颜色建模方法

1、颜色建模方法1. 绪论颜色建模的目的是建立颜料或染料与它们的混合色之间的光谱关系或色度关系。这里的颜料或染料可以是油墨、墨水或色光，如显示器的荧光粉。印刷品、显示图像和相片等颜色复制的结果都与原色之间有一定的数学关系，计算机配色系统和色彩管理系统都是利用这种数学关系进行的。本课程将对印刷复制所涉及到的有关问题：显示器的呈色模型和颜色计算、扫描仪的颜色计算、彩色打印机的颜色计算和印刷品的颜色计算做一个一般性的讨论，揭示混合色与原色之间的内在关系，探讨色彩管理的一般方法。色彩管理包含三个内容：彩色设备的色度特征化并建立颜色模型、选择参考空间和色域映射。彩色设备的色度特征化是用测量仪器对设备进行色度

2、的测量，找出原色的色度特征或规律，建立输入和输出的关系；色域映射是按一定的要求，将不同设备的颜色空间向参考颜色空间进行转换，从而达到各设备之间颜色转换的目的。通常进行色彩管理计算的方法有三种：直接插值法、多重线性回归法和模型分析法。前两种方法都需要用设备输出大量的色样，用仪器测量出各色样的颜色值，直接插值法用插值法直接建立输出颜色与数字驱动值之间的查找关系；多重线性回归法则是用多重线性回归法建立原色与样品色度之间的经验公式，用此经验公式计算复制的颜色。这两种方法的优点是计算简单，可以直接生成颜色查找表。这两种方法都需要制作大量的色样，色样越多，计算的准确性就越高。如果系统的输入输出线性较好，两

3、种方法的结果一致，非线性越高，多重回归的方法误差就会越大。这两种方法的缺点是更改数据困难，改变了输出条件，就必须重新计算一次。第三种方法是用颜色建模的方法建立输入与输出之间的关系。这种方法的好处是：使用较少的输出色样；可以随着输出已经的改变很方便地改变；可以分析颜色复制的特性；可以比较容易地计算设备复制的色域。缺点是分析和计算困难。2. 色度学基础知识（略）2.1 颜色的基本计算公式颜色的光谱特性颜色相加混合颜色的减色混合颜色的基本计算公式2.2 均匀颜色空间及色差公式CIE1976均匀颜色空间及色差公式CMC（l：c）色差公式3. 显示器的颜色计算3.1 显示器的数字驱动值与颜色刺激值数字驱

4、动值是计算机中使用的代表颜色的数字量，也是保存在图像文件中的数字量，用来表示图像中颜色的混合比例，但它并不是三刺激值，不直接代表颜色的感觉。数字驱动值用dr、dg、db表示。颜色刺激值代表颜色的感觉，表示颜色中包含三原色的比例，用R、G、B来表示。只有颜色刺激值才与CIE三刺激值成线性关系，才能进行线性变换。颜色刺激值与数字驱动值之间成指数关系：（3-1）其中指数影响显示器对各梯级的对比度和层次关系，值小时亮调的级差拉得比较大，对表现较亮的颜色有利；而值大时暗调的级差拉开得较大，值的选取应该使整个层次阶调变化均匀。值一般取1.8-2.2。kr、kg、kb为通道的放大系数，由荧光粉的发光特性和电

5、路决定。dro、dgo、dbo相当于各通道的暗电流，表示数字驱动值为0时屏幕的颜色，一般很小，接近于0，要求不高时可以忽略。n为颜色的位数，一般为8。式（3-1）默认的假设条件是，RGB三个通道相互独立，互不影响，即三个数字驱动值只产生各自通道的颜色，即红色数字驱动值不会产生绿色或蓝色刺激值，依次类推。显示器一般能够满足这个条件，而且这也是显示器和彩电质量的检测指标之一。决定显示器颜色和显示效果的重要参数有两个：白场平衡和阶调。白场平衡是指，当数字驱动值为最大时，得到的白色的色温符合一定的要求，一般为6500K。当三个数字驱动值取相等值时，能够显示灰色，而此时的色品坐标应该满足色温的要求。白场

