【最后一搏典型题推荐】2014年高考数学（理）三轮冲刺模拟：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数（含新题详解）

1、集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟第卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2013·山东高考)已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)x2，则f(1)()A2B0C1D2【解析】当x0时，f(x)x2，f(1)122.f(x)为奇函数，f(1)f(1)2.【答案】A2(2013·北京高考)“”是“曲线ysin(2x)过坐标原点”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解析】当时，

2、ysin(2x)sin(2x)sin 2x，此时曲线ysin(2x)必过原点，但曲线ysin(2x)过原点时，可以取其他值，如0.因此“”是“曲线ysin(2x)过坐标原点”的充分而不必要条件【答案】A3(2013·韶关模拟)设alog0.32，blog0.33，c20.3，d0.32，则这四个数的大小关系是()Aabcd BbadcCbacd Ddcab【解析】由函数ylog0.3x是减函数知，log0.33log0.320.又20.31,00.321，所以badc.【答案】B4下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为()Aycos 2x，xRBylog2|x|，x

3、R且x0Cy，xRDyx31，xR【解析】A中，ycos 2x在(0，)上递减，A不满足题意C中函数为奇函数，D中函数非奇非偶对于B：ylog2|x|(x0)是偶函数，在(1,2)内是增函数【答案】B5设变量x，y满足约束条件则目标函数z2x3y1的最大值为()A11 B10 C9 D8.5【解析】作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示又z2x3y1可化为yx，结合图形可知z2x3y1在点A处取得最大值由得故A(3,1)此时z2×33×1110.【答案】B6设f(x)则不等式f(x)2的解集为()A(，) B(，1)2，)C(1,2(，) D(1，)【解析】原不等式等价

4、于或即或解得2x或x1.【答案】B7(2013·山东高考)函数yxcos xsin x的图象大致为()【解析】函数yxcos xsin x为奇函数，则排除B；当x时，y10，排除C；当x时，y0，排除A，故选D.【答案】D8(2013·江西高考)若S1x2dx，S2dx，S3exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()AS1<S2<S3 BS2<S1<S3CS2<S3<S1 DS3<S2<S1【解析】S1x2dxx3×23，S2dxln xln 2，S3exdxexe2ee(e1)，ln 2<ln e1，且&l

5、t;2.5<e(e1)，所以ln 2<<e(e1)，即S2<S1<S3.【答案】B9小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则()Aa<v< BvC.<v< Dv【解析】设甲、乙两地之间的距离为s.a<b，v<.又vaa>0，v>a.【答案】A10(2012·重庆高考)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图1所示，则下列结论中一定成立的是()图1A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值

6、f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)【解析】当x2时，y(1x)f(x)0，得f(x)0；当2x1时，y(1x)f(x)0，得f(x)0；当1x2时，y(1x)f(x)0，得f(x)0；当x2时，y(1x)f(x)0，得f(x)0，f(x)在(，2)上是增函数，在(2,1)上是减函数，在(1,2)上是减函数，在(2，)上是增函数，函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)【答案】D第卷二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11(2013·烟台模拟)已知第一象限的点(a，b)在直线2x3

7、y10上，则代数式的最小值为_【解析】由题意知2a3b1，a0，b0，则(2a3b)4913225，当且仅当ab时取等号，即的最小值为25.【答案】2512(2013·孝感模拟)已知符号函数sgn(x)则函数f(x)sgn(ln x)ln2x的零点个数为_【解析】当x>1时，ln x>0，sgn(ln x)1，f(x)1ln2x，令f(x)0，得xe.当x1时，ln x0，sgn(ln x)0，f(x)ln2x，令f(x)0，得x1满足当0<x<1时，ln x<0，sgn(ln x)1，f(x)1ln2x<0，f(x)0无解函数f(x)的零点为x1

8、与xe.【答案】213已知yf(x)x2是奇函数，且f(1)1，若g(x)f(x)2，则g(1)_.【解析】yf(x)x2是奇函数，且f(1)1，f(1)(1)2f(1)12，f(1)3.因此g(1)f(1)21.【答案】114定义在R上的函数f(x)满足f(x)则f(2 013)_.【解析】当x0时，f(x)f(x1)f(x2)，f(x1)f(x)f(x1)，f(x1)f(x2)，即f(x3)f(x)，f(x6)f(x)，即当x0时，函数f(x)的周期是6.又f(2 013)f(335×63)f(3)，由已知得f(1)log221，f(0)0，f(1)f(0)f(1)011，f(2

