两个随机变量函数的分布课件

1、概率统计概率统计下页结束返回3.3 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布已知（已知（X，Y）的概率分布，求其函数）的概率分布，求其函数Z= g (X,Y)的概率分布的概率分布内容：内容：要点：要点：一、离散型一、离散型二、连续型（和的分布）二、连续型（和的分布）要求：要求：掌握基本方法掌握基本方法下页概率统计概率统计下页结束返回一、离一、离 散散 型型例1 已知（X, Y ) 的联合分布律-1, 0, 2, 3, 5, 且求 Z = X+Y的概率分布.解： Z = X + Y 的所有可能取值为：PZ= -1=PX+Y= -1=PX= -1，Y=0=1/10PZ= 0=PX+Y=0=PX

2、= -1，Y=1=1/20PZ= 2=PX+Y=2=PX= -1，Y=3+PX=2，Y=0= 3/20+3/10pk 1/10 1/20 9/20 0 4/10Z -1 0 2 3 5 1/10 1/20 3/20 3/10 0 4/10-1 2 0 1 3XY问题：Z = XY 的的概率分布？下页概率统计概率统计下页结束返回例 2.的分布律机变量，试求随分布，令的与参数为相互独立，且分别服从与设随机变量ZYXZYXPoisson21，的取值都是与由随机变量210YX，的取值也是可知随机变量210YXZnZPnYXP0,nkPXk ynk解:所以下页概率统计概率统计下页结束返回nkknYkXP

3、0，nkknkeknek02121! nkknYPkXP0nkknkknke021!121nkknkknknne021!21nkknkknCne021!21nne21!2121!,21ennZPn即分布的服从参数为分布的定义，知由PoissonPoisson21YXZ，210n下页概率统计概率统计下页结束返回二、连二、连 续续 型型问题：已知已知(X,Y)的联合密度的联合密度f(x,y),求求Z=X+Y的概率密度的概率密度fZ(z).x+y=zyx根据分布函数定义有根据分布函数定义有DzdxdyyxfzYXPzZPzF),()(zyxdxyyxf),( dxdyyxfxz),(xzdydxyx

4、f),(对对z求导，得求导，得Z的概率密度的概率密度fZ(z)为为 dxxzxfzfz),()(dyyyzfzfz),()(由对称性可得由对称性可得交换积分秩序下页概率统计概率统计下页结束返回卷积公式：卷积公式：若若X, Y相互独立，则相互独立，则 f(x,y) =fX(x) fY(y)，代入上式，代入上式可得可得 例例3 3设设X和和Y是两个互相独立的随机变量，且是两个互相独立的随机变量，且XN(0,10,1), ,Y N(0 0，1 1)，求求Z = = X + +Y 的概率密度的概率密度. .解：解：由于由于X、Y互相独立，由卷积公式互相独立，由卷积公式dxxzfxfzfYXz)()()

5、(dxexzx2)(222212zxtdxeezxz22)2(421dteetz22421442222121zzeedxeexzx2)(2222121dxxzfxfzfYXz)()()(dyyfyzfzfYXz)()()(下页概率统计概率统计下页结束返回 从而有，从而有，Z=X+YN（0，2）. 一般地一般地（1）若若X1 ，X2N ， 且且X1、X2相互独立，则有相互独立，则有 ),(211N),(222nininiiiiNX1112),(),(222121X1+X2N下页 （2）如果）如果Xi(i=1,2,n)为为 n 个互相独立的随个互相独立的随机变量，且机变量，且 ，则，则),(2ii

6、iNX概率统计概率统计下页结束返回例 4.的密度函数，试求随机变量均匀分布，令上的，相互独立，都服从区间与设随机变量ZYXZYX10由题意，可知 其它,010 ,1xxfX 其它,010 ,1yyfY ，则有的密度函数为设随机变量zfYXZZ dxxzfxfzfYXZ解:下页概率统计概率统计下页结束返回, 20zz，或若 0zfZ，若10 z zZdxzf01z dxxzfxfzfYXZ10, 10 xzxxz0 xz1 xz0112 111zZdxzfz2，若21 z的密度函数为综上所述，我们可得YXZ 其它,021 ,210 ,zzzzzfZ下页概率统计概率统计下页结束返回的密度函数量，试