6、平衡决定了显示器显示颜色是否偏色。阶调值由值决定，关系到整个阶调范围内能够分辨开的层次数，应该选择既保证暗调层次不并级，又能使亮调层次不丢失的值。另外，还应该使显示阶调与印刷品的阶调关系尽量一致。因此，白场平衡或灰平衡和值可以作为求解式（3-1）的约束条件。3.2 数字驱动值参数的确定求解式（3-1）可以用几种方法：直接用测量值建立查找表，2. 使用多项式逼近，3. 用数值计算方法求解公式中的各系数。1. 直接查找法直接查找法要在最大与最小数字驱动值之间建立数字量与刺激值的数字关系，当n=8时，可以建立三个256级（或小于256级）的一维查找表，也就是将式（3-1）转换成查找表。也可以直接建立

7、数字驱动值与CIEXYZ之间的查找表，但此时的数字驱动值与CIEXYZ各通道之间就不再是相互独立的关系，需要首先确定迭加关系。三个一维查找表可以通过制作三个原色梯尺并测量每一梯级颜色的方法建立。由于三个一维查找表要比一个三维查找表小得多，因此可以将表做得很细。问题：通过制作三个一维查找表来查找颜色，那么，对于RGB不同时为0的颜色是否也可以计算？为什么？三个256级一维查找表总共占用多少存储空间？2. 多项式逼近法多项式逼近法的理论根据是：任何函数均可以用泰勒展开来近似，而泰勒展开的项数就是多项式的项数，泰勒展开的系数就是多项式的系数ai。多项式逼近法的求解可以归结为多项式系数ai的求解，求解

8、方法可以使用非线性回归法。因为各通道独立，因此多项式没有交叉项，设多项式的形式为：（3-2）式中有m+1个未知数ai，可以用回归法确定，m为多项式的最高次数。为此，需要测量k个数字值对应的刺激值，km。回归法的基本原理是最小二乘法，也就是要使实验数据产生的误差平方和为最小。问题：请推导式（3-2）的求解方法。3. 数值计算求解方法由于式（3-1）为非线性方程，因此通常求接有些困难。为了确定式中的k，和d0，要使用最小二乘法。由于三个通道独立，可以分别求解。下面仅以R通道为例说明求解的方法。令 （3-3）其中k为测量的样品数。上式的意义为所有样品的测量值与计算值之差的平方和。最小二乘法归结为求满

9、足=min时的、k和d0。满足=min的条件为：得（3-4）上式为一个非线性方程组，要使用牛顿迭代法求解。3.3 显示器的颜色计算上节仅仅列出了数字驱动值与三刺激值RGB间的数值关系，但由于RGB是未知数，并不能直接求出。为此，应该首先求出RGB三刺激值来。由于显示器的颜色是由三种荧光粉发光混合得到的，因此显示器的混合色原色就是荧光粉发光的颜色。设显示器三原色为（R）、（G）、（B），对应的CIEXYZ三刺激值为XrYrZr、XgYgZg、XbYbZb，则根据颜色方程有：（3-5）或写成矩阵形式：（3-5a）这是荧光粉RGB三原色与CIEXYZ三原色之间的变换关系。也就是说，是荧光粉颜色在CI

10、EXYZ系统中的表示。在显示器上显示的任一颜色C，在荧光粉颜色系统中的三刺激值为RGB，若在CIEXYZ颜色系统中表示的三刺激值为XYZ，则根据颜色方程有：和 这是同一个颜色在不同系统中的两种表示，二式应该相等。也就是说，（3-6）写成矩阵形式有：（3-6a）将荧光粉三原色的CIEXYZ表示式（3-5a）代入得到比较等式两端的系数可得：（3-7）或者表示为：（3-7a）比较式（3-5a）与（3-7a）可知，RGB三刺激值向XYZ变换的变换矩阵就是原色变换矩阵的转置。由此可得，由XYZ向RGB变换的关系为：（3-8）4. 扫描仪颜色的计算扫描仪内部具有光源及红、绿和蓝三色滤色片，扫描的过程是颜色

