矩阵的特征值与特征向量的求法

1、摘要：首先给出了求解矩阵特征值和特征向量的另外两种求法,然后运用特征值的性质讨论了矩阵合同、相似的充要条件,以及逆矩阵的求解等相关问题.关键词：矩阵的特征多项式,特征值,特征向量,对角矩阵,逆矩阵Abstract： Firstly，it is given matrix eigenvalues and eigenvectors of two other methods, then with the properties of eigenvalue the contract of matrix discussed,we deeply discuss the sufficient and neces

2、sary conditions for the similar matrix contract, and the inverse matrix of the related problem solving.Keywords:matrix characteristic polynomial, eigenvalue, eigenvector, diagonal matrices, inverse matrix目 录1 前言 42 矩阵的特征值和特征向量的求法4 2.1 矩阵的初等变换法 42.2 矩阵的行列互逆变换法 63 矩阵特征值的一些性质及应用73.1 矩阵之间的关系7 矩阵的相似7 矩阵的

3、合同73.2 逆矩阵的求解83.3 矩阵相似于对角矩阵的充要条件83.4 矩阵的求解93.5 矩阵特征值的简单应用10结论 11参考文献12致谢 131 前言 矩阵特征值是高等代数研究的中心问题之一,也是硕士研究生招生考试的热点.而且在自然科学（如物理学、控制论、弹性力学、图论等）和工程应用（如结构设计、振动系统、矩阵对策）的研究中也同样离不开矩阵特征值问题,因而对其研究具有重要的理论和应用价值.2 特征值和特征向量的求解方法 求阶矩阵的特征根和特征向量,传统方法是先求出矩阵的特征多项式 的全部特征根,然后对每个特征根 求解齐次线性方程组的一个基础解系,即为的属于特征根的线性无关的特征向量.现

4、再此基础上另外介绍两种求矩阵特征值和特征向量的方法.2.1 矩阵的初等变换法这种方法在求解矩阵特征向量的同时就得到属于特征根的特征向量.定理设齐次线性方程组的系数矩阵 的秩数, 的非奇异矩阵 的后 列便构成线性方程组的一个基础解系. 在运用传统方法求解矩阵的特征值时,我们求的全部特征根时是通过将矩阵经过一系列的初等变换化成三角矩阵，这里我们可以受此启发,将它变换成下三角矩阵.由定理1知,当矩阵经过一系列的初等列变换变换成时,求 得的就是矩阵的特征值,然后将代入,中的0列所对应的列就是所对应的特征向量. 例1 已知矩阵,求矩阵的特征值和特征向量.解 由知的特征根,.当时,特征向量. 当时,特征向

5、量.2.2 矩阵的行列互逆变换法定理 对于任意的矩阵,矩阵都能经过一系列的行列互逆变换变成.其中.因为若尔当矩阵是下三角形矩阵,在一个若尔当形矩阵中,主对角线上的元素正是特征多项式的全部根（重根按重数计算）.因此在求解矩阵的特征值时我们又可以通过将矩阵进行行列互逆变换,从而得到特征值,以及它对应的特征向量.例2 求矩阵的特征值与特征向量.解 所以特征值, 对应特征值的特征向量, 对应的特征值的特征向量.3 矩阵特征值的一些性质及应用3.1 矩阵之间的关系 矩阵的相似性质1 如果存在阶可逆矩阵,使得阶矩阵和满足,即矩阵与矩阵相似,为矩阵的特征值,为所对应的特征向量,则也为矩阵的特征值,且对应于的

6、特征向量为.注 反之不成立,即矩阵有相同特征值的矩阵不一定相似.性质2 矩阵与都是阶矩阵,乘积矩阵与不一定相似,但却有相同的特征值.证明 若0是的特征值,则故不可逆,于是与中至少有一个不可逆,从而不可逆,故有非零向量使,即0是的特征值. 设是的特征值,即存在使得.令,则,因此于是,即是属于的特征向量,是的特征值,同理可证的任何特征值也是的特征值. 例如矩阵和矩阵,与不相似却有相同的特征值. 例3 设阶矩阵,则矩阵与,与分别都有相同的特征值.证明 由于,由性质2知有相同的特征值,同理也有相同的特征值.得证. 矩阵的合同 性质3 阶对称矩阵与合同,即存在阶可逆矩阵,使得,其充要条件是与的正负惯性指