7、求随机变的指数分布，令服从分布，上的均匀，服从区间相互独立，与设随机变量ZYXZYXYX110由题意，可知 其它,010 ,1xxfX 0,00,yyeyfyY ，则有的密度函数为设随机变量zfYXZZ dxxzfxfzfYXZ例5.解:下页概率统计概率统计下页结束返回，若0z 0zfZ，若10 z ,dxxzfxfzfYXZ0, 10 xzxxz0 xz011 zxzZdxezf0)(1ze1zxzdxee0，若1z 10)(dxezfxzZzzee110dxeexz 1,10 ,10,01zeezezzfzzzZ的密度函数为所以， Z下页概率统计概率统计下页结束返回其它, 0 1 , 0,

8、2)(yyyfY解：用分布函数法例6.设X、Y相互独立 , fX(x)和fY(y)如下 , 求Z=X+Y的密度函数.其它, 0 1 , 0, 1)(xxfXzyxdxdyyxf),(现考虑现考虑f(x,y)0的区域与的区域与x+y z的取值，分四种情况计算的取值，分四种情况计算.当当z2时，时，Fz(z)=1；下页)(zYXPzFZ1xyxy011220 xy2xy当当0z1时，时，zxzZzydydxzF003; 3/2)(概率统计概率统计下页结束返回其它, 0 1 , 0,2)(yyyfY解：用分布函数法例6.设X、Y相互独立 , fX(x)和fY(y)如下 , 求Z=X+Y的密度函数.其

9、它, 0 1 , 0, 1)(xxfXzyxdxdyyxf),(现考虑现考虑f(x,y)0的区域与的区域与x+y z的取值，分四种情况计算的取值，分四种情况计算.当当10的区域与的区域与x+y z的取值，分四种情况计算的取值，分四种情况计算.下页)(zYXPzFZ概率统计概率统计下页结束返回作业： 63页 18,19补充题：补充题：设设X、Y相互独立，相互独立，fX(x)和和fY(y)如下，如下，用卷积公式求用卷积公式求Z=X+Y的概率密度函数的概率密度函数.其它, 0 1 , 0,2)(yyyfY其它, 0 1 , 0, 1)(xxfX结束概率统计概率统计下页结束返回,20zz，或若 0zf

10、Z，若10 z zZzdxxzzf02)(2 dxxzfxfzfYXZ10, 10 xzxxz0 xz1 xz0112 2112)(2zzdxxzzfzZ，若21 z的密度函数为综上所述，我们可得YXZ下页其它当当,021,210,)(22zzzzzzfz补充题：设X、Y相互独立，fX(x)和fY(y)如下，用卷积公式求Z=X+Y的概率密度函数.其它,01 ,0,2)(yyyfY其它,01 ,0, 1)(xxfX解:概率统计概率统计下页结束返回第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征何谓随机变量的数字特征？何谓随机变量的数字特征？ 通常是指与随机变量有关的，虽然不能完整地刻划随机变量

11、，通常是指与随机变量有关的，虽然不能完整地刻划随机变量，但却能较为集中地反映随机变量某些方面的重要特征的一些但却能较为集中地反映随机变量某些方面的重要特征的一些数值数值. .1. 数学期望的概念及性质；数学期望的概念及性质；2. 方差的概念及性质；方差的概念及性质；3. 常见分布的数字特征常见分布的数字特征;本章内容：4. 协方差、相关系数的概念及性质协方差、相关系数的概念及性质.下页概率统计概率统计下页结束返回一一 、离散型随机变量的数学期望、离散型随机变量的数学期望引例引例有甲、乙两射手各射击有甲、乙两射手各射击100次，他们的射击技术用下表给出：次，他们的射击技术用下表给出：甲射手射击情