11、分解的过程，将原稿上的颜色分解为红绿蓝三原色的比例，因此扫描得到的图像一般是RGB模式图像。但是，扫描仪的光源和三色滤色片并不完全符合CIEXYZ的标准，所得到的扫描值也不是CIE的三刺激值。通常，由于光源和滤色片匹配关系的复杂性，扫描图像的RGB值与CIE三刺激值不存在简单的线性关系，不能用线性变换得到，要进行扫描仪的色彩管理，必须首先设法计算扫描得到的颜色。计算扫描仪颜色的方法通常是曲线拟合法。曲线拟合法通过大量样品的扫描，建立起样品三刺激值与扫描仪滤色片刺激值之间的多项式关系，由此关系进行扫描仪颜色的计算，相当于得到扫描仪RGB与CIEXYZ的变换关系。由于这种变换关系通常不是线性关系，

12、因此一般不能使用线性变换。4.1 曲线拟合法设有n个扫描样品，第i个样品的CIEXYZ三刺激值为Xi、Yi、Zi，对应的扫描三刺激值为Ri、Gi、Bi，并设二者的一般关系用多项式表示为：i=0，i，n，p，q，r=0，1，3，j=1，2，3，。当p，q，r取0和1，并且不考虑交叉项时，对应着线性变换，当p，q，r取大于1和考虑交叉项时，对应着非线性变换。通常常数项应该取为0，因为当RGB为0时对于的三刺激值应该为0。例如二次带交叉项的变换为方程是关于aij的线性方程组，有9个未知数aij，需要9个方程求解。方程的求解通常要使用线性回归的方法，测量颜色样品数大于9才能得到较好的计算结果。写成矩镇

13、阵形式为：4.2 光谱拟合法光谱拟合法采用多个颜色样品的扫描值和样品的光谱曲线，用数值计算的方法计算扫描仪的光谱响应曲线r（）、g（）、b（），从而计算扫描颜色。光谱拟合法基于颜色计算的最基本公式，通过测量样品的光谱反射率（透射率），用数值计算的方法求解出扫描仪自身的光谱响应函数，通过这个光谱响应函数来计算扫描仪得到的颜色。由颜色计算公式可得：其中，S（）扫描仪的光源光谱功率分布函数，（）为样品的光谱反射率，r（）、g（）、b（）为扫描仪滤色片，r（）、g（）、b（）为光电接收器的光谱透射率函数。令r（）= S（）r（）r（）g（）= S（）g（）g（）（4-4）b（）= S（）b（）b（）为

14、扫描仪三个通道的光谱响应函数，如果能够求出r（）、g（）、b（）就可以求出扫描任意颜色时的扫描仪颜色三刺激值RGB来，（4-5）假设测量颜色时的波长间隔为10 nm，从380-780 nm范围内可以得到41个颜色数据（其它波长间隔和波长范围的计算方法相同），原则上可以用41个颜色测量样品的光谱数据建立求解式（4-5）。由于为等间隔，是常数，不影响计算，可以忽略。从测量样品光谱数据可以得到i（），经过扫描仪的扫描可以得到对应的Ri、Gi、Bi，代如到（4-5）中就可以得到（以R刺激值为例）：（4-6）求解（4-6）就可以得到扫描仪的光谱响应函数。但是，为了得到更准确的结果，通常要使用更多的样品来

15、计算，而计算方法采用最小二乘法。为此，令：求解满足=min时的r（）、g（）、b（），即为所求的扫描仪光谱响应函数。满足=min的条件为：得方程组：此为线性方程组，求解就可得R的光谱响应。同理可得G和B的光谱响应。思考题：能否用上面的方法直接求解CIEXYZ的光谱响应？为什么？5. 彩色打印机和印刷品颜色的计算彩色打印机是点阵记录设备，由微小的墨点形成图像。印刷机依制版的方式不同，油墨在承印物上存在的形式也不同，可以是点阵，也可以是连续的线条。但是，连续的线条一般不能在承印物上形成图像的层次变化。彩色打印机和印刷机形成颜色和层次变化的方式有两种：二值印刷和多值印刷。对于二值印刷方式，在承印物上

16、只有有油墨和无油墨两种状态，因此必须使用加网方法来得到图像的层次和颜色变化。多值印刷是指每一个墨点都可以有深浅的变化，因此可以通过墨点的深浅变化形成图像的层次和颜色变化。典型的多值印刷设备是热升华打印机。但更多的多值打印方式是两种方式的混合。这两种不同的印刷方式，颜色的形成模式也不同，颜色计算的方法不同。本章主要讨论二值印刷的颜色计算，而多值印刷的颜色计算会更复杂一些，但可以参考二值印刷计算的方法推导。5.1 网点模型1. 调幅加网：网点面积大小变化，依靠网点面积的改变来控制图像的明暗变化，网点规则排列。调幅加网的三要素：加网线数、网点形状、加网角度。调幅加网时颜色的计算规律遵从纽介堡方程，这

