级近世代数学习指导

1、近世代数学习指导1. 判断下列二元关系是否是等价关系:设；.提示:不是等价关系，因为，即不具有反身性，尽管具有对称性、传递性；是等价关系，因为具有反身性、对称性、传递性；不是等价关系，因为，即不具有传递性,尽管具有反身性、对称性；不是等价关系，因为，即不具有对称性,尽管具有反身性、传递性2.设所有偶数,是普通数的乘法.证明:与不同构.提示 若与同构,设是使其同构的同构映射. 设,那么,所以.若,则,显然矛盾；若,即,则,这样就有-1,1的象都是0,这与是一一映射矛盾.所以, 与不同构.3.分别举一个无单位元、有左单位元但无单位元、有单位元的半群的例子.提示 是无单位元的半群；设，是具有左单位元

2、但无单位元的半群；,其中分别表示数的普通乘法、矩阵的普通乘法.4.一个有限群的每一个元的阶都有限.提示 设是有限群，任取,则不能全不相同,因中只有有限个元素之故设,则是自然数命,则非空,而自然数的非空集合有最小元,设的最小元为,则,即是的周期.5.设群除单位元以外的每一个元的周期均为2,则是交换群.提示 ,因,而,故,由消去律知；任取则有,又,但,故进而, ，即是交换群.6.设的周期为,的周期为,且,则的周期为.提示 设的周期为.由于,故,又,而,故,但,故.同样可得,再一次利用,有,则有,即的周期为.7.证明：阶是素数的群一定是循环群.提示 因,故存在,的周期为,又,而是素数,则,即.8.

3、假定群的元的周期是.证明的周期是,这里是r和n的最大公因子.提示 首先；其次,若有自然数,使得,则,故,又,故有整数,使得,且,那么,即,但,故,即,从而.9. 假定群的阶为,且.证明：,这里.提示 因,故存在整数,使得,这样,有,故是的一个生成元,从而10.已知置换(1)求的阶；提示 因为,且, 故(2)求及其阶；提示 因为,故,从而.(3)将表示成形式为的2轮换的乘积.提示 因为,所以 .10.假定是一个群G的元间的一个等价关系，并且对于G的任意三个元来说，有。 证明：与G的单位元e等价的元所作成的集合G的一个子群。证明：设H=e,由于是等价关系，故ee,即;,则ae, be因而aea,

4、beb,由题设可得e, e,由对称性及传递性得,e,再由题设得e即,那么与G的单位元e等价的元所作成的集合G的一个子群11.一个群的可以写成形式的元叫做换位子,证明：(1)所有有限个换位子的乘积组成的集合是的一个不变子群,称为的导群或换位子群；提示 由于,；的两个元的乘积仍是有限个换位子的乘积,因而仍是的一个元；一个换位子的逆仍是一个换位子,所以的一个元的逆仍是的一个元,这样是的一个子群；对于,，所以是的一个不变子群.(2)是交换群；令,那么,由此得,即,因而是交换群.(3)若是的一个不变子群，并且是交换群，那么.提示 因为是交换群,所以对的任何两个元和, ,由此得,这样含有一切换位子,因而含

5、有.12.证明:有限整环是一个域.提示 设是一个有限整环,任取,能证存在即可.考虑到的映射,此处是的任意元由于中乘法消去律成立，故.设含有个元,那么也含有个元,故,即是到的一个双射,从而存在,使得,即,故有限整环是一个域.13.假定是由所有复数是整数)作成的环,(1)环有多少元? (2) 证明: 是一个域.提示 是一个有单位元的可换环,那么理想的元素形式为,注意到同奇偶性；而且对任意的,且的奇偶性相同,设,即,则,因此由一切组成,其中同奇偶性；由此可见对任意的,只要同奇偶性,恒有；若,且奇偶性不相同,恒有,即,从而是仅含有两个元的域,即.14.假定是一个四个元的域证明：(1)的特征值是2提示

6、的特征是非零元的周期,并且是一个素数；作为加群的阶是4,且,因此.(2) 的不为0或1的两个元都适合方程.提示 乘群的阶是3,因而是一个循环群,而的元是,这样,其，加法运算表必为: 有,因此F的不等于0或1的两个元都适合方程. 15.假定是整数环上的一元多项式,(1)写出的理想所含元素形式.提示 因为是有单位元的可换环,所以由所有形如:的元作成,即刚好包含所有多项式:.(2)证明: 不是主理想.提示 假定是主理想,即那么,因而 但由,可得,即, 这样是矛盾的.(3)证明:若是有理数域,那么是一个主理想.提示 若是有理数域,那么包含有理数,于是,因而它的理想含有单位元1,因此等于主理想(1).1

7、6.环上的一个一元多项式环.当时整数环时, 的理想是不是最大理想？当是有理数域的时候,情形如何?提示 考察的理想,由于的元都可以写成的形式,其中,所以显然有.当是整数环时, 不是一个主理想,因而,因此不是一个最大理想.当是有理数域时,设是的一个理想并且,那么有,由此得,因此,因而,这就是说,在这一情形下是一个最大理想.17. 假定是偶数环,(1)证明:所有整数是的一个理想等式对不对？提示 显然非空,令是的任意两个元,由于偶数减偶数还是偶数，所以,令的任意元,由于偶数乘偶数还是偶数,所以,因此是的一个理想.由于,而,所以.(2)证明:是的最大理想,但不是一个域.提示 (4)刚好含有一切,这里是整数.设是的一个理想,并且, ,那么有,由此有,则,这就是说(4)是的最大理想；在/(4)中20,而,因此/(4)有零因子,因而/(4)不是一个域.18.设有理数域上的全部矩阵环为.证明: 只有零理想同单位理想,但不是一个除环.提示 设是的一个理想并且,那么含有2阶矩阵.若的秩是2,那么有逆,而,此时；若的秩是1,则存在可逆矩阵,使得,又因此 ,因而也有,这就是说只有零理想同单位理想,但,所以又零因子,因而不是一个除环.19.假定有一个环的分类,而是由所有的类作成的集合,又假定,规定两个的代数运算.证明:0是的一个理想,并且给定的