线性代数模拟题第111套

1、线性代数模拟试题（一）一填空题（每空3分，共30分）1、设 则 2、设A是3阶矩阵，且则 3、已知，则4、设是矩阵，.则线性方程组的基础解系含有 个解向量5、设是非齐次线性方程组的解，若也是的解，则 6、设，若与正交，则、所满足的关系为 7、二次型的矩阵 8、设4阶方阵的特征值分别为则的特征值为 9、设 , 则 10、设 则 二 、计算行列式（10分）三 、设. 求矩阵.（12分）四、设向量组 ， ， ， ，求此向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.（14分）五、求下列非齐次线性方程组的一般解（12分）六、已知实对称矩阵，1.求的特征值与特征向量. 2.求一正交矩阵，

2、使得为对角阵.（16分）七、设，且为的特征值，为它们对应的特征向量，证明线性无关（6分） 线性代数模拟试题（二）一. 填空题（每题3分，共30分）1. 设A是3阶矩阵，且则 2. 设是非齐次线性方程组的解，若也是的解，则 3. 中的系数为 4. 设四元线性方程组的系数矩阵的秩为2，已知有解则的一般解为 5. 设与正交，则 6. 设二元方阵的逆分别是则 7. 设3阶方阵的特征值为2，-1，3，则 8. 设为45矩阵，若的每个行向量都不能用其余的行向量来线性表示，则的秩为 9. 设为中第I行第j列的元素的代数余子式，则 10. 二次型所对应的矩阵为 二. 计算行列式 （10分） 三.已知，且，求（

3、10分）四.求解方程组（12分）五.设向量组中（1）求向量组的秩. （2）求向量组的一个极大无关组. （3）将其余向量用极大无关组线性表示 （14分）六.设=. （1）求的特征值. （2）求的特征向量（3）求正交矩阵，使得为对角阵.（16分）七.证明：若非零向量可由向量组线性表示，且表达唯一，则线性无关. （8分）线性代数模拟试题（三）一、 判断题：（10分） 1、两个n维向量组等价当且仅当两个向量组的秩相等；（ ） 2、两两正交的非零向量组一定是线性无关的向量组；（ ） 3、矩阵A、B分别为线性方程组相应的系数矩阵和增广矩阵，则线性 方程组有唯一解当且仅当R（A）=R（B）；（ ）4、n阶方

4、阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似；（ ） 5、n阶方阵A与B的特征值相同的充分必要条件是A与B相似。（ ）二、 填空题：（20分）1、 向量的第一个分量非负，是的标准正交基（正交规范基），则 = ； 2、n阶方阵A的特征值为1，2，n，则 |A| = ； 3、若A是可逆矩阵，且是A的特征值，则特征值为 ； 4、设是非齐次线性方程组AX=B（B0）的解,若 也是AX=B 的解, 当且仅当 ; 5、实二次型 为正定的，则k= 。三、（10分）设向量1、 验证：的一组基；2、 用初等变换方法求。四、（15分）设线性方程组：，1、 求出线性方程组有解的充要条件；2、 在有解的情况下，求出通解

5、。五、（15分）用正交变换将二次型化为标准型。六、（14分）设是非齐次线性方程组AX=B（B0）的一个解，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明： 1、也是对应齐次线性方程组的一个基础解系；2、，线性无关。七、（16分）设三阶方阵A的特征值为1，-1，2，1、 求矩阵B的特征值及其相似对角形矩阵；2、 求行列式 |B| 与 |A-5E| 。线性代数模拟试题（四）三、 填空题：（30分）1、若是5阶行列式中带“+”的项，则i= ； k= 。2、若行列式D中存在两行元素相同或成比例，则D= 。3、设矩阵A为n阶方阵，且方程组AX=B（B0）有唯一解，则 R（A）= 4、正交矩阵A的五个等价定义