17、将在下一节讨论。2. 调频加网：网点形状和大小固定，依靠单位面积内网点的数量来控制图像的明暗变化，网点排列无规则。白纸a3a2a13. 点对点网点模型（dot on dot）：某些打印机形成的网点是叠印在一起的，墨点的中心是重合在一起的，如图所示。当同网角多色印刷时（不同原色以相同加网角度印刷）也会产生这种加网情况。对于点对点网点模型，设三色油墨印刷在单位面积的白纸上，从图中可以看出，各色叠印的网点面积如下：白：1 - a1色1：a1 a21+2色：a2 a31+2+3色：a3其中，a1a2a3 ，这里a1 = max(c,m,y) , a2 = mid(c,m,y)，a3 = min(c,m

18、,y)。从图中各色间的关系还可以看出，此时在纸上形成的基色共有n+1色。其中，除了白纸以外，只有一色是单色，其余都是叠印色。思考题：对于点对点模型，使用四色叠印是否有意义？如何使用四色印刷？5.2 Neugebauer方程计算印刷品颜色对于调幅和调频网点，三种颜色在纸上叠印形成8种颜色，这8种颜色称为纽介堡基色（Neugebauer Primaries）。如果叠印网点面积满足统计无关的关系，则Neugebauer方程满足如下关系：（5-1）或其中n为印刷的色版数，Xi、Yi、Zi为纽介堡基色，XYZ为印刷品颜色。ai和i是网点面积cmyk的函数。注意第一种表达式共有2n项，第二种表达式是2n-

19、1项。对于4色印刷，ai的表达式如表5-1，i和fi（X0 - Xi）、fi（Y0 - Yi）、fi（Z0 - Zi）的表达式如表5-2。表5-1i颜色ai0W(1-c)(1-m)(1-y)(1-k)1Cc(1-m)(1-y) (1-k)2Mm(1-c)(1-y) (1-k)3Yy(1-c)(1-m) (1-k)4R（ym）ym(1-c) (1-k)5G（yc）yc(1-m) (1-k)6B（mc）mc(1-y) (1-k)7Bk（cmy）cmy(1-k)8K(1-c)(1-m)(1-y)k9K+Cc(1-m)(1-y) k10K+Mm(1-c)(1-y) k11K+Yy(1-c)(1-m)

20、k12K+R（kym）ym(1-c)k13K+G（kyc）yc(1-m) k14K+B（kmc）mc(1-y) k15K+Bk（kcmy）cmyk表5-2iifi（X0-Xi），Y、Z形式相同1c(X0-X1)2m(X0-X2)3y(X0-X3)4ym(X0-X4)- (X0-X2)- (X0-X3)5yc(X0-X5)- (X0-X1)- (X0-X3)6mc(X0-X6)- (X0-X1)- (X0-X2)7cmy(X0-X7)- (X0-X4)- (X0-X5)- (X0-X6)+ (X0-X1)+ (X0-X2) + (X0-X3)8k(X0-X8)9ck(X0-X9)- (X0-X1

21、)- (X0-X8)10mk(X0-X10)- (X0-X2)- (X0-X8)11yk(X0-X11)- (X0-X3)- (X0-X8)12ymk(X0-X12)- (X0-X4)- (X0-X10)- (X0-X11) + (X0-X2) + (X0-X3) + (X0-X8)13yck(X0-X13)- (X0-X5)- (X0-X9)- (X0-X11)+ (X0-X1) + (X0-X3) + (X0-X8)14mck(X0-X14)- (X0-X6)- (X0-X9)- (X0-X10)+ (X0-X1)+ (X0-X2) + (X0-X8)15cmyk(X0-X15)- (X0

