行列式的计算方法及应用毕业论文

1、山西师范大学现代文理学院本科毕业论文行列式的计算方法及应用 姓 名张建民系 别数学与计算机科学专 业数学与应用数学班 级1004学 号1090110403指导教师王翠红答辩日期成 绩行列式的计算方法及应用内容摘要科学研究、工程技术和经济活动中有许多问题可归结为线性方程组，行列式正是由研究线性方程组产生的，并成为一种重要的数学工具，因此懂得解行列式就非常重要。本文总结了行列式的十一种计算方法，并对每种方法进行例题跟踪。另外还叙述了行列式在初中代数和解析几何两个方面的应用。【关键词】线性方程组 行列式 初中代数 解析几何Calculating methods of determinant and

2、its applicationAbstractScientific research, engineering and economic activities and there are a lot of problems can be formulated as linear equations, the determinant is generated by a system of linear equations, and become an important mathematical tool, so it is very important to know the solution

3、 determinant. This paper summarizes eleven methods of calculating the determinant, and each method are examples of tracking. Also describes the determinant in the application of the two aspects of junior high school algebra and analytic geometry【Key Words】linear equations Determinant junior high sch

4、ool algebra analytic Geometry目 录前言1一、行列式的计算方法3（一）利用行列式定义计算3（二）利用行列式的性质计算4（三）化三角形法4（四）降阶法6（五）递推公式法6（六）利用范德蒙行列式7（七）加边法8（八）数学归纳法8（九）连加法9（十）拆项发9（十一）析因子法10二、行列式的应用10（一）行列式在代数中的应用11（二）行列式在几何中的应用12参考文献14致谢15行列式的计算方法及应用学生姓名：张建民 指导老师：王翠虹前言 解方程是代数中一个基本问题，特别是在中学所学代数中，解方程占有重要地位。比如说，如果一段导线的电阻为,它两端的点位差为,那么通过这段导线的

5、电流强度为,就可以用关系式表示求出来。这就是通常所谓解一元一次方程的问题。在中学所学代数中，我们解过一元、二元、三元以至四元一次方程组。下面讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组。对于二元线性方程组 当时，此方程组有唯一解，即 ，称为二级行列式，用符号表示为 当二级行列式 时，该方程组有唯一解，即 对于三元线性方程组有相仿的结论。设有三元线性方程组 称代数式为三级行列式，用符号表示为：= 我们有：当三级行列式 时，上述三元线性方程组有唯一解，解为 其中 把这个结果推广到元线性方程组 的情形。为此将要给出级行列式的定义及计算方法。定义 级行列式 等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积 的代数和，

6、这里是的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：当是偶排列时，带有正号，当是奇排列时，带负号。这一定义可以写成这里表示对所有级排列求和。级行列式性质：把行列式的各行变为相应的列，所得行列式与原行列式相等。把行列式的两行（两列）对调，所得行列式与原行列式绝对值相等，符号相反。把行列式的某一行（或一列）的所有元素乘以某个数，等于用数乘原行列式。如果行列式某两行（或两列）的对应元素成比例，那么行列式等于零。如果行列式的某一行（一列）的元是二项式，那么这个行列式等于把这些二项式各取一项作成相应行（或列）而其余行（或列）不变的两个行列式的和。把行列式某一行（或列）的所有元同乘以一个数，加到另一行（或一列）

7、的对应元上，所得行列式与元行列式相等。行列式某一行（或一列）的各元与另一行（或一列）对应元的代数余子式的乘积的和等于零。行列式等于它的任意一行（或一列）的所有元与它们各自对应的代数余子式的乘积的和。一、 行列式的计算方法(一)、利用行列式定义计算 例1 计算行列式 解：展开式中项的一般形式是 显然，如果，那么，从而这个项都等于零。因此只需考虑的那些项；同理，只需考虑这些列指标的项。这就是说行列式不为零的项只有这一项，而这一项前面的符号应该是正的。所以 （二）、利用行列式的性质计算 例2 计算级行列式 解：这个行列式的特点是每一行有一个元素是，其余个是。根据性质6，把行列式第二列加到第一列，行列

8、式不变，再把第三列加到第一列，行列式不变直到第列也加到第一列，即得 =把第二行到第行都分别加上第一行的-1倍，就有 根据例1得 （三）、化三角形法化三角形法是利用行列式的性质将原行列式化为上（下）三角形行列式计算的一种方法，它是计算行列式的重要方法之一。因为利用行列式的定义容易计算上（下）三角形行列式。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作保值变形，再将其化为三角形行列式。例3 计算行列式 解 =（四）、降阶法 降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，

9、然后再展开.例5 计算行列式 解 （五）、递推公式法应用行列式的性质，把一个n阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式。根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给n阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法。 例6 计算阶行列式 解 按第一列展开 于是有 =及 =从上两式削去，得对于形如的所谓三角行列式，可直接展开得两项递推公式，然后采用如下一些方法求解。方法1 如果较小，则直接递推计算。方法2 用第二数学归纳法：即验证时结论成立，设结论成立，若证明时结论也成立，则对任意自然数