6、为： （1） ； （2） ； （3） ； （4）A的列向量组是一组 基； （5）A的行向量组是一组 基；5、设是n阶矩阵A的伴随矩阵，若|A|=2，则 | = ； 6、设= ； 7、若n阶方阵A的列向量组是的标准正交基，则 A = ； 8、若方阵A满足，则A的特征值是 或 ； 9、设是某齐次线性方程组的基础解系，则与是线性 的；10、n阶矩阵A的n 个特征根互不相等是A与对角矩阵相似的 。二、（10分）计算行列式： 。三、（15分）设有非齐次线性方程组：，问当为何值时有解？并求出全部解。四、（15分）用初等变换求逆矩阵及矩阵的秩： 1、，求； 2、B=，求R（B）。五、（15分）设证明：A及A

7、+3E都可逆， 并求 ，。六、（15分）写出二次型的矩阵，并判断二次型的正定性。线性代数模拟试题（五）一、填空题（每小题3分，共15分） 1、设为维单位坐标向量组，则 = ； 2、任何个维向量都是线性 关的； 3、向量空间中的任何一个基所含的向量个数都等于向量空间的 ； 4、矩阵A=的逆矩阵为= 5、设为矩阵的一个特征根，则是矩阵 的特征根。 二、用初等变换求矩阵的逆矩阵（12分） 三、判断向量组 线性相关性（10分） 四、写出二次型的矩阵， 并判断二次型的正定性。（正定，负定或不定）（12分） 五、求与向量组 等价的正交单位向量组（12分） 六、求方程组的通解（15分） 七、设求向量组 ，的

8、一个最大无关组，并把余下的向量用它的极 大无关组来线性表示（12分） 八、证明：若为实对称矩阵，为正交矩阵，则也是 实对称矩阵（12分）线性代数模拟试题（六）一、 填空题（每小题3分，共15分） 1、在阶行列式中，项的符号是 ； 2、设，则 ， ； 3、设向量组线性无关，则它的秩= ； 4、设是某个齐次线性方程组的基础解系, ，则与是线性 的；因而知道 与 （一定，不一定）是线性方程组的基础解系； 5、阶矩阵的个特征根互不相等是与对角矩阵相似的 条件。 二、计算行列式的值（10分） （1） （2） 三、设，求（10分）;四、求向量组 的秩，并判断它们是否线性相关（10分）五、（1）判断矩阵是否

9、为正交矩阵（7分）； （2）求二次型的矩阵，并判断二次型的正定 性。（正定，负定或不定）（10分）六、已知三阶矩阵的三个特征根为，且 为它们所对应的特征向量，求一个正交矩阵，使为对角阵。（12分）七、求方程组的通解（15分）八、已知向量组与有相同的秩，证明：向量组与是等价向量组（11分）线性代数模拟试题（七）一、填空题：（18分） 1、设是某个齐次线性方程组的基础解系, ，则与是线性 的；因而知道 与 （一定，不一定）是线性方程组的基础解系； 2、阶矩阵的个特征根互不相等是与对角矩阵相似的 条件。 3、 4、矩阵A=的逆矩阵为= 4、设是n阶矩阵A的伴随矩阵，若|A|=2，则 | = ； 5、

10、向量的第一个分量非负，是的标准正交基（正交规范基），则= ；二、（16） 设线性方程组：， 1、求出线性方程组有解的充要条件； 2、在有解的情况下，求出通解。三、（10分） 设三阶方阵A的特征值为1，-1，2， 1、求矩阵B的特征值及其相似对角形矩阵； 2、求行列式 |B| 与 |A-5E| 。四、（15分）判断向量组 线性相关性五、（15分）写出二次型的矩阵， 并判断二次型的正定性。（正定，负定或不定）六、（18分）设矩阵A，求：（1）A的行最简型；（2）A的列向量组的一个极大无关组，并指出列向量组的秩；（3）用上述极大无关组线性表示其余的列向量。七、（8分）证明题：已知向量组与有相同的秩，