22、-X7)- (X0-X12)- (X0-X13) - (X0-X14)- (X0-X1) - (X0-X2) - (X0-X3)-(X0-X8)+ (X0-X4)+ (X0-X5) + (X0-X6) + (X0-X9)+ (X0-X10) + (X0-X11)表中第1-3项和第8项对应单色印刷，第4-6和第9-11项是双色印刷，第7和第12-14项是三色印刷，第15项是四色印刷。值得注意的是，单色印刷时的表达式对网点面积是线性的。对于dot on dot打印机，在纸上形成的颜色为：白纸网点面积：1 - a1三刺激值：X0 、Y0 、Z0色1网点面积：a1 a2三刺激值：X1、 Y1 、Z11

23、+2色网点面积：a2 a3三刺激值：X2、 Y2 、Z21+2+3色网点面积：a3三刺激值：X3 、Y3、 Z3X = （1 - a1）X0 + （a1 a2）X1 + （a2 a3）X2 + a3 X3Y = （1 - a1）Y0 + （a1 a2）Y1 + （a2 a3）Y2 + a3 Y3Z = （1 - a1）Z0 + （a1 a2）Z1 + （a2 a3）Z2 + a3 Z3化简后将上式写成三色dot on dot印刷时Neugebauer方程的矩阵形式：=（5-2）其中，a1a2a3 ，这a1 = max(c,m,y) , a2 = mid(c,m,y)，a3 = min(c,m,

24、y) 。X0 、Y0 、Z0是白纸的三刺激值，X1 Y1 Z1是最大网点的单色三刺激值，X2 Y2 Z2是最大和第二色叠印的三刺激值，X3 Y3 Z3是第二和第三色叠印的三刺激值。由此可见，对于点对点模型，颜色的计算是线性方程组求解，计算更加简单。5.3 Neugebauer方程的求解在使用纽介堡方程计算打印机和印刷品颜色时会遇到两种情况：1. 已知网点百分比cmyk，计算打印或印刷颜色（正向计算）；2. 已知需要打印的颜色XYZ，求该颜色所需要的油墨网点面积百分比（反向求解）。对于前者，可以将网点面积代入方程直接计算出得到的颜色。但对于第二种情况，需要用数值解法求解非线性方程组。但对于dot

25、 on dot打印机，无论是哪种情况都归结为计算线性方程组，只是要注意处理好各色网点面积之间的关系。一般来说，反向求解Neugebauer方程要使用牛顿迭代法。令：或（5-3）(k)根据牛顿法公式，对于第k次迭代有：+ = （5-4）左边第一项是Fi在第k次迭代的结果cmy时的取值，第二项是Fi偏导数在第k次迭代结果的cmy时的取值，c、m、y是第k次迭代求出的网点面积修正量。第k+1次迭代时的代入值为：c(k+1) = c(k) +c(k) , m(k+1) = m(k) +m(k) , y(k+1) = y(k) +y(k)（5-5）第一次迭代的初始值可以选：c(0) = 1 - X/X0

26、 , m(0) =1 - Y/Y0 , y(0) = 1 - Z/Z0（5-6）XYZ为待计算颜色值，X0 Y0 Z0为白纸的三刺激值。使用牛顿迭代法的本质是将非线性方程组化为线性方程组求解。但对于纽介堡方程组，可以根据实际的物理意义来近似成线性方程组来求解。若近似认为印刷品的颜色主要由油墨网点并列印刷形成，忽略叠印形成的二次色和三次色作用，则方程组化为线性方程组。由表5-2可知，方程组为：或写成矩阵形式：（5-7）（5-7）式至少在高和中调范围是成立的，随着墨量的增加，叠印率增加，（5-7）式的误差越大。对（5-7）式两端求导，可以得到颜色误差值与网点修正量之间的近似关系：（5-8）用（5-

27、8）式代替牛顿迭代法中的（5-4）式，就可以得到方程的解。5-4 黑版的设置黑版在四色印刷中起着非常重要的作用，因此黑版墨量控制的准确与否，对印刷的效果影响甚大。当用纽介堡方程计算四色印刷颜色时，三个方程有四个未知数，方程组有无穷解，因此必须有额外的约束条件。通常是根据黑版与其它色版之间的关系确定黑版，消去一个未知数。确定黑版的方法一般有两种：方法一：根据图像的情况，事先确定黑版曲线。方法二：先不考虑黑版，用三原色计算出给定XYZ值时对应的三基色网点cmy，然后按一定的关系产生黑版。如按下面的关系：（5-9）5-5 RGB打印机大多数喷墨打印机虽然使用CMYK四色油墨，但使用的驱动都是RGB值

