讲义_直线与圆的位置关系

1、 Page 1 of 9考试要求考试要求板块板块A 级要求B 级要求C 级要求直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间关系；会过圆上一点画圆的切线能判定一条直线是否为圆的切线；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题切线长了解切线长的概念会根据切线长知识解决简单问题一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定1 1、设的半径为 ，圆心到直线 的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：OrOld位置关系图形定义性质及判定相离_ l_ O_ d_ r直线与圆没有公共点直线 与相离drlO相切_ l_ O_

2、 d_ r直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点直线 与相切drlO相交_ l_ O_ d_ r直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线直线 与相交drlO 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：直线和圆的位置关系相交相切相离公共点个数210圆心到直线的距离与半径的关系drdrdrdr公共点名称交点切点无直线名称割线切线无 Page 2 of 9二、切线的性质及判定二、切线的性质及判定 1 切线的性质：切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径 推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 2 切线的判定：切线的

3、判定： 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 3 切线长和切线长定理：切线长和切线长定理： 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角切线的判定定理切线的判定定理设 OA 为O 的半径，过半径外端 A 作 OA，则 O 到 的距离 d=r， 与O 相切因此，我们lll得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线注：定理的题设“经

4、过半径外端”，“垂直于半径”，两个条件缺一不可结论是“直线是圆的切线”举例说明：只满足题设的一个条件不是O 的切线 _ A_ O_ l证明一直线是圆的切线有两个思路：（1）连接半径，证直线与此半径垂直；（2）作垂线，证垂足在圆上切线的性质定理及其推论切线的性质定理及其推论切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径我们分析：这个定理共有三个条件：一条直线满足：（1）垂直于切线（2）过切点 （3）过圆心_ T_ M_ O_ B_ A_ l_ A_ O_ T_ O_ A定理：过圆心，过切点 垂直于切线 过圆心，过切点，则 OA OAAOAAT经过圆心，垂直于切线过切点 12ABMABMT过圆心为切点

5、 经过切点，垂直于切线过圆心 12AMMTAMM过圆心为切点_ O_ A_ l Page 3 of 9三、三角形内切圆三、三角形内切圆1 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形2 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形3直角三角形的内切圆半径与三边关系 _ O_ F_ E_ D_ C_ B_ A_ C_ B_ A_ C_ B_ A_ c_ b_ a_ c_ b_ a（1） （2）图（1）中，设分别为中的对边，面积为a b c，ABCABC，S则内切圆半径（1），其中； 图（2）中

6、，则srp12pabc90C12rabc四、典例分析：切线的性质及判定【例 1】 如图，是的直径，点在的延长线上，过点作的切线，切点为，若ABODABDOC，则_25A D 例例 1 1 例例 2 2 巩固巩固【例 2】 如图，直线与相切于点，的半径为，若，则的长为( )ABOAO230OBAOBABCD4 342 32【巩固】如图，与相切于点，线段与弦垂直于点，则切ABOBOABCD60AOB4cmBC 线 AB cm【例 3】 如图，若的直径与弦的夹角为，切线与的延长线交于点，且的半OABAC30CDABDO径为 2，则的长为（ ）CDOACBDOBAODCBA_ A_ C_ D_ B_

7、OOEDCBA Page 4 of 9ABC2D42 34 3 例例 2 2 巩固巩固【巩固】如图，为半圆的直径，点在的延长线上，切半圆于点，于点，EBOAEBADODBCADC，半圆的半径为，则的长为_2AB O2BC【例 4】 如图，已知以直角梯形的腰为直径的半圆与梯形上底、下底以及腰均ABCDCDOADBCAB相切，切点分别是求证：以为直径的圆与相切DCE，ABCD 例 4 巩固【巩固】如图，已知以直角梯形中，以为直径的圆与相切，求证：以为直径的圆与ABCDABCDCD相切AB【例 5】 已知：如图，在中，以为直径的半圆与边相交于点，切线ABCABACBCOABD，垂足为点 求证：（1）

8、是等边三角形；（2）DEACEABC13AECE【巩固】如图，切于点，直线交于点，弦，求证：MPOMOPOAB、ACMPMOBCMPOCBA【例 6】 如图，中，是的中点，以为圆心的圆与相切于点。ABCABACOBCOABD求证：是的切线。ACO 【例 7】 如图，已知是的直径，为的切线，切点为，平行于弦， 。ABOBCOBOCADOAr（1）求证：是的切线；CDO（2）求的值；AD OC_ O_ D_ C_ B_ A_ O_ D_ C_ B_ A_ E_ A_ C_ O_ BODCBAODCBA Page 5 of 9MOADCB（3）若，求CD的长。92ADOCr【巩固巩固】如图，已知是的

9、直径，是和相切于点的切线，过上点的直线，ABOBCOBOAADOC若且，则 。2OA 6ADOCCD 【巩固巩固】如图，AB是半圆（圆心为O）的直径，OD是半径，BM 切半圆于B，OC与弦AD平行且交BM于C。（1）求证：CD是半圆的切线；（2）若AB长为 4，点D在半圆上运动，设AD长为，点A到直线CD的距离x为，试求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围。yyxx【例 8】 如图，为的直径，是外一点，交于点，过点作的切线，交ACOBOABOEEO于点，作于点，交于点。BCDDEDCEFACFADM（1）求证：是的切线；BCO（2）。EMFM 【例 9】 如图，割线与相交于、两点，为上

