 ,现以甲图为例图1(1)最低点运动学方程：T1mgm所以T1mgm(2)最高点运动学方程：T2mgm所以T2mmg(3)最高点的最小速度：由于绳不可能对球有向上的支持力 ,只能产生向下的拉力 ,由T2mg可知 ,当T20时 ,v2最小 ,最小速度为v2.讨论：当v2时 ,拉力或压力为零当v

2、2>时 ,小球受向下的拉力或压力当v2<时 ,小球不能到达最高点例1一细绳与水桶相连 ,水桶中装有水 ,水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动 ,如图2所示 ,水的质量m0.5 kg ,水的重心到转轴的距离l50 cm.(g取10 m/s2)图2(1)假设在最高点水不流出来 ,求桶的最小速率；(结果保存三位有效数字)(2)假设在最高点水桶的速率v3 m/s ,求水对桶底的压力大小答案(1)2.24 m/s(2)4 N解析(1)以水桶中的水为研究对象 ,在最高点恰好不流出来 ,说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力 ,此时桶的速率最小此时有：mgm ,那么所求的最小速率为：v02

3、.24 m/s.(2)此时桶底对水有一向下的压力 ,设为N ,那么由牛顿第二定律有：Nmgm ,代入数据可得：N4 N.由牛顿第三定律 ,水对桶底的压力大小：N4 N.【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“绳模型针对训练(多项选择)如图3所示 ,用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动 ,那么以下说法中正确的选项是()图3A小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力B小球在最高点时绳子的拉力不可能为零C假设小球刚好能在竖直平面内做圆周运动 ,那么其在最高点的速率为D小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力答案CD解析小球在圆周最高点时 ,向心力可能等于重力也可能等于重力

4、与绳子的拉力之和 ,取决于小球的瞬时速度的大小 ,A错误；小球在圆周最高点时 ,如果向心力完全由重力提供 ,那么可以使绳子的拉力为零 ,B错误；小球刚好能在竖直面内做圆周运动 ,那么在最高点 ,重力提供向心力 ,mg ,v ,C正确；小球在圆周最低点时 ,具有竖直向上的向心加速度 ,处于超重状态 ,绳子的拉力一定大于小球的重力 ,故D正确【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“绳模型二、竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型如图4所示 ,细杆上固定的小球和管形轨道内运动的小球在重力和杆(管道)的弹力作用下做圆周运动图4(1)最高点的最小速度由于杆和管在最高处能对小球产生向上的支持力 ,故小

5、球恰能到达最高点的最小速度v0 ,此时小球受到的支持力FNmg.(2)小球通过最高点时 ,轨道对小球的弹力情况v> ,杆或管的外侧对球产生向下的拉力或压力 ,mgFm ,所以Fmmg ,F随v 增大而增大v ,球在最高点只受重力 ,不受杆或管的作用力 ,F0 ,mgm.0<v< ,杆或管的内侧对球产生向上的弹力 ,mgFm ,所以Fmgm ,F随v的增大而减小例2长L0.5 m的轻杆 ,其一端连接着一个零件A ,A的质量m2 kg.现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动 ,如图5所示在A通过最高点时 ,求以下两种情况下A对杆的作用力大小(取g10 m/s2)图5(1)A的速率

6、为1 m/s；(2)A的速率为4 m/s.答案(1)16 N(2)44 N解析以A为研究对象 ,设其受到杆的拉力为F ,那么有mgFm.(1)代入数据v11 m/s ,可得Fm(g)2×(10) N16 N ,即A受到杆的支持力为16 N根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为压力 ,大小为16 N.(2)代入数据v24 m/s ,可得Fm(g)2×(10) N44 N ,即A受到杆的拉力为44 N根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为拉力 ,大小为44 N.【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“杆模型例3(多项选择)如图6所示 ,半径为L的圆管轨道(圆管内径远小于轨