28、。即使是打印CMYK模式图像，也要先将CMYK转换成RGB，因此直接打印CMYK图像的效果不如打印RGB图像的效果好。将CMYK准确转换成RGB，要使用Profile中的查找表。彩色喷墨打印机的Profile中一般是RGB>LAB或XYZ，由打印驱动再转换成打印墨量。作为一种近似计算，可按下式转换：（5-10）这里假设rgb与cmy是完全的互补色，并且使用完全的灰色成分替代。对于不完全替代可使用类似式（5-9）系数p。5-6 网点扩大量的计算通常，在计算印刷网点面积和网点扩大量时使用密度计算法，也就是要使用玛瑞戴维斯（Murray-Davies）公式：（5-11）或尤拉尼尔森（Yule-

29、Nielson）公式：其中，a为阶调密度为Dt时的单色原色油墨网点面积率，Do为印刷实地密度，n为尤拉尼尔森修正系数，作用是提高玛瑞戴维斯的计算准确性，其取值与承印物性质、加网线数等因素有关（见Neugebauer方程的修正一节中Yule-Nielson指数修正的讨论）。因此，用密度值控制印刷的条件非常方便。但使用密度计算网点面积也有一个限制，即只能测量单色原色油墨的密度，密度测量对专色印刷的控制会出现问题。（为什么彩色密度计只能测量单色原色油墨的密度，而不能测量专色和叠印的颜色？）根据颜色迭加原理，单色印刷时的颜色具有线性关系，右图示意出X刺激值的迭加关系，对于Y和Z刺激值具有同样的关系。其

30、三刺激值的关系可以表示为：（5-12）其中，ac为三刺激值为X、Y、Z时对应的单色原色油墨网点面积率，Xo、Yo、Zo为白纸的三刺激值，Xc、Yc、Zc为原色油墨实地的三刺激值。从图中可以看到，单色印刷时，如果没有网点扩大，印刷颜色为白纸和原色油墨颜色的线性迭加，三刺激值与网点面积率的关系是一条直线。实际中，只要计算式（5-12）中的一个表达式就可以得到网点面积率。但对于不同的颜色，由（5-12）中的三个表达式计算出的结果不完全相同，因此最好使用三式计算结果的平均值。为此，将式（5-12）改写成如下形式：将三式的左右两端相加并整理，得到：（5-13）作为计算网点面积率的公式。如果测量出原色油墨

31、实地、白纸和某一个阶调的颜色值，就可以用（5-13）式计算出对应的网点面积。当有网点面积扩大时，印刷颜色就不再是白纸和原色油墨三刺激值的线性迭加，成为一条弧线，如右图所示。其中，用a0表示无网点扩大的网点面积，即直线上的网点面积（印版上的网点面积），ac表示实际测量的网点面积。显然，网点扩大量为：由此可得到任意阶调时的网点扩大量，从而代替用密度测量的方法。使用色度计算网点面积方法的最大好处是，它不仅可以针对四色印刷原色油墨，而且可以计算任意专色油墨的网点面积。5-7 Neugebauer方程的修正由于印刷呈色关系的复杂性，Neugebauer方程计算结果不可能很精确，还需要进行修正。修正的方法

32、有多种，下面是常用的几种。1. 网点扩大修正影响印刷效果最大的因素是网点扩大，因此首先应对网点扩大进行修正。实际计算表明，在高光和暗调区域，计算的误差较小，而在中间调的误差大，其规律与网点扩大的规律一致，说明网点扩大在计算中起很大作用。另一方面，虽然计算误差可能由多方面原因组成，但可以假设纽介堡方程严格成立，其它所有误差都归结为网点误差变化引起的。对于单色梯尺测量出各梯级的颜色与网点值，代入纽介堡方程计算，并计算出测量值与计算值的差，得到如图的误差曲线。将此误差曲线作为修正量。误差网点面积%在使用纽介堡方程计算颜色时，应该按如下方法修正误差：a. 当已知网点面积cmyk，计算印刷颜色时，计算结