11、证明：向量组与是等价向量组。线性代数模拟试题（八）一、填空题（每小题3分，共16分）1、如果，则 ；（3分）2、已知，则= ；（2分）3、设A为阶方阵，为任一常数，则矩阵行列式=_；（2分）4、如果A、B均为阶方阵，且，则矩阵A、B均为_矩阵，且A的_为B，而B的_为A；（3分）5、含有零向量的向量组必是线性_向量组；（2分）6、如果向量组A可以由向量组B线性表示，则R（A）_R（B）；（2分）7、设A为一个n阶方阵，则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是_.。（2分）二、判断题（每小题2分，共12分）1、（ ）2、设均为阶矩阵，则（ ）3、若，则（ ）4、设均为可逆矩阵，则也可逆且（ ）5

12、、向量组是线性无关的（ ）6、设向量组线性无关，则向量组也线性无关（ ）三、计算题（60分）1、（10分）计算行列式2、（10分）已知，求3、（15分）求线性方程组的通解4、（15分）设向量组 是矩阵A的列向量组，求矩阵A的列向量组的秩及其一个最大无关组。5、（10分）设 ，用矩阵的初等行变换求矩阵A的逆矩阵。五、证明题（12分）：设向量组线性无关，试证明向量组也线性无关。 参考答案一、填空题 1、 2、 3、 4、5、 6、二、选择题 1、D 2、A 3、D 4、D 5、C 6、C三、判断题 1、×2、×3、4、×5、6、×7、8、×9、10

13、、×四、计算题 1、解、 2、解：由于，故 3、解：由于 故，方程有无穷多解并有 取得方程组的一个特解 在对应的齐次线性方程组中分别取得 对应的齐次线性方程组的基础解系，于是所求的通解为 （） 4、解： 故向量组的秩为，（或）是它的一个极大无关组。 5、解：取， 将它们单位化得 ， 则，为所求。五、证明：设，则 由于向量组线性无关，故 于是，故向量组也线性无关。线性代数模拟试题（九）一、 填空题（每小题3分，共24分）1、设四阶行列式D的第二行的4个元素分别为。它们的代数余子式分别为，则行列式D=_；2、设，且，则_;3、设A是矩阵，若A的行向量组线性无关，则A的列向量组的秩R=_；

14、4、设A是矩阵，若A的列向量组的秩为2，则线性方程组的基础解系含有_个解向量。5、二次型的矩阵A=；6、设，则A的伴随矩阵=；7、设D=3，则=_8、设阶行列式A的值为2，则=_；二、（18分）设且，求矩阵B；三、（18分）设向量组， 。求：（1）该向量组的秩；（2）求该向量组的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表示。四、（15分）求解方程组。五、（18分）设。1、求A的特征值；2、求A的特征向量；3、求一正交矩阵P，使为一对角阵。六、（7分）证明向量组线性相关的充要条件是其中某个向量可由其余向量线性表示。线 性 代 数 模 拟 试 题（十）一、填空题（每小题3分，共24分）1、

15、如果行列式=0,则=_；2、n阶方阵A的特征值为1，2，n，则 |A| = ；3、设是n阶矩阵A的伴随矩阵，若|A|=2，则 | = _；4、任何个维向量都是线性 关的；5、设是非齐次线性方程组AX=B（B0）的解,若 也是AX=B 的解, 当且仅当 ；6、若行列式D中存在两行元素相同或成比例，则D= ；7、若A是可逆矩阵，且是A的特征值，则特征值为 8、设是某齐次线性方程组的基础解系，则与是线性 的；二、（16分）设向量3、 验证：的一组基；4、 用初等变换方法求。三、（17分）设，求矩阵B。四、（18分）设有非齐次线性方程组：，问当为何值时有解？并求出全部解。五、（18分）设向量组， 。求：（1）该向量组的秩；（2）求该向量组的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表示。六、（7分）设，且向量组线性无关，证明向量组也线性无关线 性 代 数 模 拟 题（十一）一、填空题（每小题3分，共24分）1、四阶行列式中含有的项是：_；2、5阶方阵A的行列式的值=3，则 |-3A| = ；3、设 是非齐次线性方程组AX=b的解，若也是该方程组的解，则 _；4、已知5元齐次线性方程组AX=0的基础解系包含3个解向量，则R（A）=_