10、结论相应也成立。方法3 将变形为，其中，由韦达定理知是一元二次方程的两个根。确定后，令，利用递推求出，再由递推求出。方法4 设代入得因此有（称为特征方程），求出其根（假设），则这里可通过取来确定。例4 求阶行列式的值 解 按第一行展开得，即作特征方程解得，则 当时，代入式得当时，代入得 联立求解得，故（六）、利用范德蒙行列式 例7 计算行列式 解 把第1行的1倍加到第2行，把新的第2行的1倍加到第3行，以此类推直到把新的第行的1倍加到第行，便得范德蒙行列式 =其中“”表示连乘号。（七）、加边法 计算某些行列式有时特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的方法叫做加边法。当然，加边后

11、要保证行列式的值不变，并且要使所得的高一阶行列式容易计算。要根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。加法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分别为个元素的倍数的情况。例8 计算行列式 解 给原行列式加边 =（八）、数学归纳法首先利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。但给定一个行列式要猜想其值是比较困难的，因此数学归纳法一般是用来证明行列式等式。例9 计算阶行列式 解 用数学归纳法 当时 =假设时，有 则当时，把按第一列展开，得 = =（九）、连加法如果行列式中某列（行）加上其余各列（行），使该列（行）元素均相等或出现较多零，进而简化行列

12、式的计算方法称为连加法。 例10 计算行列式 解 它的特点是各列元素之和为 ,因此把各行都加到第一行，然而第一行再提出 ,得 将第一行乘以分别加到其余各行，化为三角形行列式，则 =（十）、拆项发 把行列式的某一行（或列）的元素写成两数和的形式，然后利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，进而使行列式简化以便计算。例11 算行列式 解 =（十一）、析因子法例12 算行列式 解 由行列式定义知为的4次多项式，又，当时，行相同，有,所以为的根。 当时，行相同，有 所以为的根。故有4个1次因式：设令，则 即，所以所以小结 以上是行列式计算常用的方法，在实际计算中，不同的方法适应于不同特征的行列式，

13、如定义法一般适用于0比较多的行列式，利用性质分为直接利用和利用性质化三角形行列式，降阶法主要是利用按行（列）展开公式，一般某行或某列含有较多的零元素。每一种方法都有其各自的优点及其独特之处，因此研究行列式的解法有非常重要的意义。二、行列式的应用 行列式是研究数学的重要工具之一，下面主要介绍行列式在代数和几何两个方面的应用。(一)、行列式在代数中的应用（1）用行列式解线性方程组如果线性方程组 （其中代表未知量，代表未知量的系数，带表常数项。）的系数行列式,那么，这个方程组有解，并且解事唯一的，可表示为 （2）用行列式因式分解利用行列式分解因式的关键, 是把所给的多项式写成行列式的形式, 并注意行

14、列式的排列规则. 下面列举几个例子来说明.例13 分解因式 解 原式= = = = = = =(3)用行列式证明恒等式我们知道, 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上, 行列式不变; 如果行列式中有一行（列）的元素全部是零, 那么这个行列式等于零. 利用行列式的这些性质, 我们可以构造行列式来证明等式和不等式.例14 已知 求证证明 令，则命题得证。（二）、行列式在几何中的应用（1）用行列式表示三角形的面积以平面内三点，为顶点的的面积是证明 将平面,三点扩充到三维空间，其坐标分别为，其中为任意常数。由此可得， 面积为 = = =（2）用行列式表示直线方程 直线通

15、过两点和的直线方程为 证明 由两点式，我们的直线 方程为 将上式展开并化简，得此式可进一步变形为 此式为行列式按第三行展开所得结果，原式得证。（3）三线共点平面内三条互不平行的直线相交于一点的充要条件是（4）三点共线 平面内三点，在一直线的充要条件是 参考文献1北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数(第三版)M. 北京: 高等教育出社, 2003.2、江苏师范学院数学系编写组编. 解析几何（第四版）M.北京：高等教育出版社，20033、许甫华.高等代数解题方法M.北京：清华大学出版社，20034、胡乔林.关于行列式的定义及其计算方法M,科技信息,2007，255、张贤科,许浦华 高等代数学M.北京 清华大学出版社，20036、毛纲源.线性代数解题方法技巧归纳M.武汉：华中科技大学出版社，20007、万广龙. 行列式的计算方法与技巧J. China's Foreign Trade , 2011,(04) 8、周宁, 夏益斌. 行列式在解析几何中的应用J. 昆明冶金高等专科学校学报 , 2011,(01)9、杨鹏辉.行列式的计算技巧J. 宜春学院学报 , 2011,(04) 10彭丽清. 行列式的应用J. 忻州师范学院学报, 2005(5), 40-41.11钱吉林. 高等代数题解精粹M. 北京: 中央民族大学出版社, 2002.致谢本文是在