33、果不包含网点扩大，而测量该网点印刷得到的颜色时，测量结果包含网点扩大的作用，因此若将二者进行比较时，必须将计算结果加上网点扩大的作用，或者将计算网点面积加上网点扩大量，即使用“计算网点值”+“网点扩大值”计算，才能等于颜色测量值。b. 当已知颜色测量值，计算该颜色对应的网点值时，由于测量值已经包含了网点扩大的作用，计算出的网点值必然比实际值大，即“实际网点值”=“计算网点值”-“网点扩大值”。2. Yule-Nielson指数修正考虑到光线在纸张内部的多次反射作用，在Neugebauer方程中增加指数1/n，方程改为：（5-11）由于n值与印刷材料、加网线数等因素有关，一般在1.2-5.0之间

34、，而且通常三个方程的n值也不相同，实际中很难准确确定，通常只能通过实验法或优化法确定。增加指数后方程组的求解更加困难，一般有如下几种求解方法：a. 最简单的方法可以通过对单色梯尺进行优化来确定n值。计算时，可将单色梯尺的测量值和对应的网点值代入（5-11），使用最小二乘法求出最佳的n值。但是，这样求出的n值不包含叠印的效果，修正作用不好。b. n值扫描法。首先设定一个n值，代入（5-11），计算对应cmyk网点时的颜色值，以一定间隔的步长改变n值，重复计算，找出当误差最小时对应的n值。c. 先计算n=1时测量三刺激值Xi、Yi、Zi对应的网点值ci、mi、yi，然后将网点值作为已知条件，再用这

35、些颜色值和网点值单独对n值进行优化。也就是说，先减少变量。d. 将Xi、Yi、Zi与网点面积ci、mi、yi一起进行优化。这种计算方法难度最大。3. Cellular修正法（分段法）此方法将cmyk颜色空间分割成若干个子空间，即增加更多的Neugebauer Primaries，如增加50%网点面积的颜色作为基色。对于三色印刷，增加50%网点基色时，基色总数成为误差网点面积%33=27个，四色印刷时基色总数成为34=81个，分割的子空间数分别为（3-1）3=8和（3-1）4=16。若增加25%、50%和75%三个点，则基色数变为53=125个和54=625个，子空间数分别为（5-1）3=64和

36、（5-1）4=256，测量数据大大增加。Cellular修正法相当于增加了节点数目，将节点上的误差降为0，因此误差曲线变为右图所示。如果测量的节点数足够多，则从数值计算的角度来说可以将误差降低。但从实用的角度出发，节点多则大大增加测量工作量和计算量，不可取。下面仅以增加50%网点基色为例来讨论。在C、M、Y坐标轴各增加一个节点，把原来的CMY色空间分割成8个子空间，如图所示。在使用Cellular修正法计算时，计算的公式仍然是一般的纽介堡方程，但有两点改变：a. 首先需要确定待计算颜色落在哪个子空间中，此时必然有：clccu，mlmcmymymu，ylyyu；b. 修改公式中网点面积的计算：y

37、cy cmm0.5yc00.5m(5-12)0.5c右图很好地解释了CMY色空间和纽介堡方程的几何意义。三个坐标轴分别代表三种原色油墨的网点比例，两种原色的混合色位于两原色坐标轴确定的平面内，三色印刷得到的任何颜色的网点比例都可以用从原点出发的矢量描述，也可以理解为是8个顶点的基色加权平均值，而权重值为网点面积cmy的函数。而Cellular修正法是在颜色子空间中用矢量表示网点比例，矢量的起点是不仅仅是坐标原点，还可以是子空间的起点。也可以理解为是子空间8顶点颜色值的加权平均值，权重是式（5-12）描述的cmy的函数。Cellular修正法虽然从数值计算上可以减小误差，但并不是一种最好的方法。

38、首先，该方法不是从呈色机理上消除计算误差。其次，增加计算和测量工作量。从印刷呈色机理上说，无论用何种修正方法，都应该首先消除网点扩大的影响，其次才能从数值计算上设法减小误差。6. 颜色的光谱计算6.1 印刷品颜色计算的基本公式设反射样品的光谱反射率为（），照明光源的相对光谱功率分布为S（），则该样品的CIE三刺激值X、Y和Z为：X = kY = k（1）Z = k图1. 油墨吸收光的示意图其中x（）、y（）和z（）为CIE 1931标准观察者函数。对于印刷品，（）由油墨的透射率（）和纸张的反射率w（）构成。如图1所示，照明光照射在印刷品上，穿过油墨层，由纸张将透射光反射回来，再次穿过油墨层，相