7、道半径)竖直放置 ,管内壁光滑 ,管内有一个小球(小球直径略小于管内径)可沿管转动 ,设小球经过最高点P时的速度为v ,那么( )图6Av的最小值为Bv假设增大 ,球所需的向心力也增大C当v由逐渐减小时 ,轨道对球的弹力也减小D当v由逐渐增大时 ,轨道对球的弹力也增大答案BD解析由于小球在圆管中运动 ,在最高点速度可为零 ,A错误；根据向心力公式有Fm ,v假设增大 ,球所需的向心力一定增大 ,B正确；因为圆管既可提供向上的支持力也可提供向下的压力 ,当v时 ,圆管受力为零 ,故v由逐渐减小时 ,轨道对球的弹力增大 ,C错误；v由逐渐增大时 ,轨道对球的弹力也增大 ,D正确【考点】竖直面内的圆

8、周运动分析【题点】竖直面内的“杆模型1.(轻绳作用下物体的运动)杂技演员表演“水流星 ,在长为1.6 m的细绳的一端 ,系一个与水的总质量为m0.5 kg的盛水容器 ,以绳的另一端为圆心 ,在竖直平面内做圆周运动 ,如图7所示 ,假设“水流星通过最高点时的速率为4 m/s ,那么以下说法正确的选项是(取g10 m/s2)()图7A“水流星通过最高点时 ,有水沉着器中流出B“水流星通过最高点时 ,绳的张力及容器底部受到的压力均为零C“水流星通过最高点时 ,处于完全失重状态 ,不受力的作用D“水流星通过最高点时 ,绳子的拉力大小为5 N答案B解析“水流星在最高点的临界速度v4 m/s ,由此知绳的

9、拉力恰为零 ,且水恰不流出 ,应选B.【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“绳模型2(轨道约束下小球的运动)(多项选择)如图8所示 ,质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动圆环半径为R ,小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环 ,那么其通过最高点时以下表述正确的选项是()图8A小球对圆环的压力大小等于mgB重力mg提供小球做圆周运动所需的向心力C小球的线速度大小等于D小球的向心加速度大小等于g答案BCD解析因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环 ,故在最高点时小球对圆环的压力为零 ,选项A错误；此时小球只受重力作用 ,即重力mg提供小球做圆周运动所需的向心力 ,满足

10、mgmma ,即v ,ag ,选项B、C、D正确【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“绳模型3(球在管形轨道中的运动)(多项选择)如图9所示 ,小球m在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动 ,以下说法正确的选项是()图9A小球通过最高点时的最小速度是B小球通过最高点时的最小速度为零C小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力D小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力答案BD解析小球通过最高点的最小速度为0 ,圆形管外侧、内侧都可以对小球提供弹力 ,小球在水平线ab以下时 ,必须有指向圆心的力提供向心力 ,即外侧管壁对小球一定有作用力 ,故B、D

11、正确【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“杆模型4(轻杆作用下小球的运动)如图10所示 ,质量为m的小球固定在杆的一端 ,在竖直面内绕杆的另一端O做圆周运动当小球运动到最高点时 ,瞬时速度为v ,L是球心到O点的距离 ,那么球对杆的作用力是()图10A.mg的拉力 B.mg的压力C零 D.mg的压力答案B解析当重力完全充当向心力时 ,球对杆的作用力为零 ,所以mgm ,解得：v ,而< ,故杆对球是支持力 ,即mgNm ,解得Nmg ,由牛顿第三定律 ,球对杆是压力 ,应选B.【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“杆模型选择题考点一轻绳(过山车)模型1长为r的细绳

12、 ,一端系一质量为m的小球 ,另一端固定于某点 ,当绳竖直时小球静止 ,再给小球一水平初速度v0 ,使小球在竖直平面内做圆周运动 ,并且刚好能过最高点那么以下说法中正确的选项是()A小球过最高点时速度为零B小球过最高点时速度大小为C小球开始运动时绳对小球的拉力为mD小球过最高点时绳对小球的拉力为mg答案B【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“绳模型2.如图1所示 ,某公园里的过山车驶过轨道的最高点时 ,乘客在座椅里面头朝下 ,人体颠倒 ,假设轨道半径为R ,人体重为mg ,要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力 ,那么过山车在最高点时的速度大小为()图1A0 B. C.