12、况 击中环数 8 9 10 次 数 30 10 60 频 率 0.3 0.1 0.6 乙射手射击情况 击中环数 8 9 10 次 数 20 50 30 频 率 0.2 0.5 0.3 4.1 数学期望数学期望问题：问题：谁的射击水平高？解：解：“射击水平射击水平”一般用一般用平均击中环数平均击中环数来反映来反映. 所以，只要对他们所以，只要对他们的平均击中环数进行比较即可的平均击中环数进行比较即可.下页概率统计概率统计下页结束返回引例引例有甲、乙两射手各射击有甲、乙两射手各射击100次，他们的射击技术用下表给出：次，他们的射击技术用下表给出：甲射手射击情况 击中环数 8 9 10 次 数 30

13、 10 60 频 率 0.3 0.1 0.6 乙射手射击情况 击中环数 8 9 10 次 数 20 50 30 频 率 0.2 0.5 0.3 3 . 91006010109308甲X1 . 91003010509208乙X问题：问题：谁的射击水平高？解：解：“射击水平射击水平”一般用一般用平均击中环数平均击中环数来反映。所以，只要对他来反映。所以，只要对他们的平均击中环数进行比较即可们的平均击中环数进行比较即可.显然，甲射手的水平较高显然，甲射手的水平较高.下面再对下面再对“平均击中环数平均击中环数”的计算过程稍作分析的计算过程稍作分析.下页概率统计概率统计下页结束返回甲射手射击情况 击中环

14、数 8 9 10 次 数 30 10 60 频 率 0.3 0.1 0.6 乙射手射击情况 击中环数 8 9 10 次 数 20 50 30 频 率 0.2 0.5 0.3 3 . 91006010109308甲X1 . 91003010509208乙X3 . 96 . 0101 . 093 . 081006010100109100308甲X显然，显然，“平均击中环数平均击中环数”，是各种环数以频率为权的加权平均，是各种环数以频率为权的加权平均.下页概率统计概率统计下页结束返回定义定义 设离散型随机变量设离散型随机变量X的概率分布为的概率分布为PX = xk = pk ， k =1,2,31k

15、kkpx1kkkpx1)(kkkpxXE若级数若级数绝对收敛，绝对收敛，则称级数则称级数为为 X 的数学期望（或均值），的数学期望（或均值），记作记作E（X），），即即3 . 96 . 0101 . 093 . 081006010100109100308甲X“平均击中环数平均击中环数”，是各种环数以频率为权的加权平均。，是各种环数以频率为权的加权平均。下页概率统计概率统计下页结束返回设离散型随机变量 X 的分布律为： X 0 1 2 P 0.1 0.2 0.7例 1.若离散型随机变量 X 的分布律为： X 0 1 2 P 0.7 0.2 0.1此例说明了数学期望更完整地刻化了此例说明了数学期望

16、更完整地刻化了X的均值状态的均值状态.下页概率统计概率统计下页结束返回按规定，火车站每天 8:009:00, 9:0010:00 都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立，其规律为： 到站时间 8:10,9:10 8:30,9:30 8:50,9:50 概率 1/6 3/6 2/6例 2.解：设旅客的候车时间为 X（以分记）(1) X 的分布律： X 10 30 50 P 1/6 3/6 2/6下页E(X)=10*(1/6)+30*(3/6)+50*(2/6)=33.33(分分)概率统计概率统计下页结束返回 X 10 30 50 70 90 P 3/6 2/6 (1/

17、6)*(1/6) (3/6)*(1/6) (2/6)*(1/6) 到站时间 8:10,9:10 8:30,9:30 8:50,9:50 概率 1/6 3/6 2/6（2）旅客8：20分到达(须考虑其后的5班车)X的分布率为下页E(X)=10*(3/6)+30*(2/6)+50*(1/36)+70*(3/36) +90*(2/36) =27.22(分分)概率统计概率统计下页结束返回常见分布的期望常见分布的期望1) 0-1分布分布 概率分布为:X 1 0pk p 1-pE（X）= 1 p + 0 (1-p) = p 2) 二项分布二项分布 设随机变量XB（n，p），其概率分布为:nknknkknk