39、当于经过油墨的两次吸收。根据布格-朗伯定律，油墨对照明光的吸收作用等于双倍墨层厚度的吸收： （） = w（）e-2Cd（2）式中d为油墨的厚度，C为油墨的吸收率，一般为波长的函数，w（）为纸张的吸收率。显然，当油墨网点或油墨厚度为0时，总反射率等于纸张的反射率。定义2Cd为油墨层的总吸收率A，对式（2）取对数，就可以得到油墨层总的吸收率A=-ln(（）/w（）)。因此，单纯油墨层的光谱透射率为（）=（）/w（） ，则印刷品的总光谱反射率（）=（）w（） 。将上面的结果代入式（1），就可以得到计算印刷品三刺激值的一般表达式：X = kY = k（3）Z = k对印刷品颜色进行光谱分析，也就是对上

40、式的被积函数进行分析。由于积分的本质是求和的过程，根据积分的性质，颜色的叠加过程就是被积函数相互作用的结果。通常认为印刷品的呈色过程是由油墨对光进行吸收的减色过程，和网点色光加色混合共同形成的，通过颜色的光谱分析，可以进一步探讨印刷品呈色的机理，理解呈色的过程，验证实际测量与理论计算的符合程度，从更深的层次探讨油墨印刷适性产生的光学特性。6.2 单色油墨印刷的光谱分析设黄、品红和青三种原色油墨实地的光谱反射率为y（）、m（）和c（），根据上面的讨论，对应的油墨光谱透射率为：y（）=y（）/w（）m（）=m（）/w（）(4)c（）=c（）/w（）根据颜色相加原理和油墨对光的吸收过程，可以推导出任

41、意网点面积a时印刷品的光谱反射率ty（）、tm（）和tc（）：ty（）= ay（）+(1-a)w（）tm（）= am（）+(1-a)w（）(5)tc（）= ac（）+(1-a)w（）式（5）的符合程度可以很容易地用实验加以验证。为此，测量三原色单色梯尺各梯级的光谱反射率。测量仪器为X-Rite Digital SwatchBook，照明观察条件为45/0，D65光源，2º视场。测量时，样张下面始终垫一层黑纸，以减少底色对测量的影响。测量值是三次测量的平均值。(b)(c)(a)图2. 三原色油墨梯尺的计算结果(a)：青 (b)：品红 (c)：黄由式（5）计算的结果如图2所示。图中最上面

42、的曲线是白纸的光谱反射率，下面依次为20%、50%、80%和实地的光谱反射率。实线代表实地样品、80%、50%和20%网点面积的测量值，“+”线是式（5）中a=1、a=0.8、a=0.5和a=0.2计算值。从图2的曲线可以看出，计算值与实测值的曲线形状和变化趋势相同，但曲线的吻合程度不好。对计算过程和数据分析可以发现，误差来源主要是因为计算时没有考虑印刷网点扩大造成的1。为此，测量出相应梯级的三刺激值，列在表2中，用色度法计算各梯级的网点面积1：a = （X0 + Y0 + Z0 - X - Y - Z）/（X0 + Y0 + Z0 - XC - YC - ZC）（6）式中X0 、Y0 和Z0

43、是白纸的三刺激值，XC 、YC和ZC是实地原色油墨的三刺激值，X 、Y和Z为各梯级的三刺激值。用式（6）计算出各梯级的实际网点值，代入式（5）中，计算结果如图3所示。图3中各曲线的意义与图2相同。从图3中的曲线可以看出，计算结果与实测值非常一致，说明单色油墨印刷的颜色完全符合颜色相加的规律。经过网点扩大修正以后仍然存在的误差表明，网点扩大不仅是网点面积的函数，还与波长和颜色有关。表1 纸张和三原色油墨的三刺激值颜 色白纸YMC三刺激值X82.1262.2532.0315.22Y86.0769.8815.9321.32Z91.909.4227.7762.60(b)(c)(a)图3. 三原色油墨梯尺修正后的结果(a)：青 (b)：品红 (c)：黄6.3 双