9、)f(1)f(0)101，f(3)f(2)f(1)1(1)0，f(2 013)0.【答案】015已知函数f(x)的导数f(x)a(x1)(xa)，若f(x)在xa处取得极大值，则a的取值范围是_【解析】若a0，则f(x)0，函数f(x)不存在极值；若a1，则f(x)(x1)20，函数f(x)不存在极值；若a0，当x(1，a)时，f(x)0，当x(a，)时，f(x)0，所以函数f(x)在xa处取得极小值；若1a0，当x(1，a)时，f(x)0，当x(a，)时，f(x)0，所以函数f(x)在xa处取得极大值；若a1，当x(，a)时，f(x)0，当x(a，1)时，f(x)0，所以函数f(x)在xa处

10、取得极小值，所以a(1,0)【答案】(1,0)三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分12分)已知集合Ay|y2(a2a1)ya(a21)0，By|yx2x，0x3(1)若AB，求a的取值范围；(2)当a取使不等式x21ax恒成立的a的最小值时，求(RA)B.【解】Ay|ya或ya21，By|2y4(1)当AB时，a2或a.a的取值范围是(，2(2)由x21ax，得x2ax10，依题意a240，2a2.a的最小值为2.当a2时，Ay|y2或y5RAy|2y5(RA)By|2y417(本小题满分12分)已知函数f(x)2xk·2x，

11、kR.(1)若函数f(x)为奇函数，求实数k的值；(2)若对任意的x0，)都有f(x)2x成立，求实数k的取值范围【解】(1)f(x)2xk·2x是奇函数，f(x)f(x)，xR，即2xk·2x(2xk·2x)，(1k)(k1)·22x0对一切xR恒成立，k1.(2)x0，)，均有f(x)2x，即2xk·2x2x成立，1k22x对x0恒成立，1k(22x)min，y22x在0，)上单调递增，(22x)min1，k0.实数k的取值范围是(0，)18(本小题满分12分)(2013·北京高考)设L为曲线C：y在点(1,0)处的切线(1)求L

12、的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方【解】(1)设f(x)，则f(x).所以f(1)1，所以L的方程为yx1.(2)证明：令g(x)x1f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(x>0，x1)g(x)满足g(1)0，且g(x)1f(x).当0<x<1时，x21<0，ln x<0，所以g(x)<0，故g(x)单调递减；当x>1时，x21>0，ln x>0，所以g(x)>0，故g(x)单调递增所以，g(x)>g(1)0(x>0，x1)所以除切点之外，曲线C在直线L的下方19

13、(本小题满分12分)(2013·济南模拟)已知函数f(x)ax3(a2)xc的图象如图2所示图2(1)求函数yf(x)的解析式；(2)若g(x)2ln x在其定义域内为增函数，求实数k的取值范围【解】(1)f(x)ax2a2，由图可知函数f(x)的图象过点(0,3)，且f(1)0.得即f(x)x3x3.(2)g(x)2ln xkx2ln x，g(x)k.函数yg(x)的定义域为(0，)，若函数yg(x)在其定义域内为单调增函数，则函数g(x)0在(0，)上恒成立，即kx2k2x0在区间(0，)上恒成立即k在区间(0，)上恒成立令h(x)，x(0，)，则h(x)1(当且仅当x1时取等号

14、)k1.实数k的取值范围是1，)20(本小题满分13分)(2013·烟台模拟)某幼儿园准备建一个转盘，转盘的外围是一个周长为k米的圆在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连经预算，转盘上的每个座位与支点相连的钢管的费用为3k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为k元假设座位等距分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记转盘的总造价为y元(1)试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；(2)当k50米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？【解】(1)设转盘上总共有n个座位，则x即n，y，定义

15、域.(2)yf(x)k2，yk2，令y0得x.当x时，f(x)0，即f(x)在x上单调递减，当x时，f(x)0，即f(x)在x上单调递增，y的最小值在x时取到，此时座位个数为32个21(本小题满分14分)(2013·鄂州模拟)已知函数f(x)x3ax1.(1)求x1时，f(x)取得极值，求a的值；(2)求f(x)在0,1上的最小值；(3)若对任意mR，直线yxm都不是曲线yf(x)的切线，求a的取值范围【解】(1)因为f(x)x2a，当x1时，f(x)取得极值，所以f(1)1a0，a1.又当x(1,1)时，f(x)0，x(1，)时，f(x)0，所以f(x)在x1处取得极小值，即a1符合题意(2)当a0时，f(x)0对x(0,1)成立，所以f(x)在0,1上单调递增，f(x)在x0处取最小值f(0)1，当a0时，令f(x)x2a0，x1，x2，当0a1时，1，x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减，x(，1)时，f(x)0，f(x)单调递增，所以f