18、knkknkqpknknkqpCkpkXE000)!( !)(nknkknkknkqpknknnpqpknkn111)!()!1()!1()!()!1(!101)!1()!()!1(njjnjqpjnjnnp1)(nqpnp.nppqnkqpCkXPknkkn1, 2, 1, 0,下页概率统计概率统计下页结束返回常见分布的期望常见分布的期望3) 泊松分布泊松分布 设随机变量XP()，其概率分布为10)!1(!)(kkkkekekkXE11)!1(kkke)!:(0 xkkekx注意0)!(jjjeeeekkXPk!，k = 0,1,2,3,0下页概率统计概率统计下页结束返回例例3. 3. 如何

19、确定投资决策方向如何确定投资决策方向? ? 某人有某人有10万元现金，想投资于某万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为项目，预估成功的机会为 30%，可得，可得利润利润8万元万元 ， 失败的机会为失败的机会为70%，将，将损失损失 2 万元若存入银行，同期间的万元若存入银行，同期间的利率为利率为5% ，问是否作此项投资，问是否作此项投资?解解: :设设 X 为投资利润，则为投资利润，则()2 0.78 0.31(),E X 万元存入银行的利息为存入银行的利息为,),(5 . 0510万元万元 %故应选择投资故应选择投资.Xp82 3 . 07 . 0概率统计概率统计下页结束返回二、连续型随

20、机变量的数学期望定义定义 设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为f(x)，如果积分，如果积分dxxxf)(dxxxfXE)()(绝对收敛，则称积分值为绝对收敛，则称积分值为X的数学期望（或均值）的数学期望（或均值）.记作记作E（X），即），即下页概率统计概率统计下页结束返回例例4设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为其它,011,11)(2xxxf求求X的数学期望的数学期望解：E(X)dxxxf)(dxxx11211= 0因为，奇函数在对称区间上的积分等于因为，奇函数在对称区间上的积分等于0.下页概率统计概率统计下页结束返回4) 均匀分布均匀分布 设X Ua,b 概

21、率密度为：其它, 0,1)(bxaabxfbadxabxdxxxfXE1)()(2ba 常见分布的期望常见分布的期望00)()(xxxdedxxedxxxfXE1|000dxedxexexxx,0( )0 ,0 xexp xx)(xf5) 指数分布指数分布 设X E() 概率密度为：下页概率统计概率统计下页结束返回222)(21)(xexf，（x+) 令 dxexXEx222)(21)(得, txdtedtetXEtt222221)(21)(6) 正态分布正态分布 设XN（,2）概率密度为常见分布的期望常见分布的期望下页概率统计概率统计下页结束返回 三、三、 随机变量函数的数学期望随机变量函数

22、的数学期望1. 如果X为离散型随机变量，其概率分布为 P X=xk = Pk, k =1,2,3,1)(kkkpxg绝对收敛， E（Y）= E g(X) = 1)(kkkpxg且级数则有下页例例5. 已知已知X的概率分布为的概率分布为 X -1 0 1 2 5 P 0.3 0.1 0.2 0.15 0.25令令Y=X2 ，求，求E(Y)。解：E(Y)=g(-1)*0.3+ g(0)*0.1+ g(1)*0.2+ g(2)*0.15+ g(5)*0.25 = 1*0.3+ 0*0.1+ 1*0.2+ 4*0.15+ 25*0.25 =7.351*0.31*0.2概率统计概率统计下页结束返回 三、