13、 D.答案C解析由题意知Fmg2mgm ,故速度大小v ,C正确【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“绳模型3某飞行员的质量为m ,驾驶飞机在竖直面内以速度v做匀速圆周运动 ,圆的半径为R ,在圆周的最高点和最低点比拟 ,飞行员对座椅的压力在最低点比最高点大(设飞行员始终垂直于座椅的外表)()Amg B2mgCmg D2答案B解析在最高点有：F1mgm ,解得：F1mmg；在最低点有：F2mgm ,解得：F2mgm.所以F2F12mg ,B正确【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“绳模型4.在游乐园乘坐如图2所示的过山车时 ,质量为m的人随车在竖直平面内沿圆周轨道运动

14、,以下说法正确的选项是()图2A车在最高点时人处于倒坐状态 ,全靠保险带拉住 ,假设没有保险带 ,人一定会掉下去B人在最高点时对座位仍可能产生压力 ,但压力一定小于mgC人在最高点和最低点时的向心加速度大小一定相等D人在最低点时对座位的压力大于mg答案D解析过山车上人经最高点及最低点时 ,受力如图 ,在最高点 ,由mgNm ,可得：Nm(g)在最低点 ,由Nmgm ,可得：Nm(g)由支持力(大小等于压力)表达式分析知：当v1较大时 ,在最高点无保险带也不会掉下 ,且还可能会对座位有压力 ,大小因v1而定 ,所以A、B错误最高点、最低点两处向心力大小不等 ,向心加速度大小也不等(变速率) ,所

15、以C错误由式知最低点N>mg ,根据牛顿第三定律可知 ,D正确【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“绳模型考点二杆(管道)模型5长度为1 m的轻杆OA的A端有一质量为2 kg的小球 ,以O点为圆心 ,在竖直平面内做圆周运动 ,如图3所示 ,小球通过最高点时的速度为3 m/s ,g取10 m/s2 ,那么此时小球将()图3A受到18 N的拉力B受到38 N的支持力C受到2 N的拉力D受到2 N的支持力答案D解析设此时轻杆拉力大小为F ,根据向心力公式有Fmgm ,代入数值可得F2 N ,表示小球受到2 N的支持力 ,选项D正确【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“杆

16、模型6(多项选择)如图4所示 ,一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内 ,其中管道半径为R.现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管内运动 ,当小球通过最高点时速率为v0 ,那么以下说法中正确的选项是()图4A假设v0 ,那么小球对管内壁无压力B假设v0> ,那么小球对管内上壁有压力C假设0 <v0< ,那么小球对管内下壁有压力D不管v0多大 ,小球对管内下壁都有压力答案ABC解析在最高点 ,只有重力提供向心力时 ,由mgm ,解得v0 ,因此小球对管内壁无压力 ,选项A正确假设v0 ,那么有mgFNm ,说明小球对管内上壁有压力 ,选项B正确假设0v0 ,那么有mgFNm

17、 ,说明小球对管内下壁有压力 ,选项C正确综上分析 ,选项D错误【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“杆模型7如图5所示 ,质量为m的小球置于正方体的光滑盒子中 ,盒子的边长略大于球的直径某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动 ,重力加速度为g ,空气阻力不计 ,那么()图5A假设盒子在最高点时 ,盒子与小球之间恰好无作用力 ,那么该盒子做匀速圆周运动的周期为2B假设盒子以周期做匀速圆周运动 ,那么当盒子运动到图示球心与O点位于同一水平面位置时 ,小球对盒子左侧面的力为4mgC假设盒子以角速度2做匀速圆周运动 ,那么当盒子运动到最高点时 ,小球对盒子下面的力为3mgD

18、盒子从最低点向最高点做匀速圆周运动的过程中 ,球处于超重状态；当盒子从最高点向最低点做匀速圆周运动的过程中 ,球处于失重状态答案A解析由mgmR可得 ,盒子运动周期T2 ,A正确由FN1mR ,T1 ,得FN14mg ,由牛顿第三定律可知 ,小球对盒子右侧面的力为4mg ,B错误由FN2mgm2R得 ,小球以2做匀速圆周运动时 ,在最高点小球对盒子上面的力为3mg ,C错误盒子由最低点向最高点运动的过程中 ,小球的加速度先斜向上 ,后斜向下 ,故小球先超重后失重 ,D错误【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“杆模型8(多项选择)如图6甲所示 ,轻杆一端固定在O点 ,另一端固定一小球 ,现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动小球运动到最高点时 ,杆与小球间弹力大小为F ,小球在最高点的速度大小