7、数相同,即正特征值,零特征值和负特征值的个数分别相等.这样我们在判断矩阵是否合同的时候又多了一种途径.例4 判断矩阵与矩阵是否合同.解 因为矩阵是实对称矩阵,可以求得,即的特征值为,矩阵的特征值为,由性质知矩阵和矩阵合同. 3.2 逆矩阵的求解 性质对于阶矩阵,由哈密顿凯莱定理可以知道,即.所以,从而. 故已知可逆矩阵的特征多项式或全部特征值,那么很容易找到.例5 已知矩阵,的特征多项式是,求.解 因为,所以,即 . 由本例可见,任何一个可逆矩阵的逆矩阵必是的一个多项式,这样又多了一种求逆矩阵的方法.3.3 矩阵相似于对角矩阵的充要条件 性质 阶矩阵相似于对角矩阵的充要条件是每一个特征值在中的

8、重数等于的属于的线性无关的特征向量的个数.由此可见例1和例2中的矩阵不能相似于对角矩阵.例6 矩阵 能否与对角矩阵相似?为什么?解 不能.因为是的三重根,且秩,于是的属于的线性无关向量的个数为,由性质8知,不能相似于对角矩阵.3.4矩阵的求解 我们知道如果设和是阶实对称矩阵的两个不同的特征值,和是对应于它们的特征向量,则和正交.且设是阶实对称矩阵的互不相同的特征值,是对应于特征值的特征向量,则两两正交.这样,如果对于阶实对称矩阵,我们知道它的全部特征值,又知道其中一个特征值所对应的特征向量,我们就可以根据这个应用,不仅可以求出这个矩阵其他特征值所对应的特征向量,也能求解出矩阵.例7 设3阶对称

9、矩阵的特征多项式是,且是对应于的特征向量,求矩阵. 解 由上面的性质我们知道对应的特征向量和正交,因此设所对应的特征向量为,对应于的两个线性无关的向量可取的基础解系,将正交向量组单位化得到正交矩阵,正交矩阵满足,所以 .补充:同时还能求出的值,.3.5 矩阵特征值的简单应用性质 阶实对称矩阵的特征值都是实数.性质 阶矩阵与其转置矩阵有相同的特征值.性质8 已知阶矩阵的特征值为，则.例8 设阶矩阵有个特征值,且矩阵与相似,求的值.解 因为的特征值为,矩阵与相似. 所以的特征值也为, 令,则的个特征值为, 因为,所以.总 结 矩阵是线性代数中的一个重要部分，特征值与特征向量问题是矩阵理论的重要组成

10、部分。特征值与特征向量有着许多具体的应用，本文通过查阅相关的资料并在指导老师的指导和建议下对特征值与特征向量原理进行了归纳总结。首先简单的叙述了特征值与特征向量的概念及其性质，探究了特征值与特征向量的几种解法，在此基础上重点介绍了特征值与特征向量的应用问题。矩阵的高次幂的求解是有技巧的，当矩阵可对角化时，利用特征值与特征向量把矩阵对角化，可以简便的解出矩阵高次幂的值。给出了特征值与特征向量在矩阵运算中使用的性质，并且举例说明了特征值与特征向量在矩阵运算中的应用。运用一些特征值与特征向量的性质和方法，可以使问题更简单，运算上更方便，是简化有关复杂问题的一种有效途径。特征值与特征向量理论的应用是多

11、方面的，不仅在数学领域，而且在力学、物理、科技方面都有十分广泛的应用，值得我们深入探究。 参 考 文 献1 何翼.求矩阵的特征值与特征向量的新方法J.铜仁学院学报,2009,11(3):139-140.2 黄金伟.矩阵的特征值与特征向量的简易求法J.福建信息技术教育,2006,33.3 王向东、王士藩.高等代数常用方法M.科学出版社,1989:224.4 马忠军、刘翠玉.矩阵特征值问题探讨J.博士专家论坛,6.5 邵逸民.矩阵的公共特征值和特征向量研究J.太原师范学院学报,2008,7(3):40. 致 谢 大学生活一晃而过,回首走过的岁月,心中倍感充实,当我写完这篇毕业论文的时候,有一种如释重负的感觉,感慨良多. 首先诚挚的感谢