23、三、 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望2. 如果X为连续型随机变量，其概率密度为 f(x)，且积分 dxxfxg)()(dxxfxgXgEYE)()()()(绝对收敛， 解：122)()(|)(00dxexdxexdxxfxYExx则有020,2)(xexexfxx例例6 6已知连续型随机变量X的概率密度，试求Y=|X|的数学期望。下页概率统计概率统计下页结束返回3. 如果如果(X,Y)为离散型随机向量为离散型随机向量，其联合概率分布为，其联合概率分布为 P X=xi Y=yj = pij i , j =1,2,3,则Z=g (X,Y)的数学期望为ijjijipyxgYXgEZE)

24、,(),()(下页例例7 7. 设二维离散型随机向量设二维离散型随机向量( (X, ,Y) )的概率分布如下表所示的概率分布如下表所示, ,求求: :Z= =X2 2+ +Y的期望的期望. .E( (Z) )=g(1,1)g(1,1) 0.125+g(1,2)0.125+g(1,2) 0.25+g(2,1)0.25+g(2,1) 0.5+g(2,2)0.5+g(2,2) 0.1250.125 = 2 2 0.125 + 0.125 + 3 3 0.25 + 0.25 + 5 5 0.5 + 0.5 + 6 6 0.125 =0.125 = 4.25解解: Y X 1 2 1 1/8 1/4 2

25、 1/2 1/8 概率统计概率统计下页结束返回4.如果如果(X,Y)为连续型随机向量为连续型随机向量，其联合概率密度为，其联合概率密度为f(x,y)，则，则Z=g (X,Y)的数学期望为的数学期望为 dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()(特别特别;),()( dxdyyxxfXE dxdyyxyfYE),()(下页例8设二维随机向量（X，Y）的概率密度为试求E(X)及E(XY).10)1(20526),()(xxydyxdxdxdyyxxfXE 10)1(201546),()(xxydyxydxdxdyyxxyfXYE其它, 0)1 (20 , 10,6),(xyxxyyxf解

26、解:y=2(1-x)0 xy12概率统计概率统计下页结束返回 例例9.9. 设国际市场上每年对我国某种出口农产品的需求量设国际市场上每年对我国某种出口农产品的需求量X (单单位：位：t )是随机变量，它服从是随机变量，它服从1200，3000上的均匀分布若售上的均匀分布若售出这种农产品出这种农产品1t，可赚，可赚2万元，但若销售不出去，则每吨需付仓万元，但若销售不出去，则每吨需付仓库保管费库保管费1万元，问每年应准备多少吨产品才可得到最大利润万元，问每年应准备多少吨产品才可得到最大利润?()Yg X解解: : 设每年准备该种商品设每年准备该种商品a吨吨,年利润为年利润为Y (大写字母大写字母)

27、112003000( )18000 xf x，其它300012001( )( )d1800E Yg xx得到平均利润为得到平均利润为则利润为则利润为下页aXXaXaXa),(2,2aXaXaXa,3,2d2d)3(1800130001200aaxaxax概率统计概率统计下页结束返回()Yg X解:112003000( )18000 xf x，其它利润为300012001( )( )d1800E Yg xx得到平均利润为得到平均利润为( )E Y当当a= 2400时，时， 取到最大值，故取到最大值，故每年准备此种商品每年准备此种商品2400 t，可使平均，可使平均利润达到最大利润达到最大 例例9

28、.9. 设国际市场上每年对我国某种出口农产品的需求量设国际市场上每年对我国某种出口农产品的需求量X (单单位：位：t )是随机变量，它服从是随机变量，它服从1200，3000上的均匀分布若售上的均匀分布若售出这种农产品出这种农产品1t，可赚，可赚2万元，但若销售不出去，则每吨需付仓万元，但若销售不出去，则每吨需付仓库保管费库保管费1万元，问每年应准备多少吨产品才可得到最大利润万元，问每年应准备多少吨产品才可得到最大利润?下页aXaXaXa,3,2d2d)3(1800130001200aaxaxax)2160000720023(180012aa概率统计概率统计下页结束返回四四 、 数学期望的性质数学期望的性质性质1 E（C）= C (C为常数)性质2 E（