锐角三角比讲义

1、 【知识点总结与归纳】锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）已知锐角，求三角比已知锐角的一个三角比，求锐角直角三角形中的边角关系（三边之间、两锐角之间、一锐角与两边之间）解直角三角形已知一边和一锐角已知两边解直角三角形的应用1、 锐角的三角比（1） 定义：在直角三角形ABC中，为一锐角，则A的正弦=A的余弦= ,A的正切=A的余切=注：三角函数值是一个比值定义的前提是有一个角为直角，故如果题目中无直角条件时，应设法构造一个直角。若为一锐角，则的取值范分别是：。同一个锐角的正切和余切值互为倒数，即：2、 特殊锐角的三角比的值（1） 特殊锐角（30，45，60）的三角比的值（2） 同角，互余

2、的两角多的三角比之间的关系：倒数关系：平方关系：积商关系：余角和余函数的关系：如果，那么（正弦和余弦，正切和余切被称为余函数关系）。注意：求锐角三角比的值问题（1） 在直角三角形中，给定两边求锐角的三角比，关键是搞清某锐角的“对边”“邻边”，掌握三角比的定义。（2） 给出锐角的度数，求这个锐角的三角比特殊锐角，一般情况下，使用精确值；在实际应用中，根据问题要求处理。求非特殊锐角的三角比的值，使用计算器或查表求值。（3） 当锐角不是直角三角形的内角，首先观察有否相等的锐角可代换，而且可代换的锐角含在某直角三角形中，如果没有可代换的相等的锐角，可作适当的垂线构建含有这个锐角的直角三角形。3、 解直

3、角三角形（1） 在直角三角形中，除直角外，还有5个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知两个元素（其中至少含有一条边），求出其他所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。（2） 解直角三角形常用到的关系：锐角关系：，三边关系：勾股定理：边角关系：直角三角形的面积：（3） 当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形，再求解。（4） 解直角三角形的类型有：已知两条边；已知一条边和一个锐角。（5） 解法分类：已知斜边和一个锐角解直角三角形；已知一条直角边和一个锐角解直角三角形；已知两边解直角三角形注意：解直角三角形的方法：可概括为“有弦（斜边）则弦（正弦，余

4、弦），无弦用切，宁乘勿除，取原避中”。这几句话的含义是：当已知条件中有斜边时，就用正弦或余弦，无斜边时，则用正切或余切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则尽量用乘法，避免用除法；既可以用已知的原始数据又可用中间数据求解时，则取原始数据，避免用中间数据后引起连锁错误或较大误差。4、 解直角三角形的应用（1） 仰角和俯角 视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角。（2） 坡角和坡度 坡面与水平面的夹角叫做坡角。坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），用i标志，即i=h:l,通常坡度要写成1:m的形式，坡角的正切是坡面的坡度。（3） 方向角 一般以

5、观测者的位置为中心将正北或正南方向为始边旋转到目标的方向线所成的锐角。例1已知RtABC中，C90，AC2，BC3，那么下列各式中，正确的是A、B、C、D、例2某山路坡面坡度,某人沿此山路向上前进200米,那么他在原来基础上升高了_米例3如图8-1，在ABC中，C90，点D在BC上，BD4，ADBC，cosADC=求：（1）DC的长；（2）sinB的值0.5m3m图8-3-1例4如图所示，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？(参考数据：0.8,0.6)课后作业一

6、、填空题1如图，如果APB绕点B按逆时针方向旋转30后得到APB，且BP=2，那么PP的长为_ (不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15=，cos15=)2用计算器计算： （精确到0.01） 3如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西 度第4题图xOAyB北甲北乙第3题图第1题图4如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了个4单位，到达B点后观察到原点O在它的南偏东60的方向上，则原来A的坐标为 （结果保留根号）5求值：sin260+cos260= 6在直角三角形ABC中，A=，BC=1

7、3，AB=12，那么 7根据图中所给的数据，求得避雷针CD的长约为_m（结果精确的到0.01m）（可用计算器求，也可用下列参考数据求：sin430.6802，sin400.6428，cos430.7341，cos400.7660，tan430.9325，tan400.8391）A4052mCD第5题图B43第6题图8如图，自动扶梯AB段的长度为20米，倾斜角A为，高度BC为米（结果用含的三角比表示）二、选择题9在ABC中，C900，ACBC1，则tanA的值是（ ）A B C1 D10在RtABC中，CD是斜边AB上的高线，已知ACD的正弦值是，则的值是（ ）A B C D第11题图11如图，

8、梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米现将梯子的底端A向外移动到，使梯子的底端到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降到，那么（ ）A等于1米 B大于1米 C小于1米 D不能确定第12题图12如图，延长RtABC斜边AB到D点，使BDAB，连结CD，若cotBCD3，则tanA（ ）A B1 C D三、解答题13已知等腰梯形ABCD中，ADBC18cm，sinABC，AC与BD相交于点O，BOC1200，试求AB的长第13题图 14如图，河对岸有一铁塔AB在C处测得塔顶A的仰角为30，向塔前进16米到达D，在D处测得A的仰角为45，求铁塔AB的高