10、一点，为的中点，交于，ABCOBCDOEBCOEBCF交于，。DEACGADGAGD （1）求证：是的切线；ADO（2）如果，求的半径。242ABADEG，O 【例 10】如图，已知点在的边上，以为直径的与相切于点，且平分EABCABAEOBCDAD求证：BACACBC【巩固】是圆的直径，是它的弦，过作圆的切线，过作交于，则ABBCCCDBBECDCDEABCEBC CODBAMOFEDCBAOGFEDCBA_ O_ E_ D_ C_ B_ A_ A_ O_ B_ C_ D_ E Page 6 of 9【例 11】如图，已知中，以为直径作交于，过作的切Rt ABC90ABCABOACDDO线交

11、于求证：DEBCEBECE【巩固】如图，已知的弦垂直于直径，垂足为，点在上，且，延长到点OABCDFEABEAECEC，连结，若，试判断与的位置关系，并说明理由PPBPBPEPBO【例 12】如图，点在的直径的延长线上，切于点，连结POBA2ABPAPCOCBC（1）求的正弦值；P（2）若的半径，求的长度O2cmr BC【巩固】在中，是边上一点，以为直径的与边相切于点，RtABC90ACBDABBDOACE连结并延长，与的延长线交于点DEBCF（1）求证：；BDBF（2）若，求的面积64BCAD，O【例 13】如图所示，AB是直径，弦于点，且交于点，OODBCFOE若AECODB（1）判断直线

12、和的位置关系，并给出证明；BDO（2）当时，求的长108ABBC，BD【巩固】已知：如图，O 的直径=8cm，是延长线上的一点，过点作O的切线，切点为，ABPABPC连接AC（1）若，求阴影部分的面积；120ACP_ O_ P_ F_ E_ D_ C_ B_ ADOECBA_ P_ C_ O_ B_ AOFEDCBAFECODBA Page 7 of 9（2）若点在的延长线上运动，的平分线交于点，PABCPAAC4 tan604 3PC 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出88 33OPCSSS阴影扇形BO C的度数12【例 14】在平行四边形中，以为直径作，ABCD1060A

13、BADmD，ABO（1）求圆心到的距离(用含的代数式来表示)；OCDm（2）当取何值时，与相切mCDO【例 15】已知：如图，的直径与弦相交于，的切线与弦的延OABCDEBCBDOBFAD长线相交于点F（1）求证：CDBF（2）连结，若的半径为，求线段的长BCO43cos4BCDADCD、【巩固】如图，在中，为边上一点，以为圆心，为半径ABC90C34ACBC，OBCOOB作半圆与边和边分别交于点，连结BCABDE，DE（1）当时，求线段的长；3BD DE（2）过点作半圆的切线，当切线与边相交时，设交点为求证：是等腰三角EOACFFAE形典例分析：切线长定理及切线性质的应用典例分析：切线长定理

14、及切线性质的应用【例 16】在中，点在上，以为圆心的分别与、相切于、Rt ABC90AOBCOOABACE，若， ，则的半径为（ ）FABaACbOOPBCAOABCD_ E_ O_ F_ D_ C_ B_ AOFEDCBACEOFBA Page 8 of 9A、 B、 C、 D、ababababab2ab【例 17】如图，与以为直径的相切于点，ABBCDCBCBCADOE9AB 4CD 则四边形的面积为 。ABCD【例 18】如图，过外一点作的两条切线、，切点分别为、，连结，在、OPOPAPBABABAB、上分别取一点、，使，连结、，则PBPADEFADBEBDAFDEDFEF（ ）EDFA

15、、 B、 C、 D、90P1902P180P1452P-【例例 19】如图，已知中， （定值） ，的圆心在上，并分别与ABCACBCCABOOAB、相切于点、。ACBCPQ（1）求；POQ（2）设是延长线上的一个动点，与相切于点，点在的延长线上，试判DCADEOMECB断的大小是否保持不变，并说明理由。DOE【例例 20】如图，为的内切圆，点、为切点，若，则的ORt ABCDEF6AD 4BD ABC面积为 。【例例 21】正方形中，切以为直径的半圆于，交于，则（ ）ABCDAEBCECDF:CF FD A、12 B、13 C、14 D、25【巩固巩固】如图，以正方形的边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为，切半圆于，交ABCDABOCGE于，交的延长线于，。ADFBAG8GA （1）求的余弦值；（2）求的长。GAECEODBAPEOFDBANQPODCBACEOFDBAEOFDCBAGEOFDCBA Page 9 of 9【例例 22】如图，是半的直径，点是半径的中点，点在线段上运动（不与点ABOMOAPAM重合） ，点在半上运动，且总保持，过点作的切线交的延长线于点MQOPQPOQOBA。C（1）当时，请你对的形状做出猜想，并给予证明；60QPAQ