9、15如图，我市某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40夹角，且DB=5m，则BC的长度是多少？现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少？（结果保留三个有效数字）【参考数据：】近年上海中考数学关于锐角三角比题型年份考点分值2008年锐角三角比的概念、坡度14（8）2009年锐角三角比的概念10（5）2010年锐角三角比的概念、解直角三角形24（16）2008（4分）ABC图618在中，（如图6）如果圆的半径为，且经过点，那么线段的长等于 2008（10分）21（本题满分10分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分）“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张

10、设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图7所示）已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆的半径所在的直线为对称轴的轴对称图形，是与圆的交点OCADEH图8图7（1）请你帮助小王在图8中把图形补画完整；（2）由于图纸中圆的半径的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中是坡面的坡度），求的值2009（10分）21（本题满分10分，每小题满分各5分）如图4，在梯形中，联结（1）求的值；（2）若分别是的中点，联结，求线段的长ADC图4B2010（10分）21.机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图5所示，“海宝”从圆心O出发，先沿北偏西67.4方向行走13米至点A处，再沿正南方

11、向行走14米至点B处，最后沿正东方向行走至点C处，点B、C都在圆O上.（1）求弦BC的长；（2）求圆O的半径长.图5（本题参考数据：sin 67.4 = ，cos 67.4 = ，tan 67.4 = ）2010（14分）25如图9，在RtABC中，ACB90.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.（1）当B30时，连结AP，若AEP与BDP相似，求CE的长；（2）若CE=2，BD=BC，求BPD的正切值；（3）若，设CE=x，ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.图9 图10(备用) 图11(备9. 课后考点巩固考点一、锐角三角

12、比的概念：1在RtABC中，C=90，那么等于（ ）.(A)tanA； (B)cotA ； (C)sinA ； (D)cosA .2. RtABC中，C=90，若AC=,A =,则AB的长为（ ）（A） ； （B） ； （C） ； （D） 3. 如图，在ABC中，AB=2,AC=3,BC=4,则的值是（ ） （A）；（）；（）；（）以上都不是考点二、特殊锐角的三角比值：计算：求值：求值：考点三、锐角三角比的计算：ABCDEG1. 如图，在ABC中，AB=AC , BD、CE分别为两腰上的中线，且BDCE，则=_.2. 如图，矩形ABCD中，AB=3 , ，E为 BC 边上一点，将ABE沿AE翻

13、折，使点B恰好落在对角线AC上，记作B.（1）求BE的长；（2）连接DB，求cotBDC的值. A D B B E C3. 如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，ADB=45, A D翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、 FBC于F、E，若AD=6,BC=14, 求：（1）BE的长； （2）C的余切值. B E C4. 如图，在ABC中，ACB=90， AAC=BC，P是ABC内一点，且APB=APC=135.（1） 求证：CPAAPB；（2） 试求tanPCB的值. P C B考点四、仰角、俯角与坡度、坡角：1. 某飞机的飞行高度为，从飞机上测得地面控制点的俯角为，那么飞机到

14、控制点的距离是_.（用与含的三角比表示）2. 某山路的路面坡度为1:，若沿此山路向上前进90米，则升高了_米.3. 一个小球由地面沿着坡度1:2的坡面向上前进了10米，此时小球距离地面的高度为_米.4. 修筑一坡度为3:4的大坝，如果设大坝斜坡的坡角为，那么的正切值是（ ）. (A) ; (B) ; (C) ; (D) .考点五、解直角三角形及应用：1. 底角为15，腰长为6的等腰三角形的面积是_.2. 如图，A, B , C 三点在同一平面内，从山脚缆车站A测得山顶C的仰角为45，测得另一缆车站B的仰角为30，AB间缆绳长500米（自然弯曲忽略不计）.(1.73,精确到1米)（1） 求缆车站

15、B与缆车站A间的垂直距离；（2） 乘缆车达缆车站B，从缆车站B测得山顶C的仰角为60，求山顶C与缆车站A间的垂直距离. C B A 水平线 M3. 如图，在ABC中，AB=AC=5,BC=8,D是边AB上一点，且tanBCD=. A(1) 试求sinB的值； D(2) 试求BCD的面积. B C4. 如图，沙泾河的一段两岸、互相平行，C、D是河岸上间隔60米的两个电线杆.小明在河岸上的点A处测得DAB=35，然后沿河岸走了120米到达B处，测得CBF=70，求该段河流的宽度CF的值.（结果精确到0.1米,计算中可能用到的数据如下表） D C角度sincostan350.570.820.7070

16、0.940.342.75 A B F课后考点巩固练习：1、直角三角形的斜边与一直角边的比是：1，且较大的锐角为，则sin等于（ ） A B C D2、已知楼房AB高50m，如图，铁塔塔基距楼房房基间水平距离BD为50m，塔高CD为m则（ ） A由楼顶望塔顶仰角为60 B由楼顶望塔基俯角为60C由楼顶望塔顶仰角为30 D由楼顶望塔基俯角为30 3、如图，在等腰直角三角形ABC中，C=90，AC=6，D是AC上一点，若tanDBA=，则AD的长为（ ）A B2 C1 D2 4、横断面为等腰梯形的河坝，若下底AB=，上底CD=7.5，高为4，那么斜坡CB的坡度为（ ） A B C D：15、如图，某建筑物BC直立于水平地面上，AC=9米，要建造阶梯AB，使每阶高不超过20厘米，则此阶梯最少要建_阶（最后一阶不足20厘米