矩阵相似对角化研究涂广伟

1、衢州学院学年论文 题 目： 矩阵相似对角化研究 姓 名： 涂广伟 学 号： 4111012104 院 别： 教师教育学院 系：数理系所在专业： 数学与应用数学（师范） _指导教师： 朱溦 职 称： 讲师 2013 年 10 月 8 日目 录1绪论12矩阵相似对角化相关概念22.1相似22.2对角化22.3对称矩阵22.4对角矩阵22.5实对称矩阵33矩阵相似对角化充要条件33.1特征多项式33.2特征向量33.3实对称矩阵54可对角化矩阵的相似对角阵的求法及步骤75矩阵可对角化的应用75.1非实对称矩阵相似对角化的应用75.2实对称矩阵的对角化的应用96总结10参 考 文 献11英 文 翻 译

2、12致 谢 辞13矩阵相似对角化研究【内容摘要】 本文介绍了任意n阶矩阵特征值以及各个特征值所对应的特征向量的求解方法，通过对特征值，特征向量的求解，来判定该n阶矩阵是否可对角化。另外，本文还讨论了一种特殊矩阵实对称矩阵的对角化 。【关键词】 矩阵 ; 特征值 ; 特征向量; 相似; 对角化1 绪论矩阵是高等代数中的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具。而对角矩阵作为矩阵中比较特殊的一类，其形式简单，研究起来也非常方便。相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式、特征根等等。如果我们要研究一个矩阵的这些性质，这时研究它所对应的对角化矩阵即可。而对角矩阵是最简单的一类矩阵，所以研究起来非

3、常方便。 线性代数中矩阵是否可以对角化,是矩阵的一条很重要的性质。矩阵对角化也是高等代数和线性代数中矩阵理论这一部分的主要内容。人们对此研究得出了很多有用的结论。诸如一些充要条件：阶方阵可以对角化的充要条件是它有个线性无关的特征向量；n阶方阵A的n个特征值互不相同，则A可对角化；n阶矩阵所对应的特征值的重根数等于齐次线性方程组的基础解系所含向量的个数等等。 在本课题中通过阅读参考文献、查阅相关资料，初步总结出了矩阵可对角化的若干充分必要条件，并给予了相应的证明过程。除此之外，本文还举出了矩阵对角化这一理论在实际解题中的应用。2 矩阵相似对角化相关概念2.1 相似 对于任意的n阶方阵,若存在可逆

4、方阵，使得则称矩阵与相似，记为，而对进行的运算称为对进行的相似变换， 可逆方阵，称为把变为的相似变换矩阵。2.2 对角化 对于任意n阶矩阵A，如果存在可逆矩阵P,有 (对角矩阵),那么我们称A可对角化。2.3 对称矩阵 设矩阵，记为矩阵的转置。若矩阵A满足条件，则称为对称矩阵。由定义知： .对称矩阵一定是方阵。 .位于主对角线对称位置上的元素必对应相等.即，对任意都成立.对称矩阵形如。2.4 对角矩阵 形式为的矩阵，其中是数，通常称为对角距阵。2.5 实对称矩阵 若对称矩阵的每一个元素都是实数，则称为实对称矩阵。3 矩阵相似对角化充要条件3.1 特征多项式 定理 1 若n阶矩阵A与B相似，则A

5、和B的特征多项式相同，从而A与B的特征值亦相同。 证明： 因为A与B相似，则存在可逆矩阵P，使得 故 所以A和B的特征多项式相同。令 解出 ，则就是A与B的特征值。由以上证明可以得出：若n阶矩阵与对角矩阵 相似，则 是A的n个特征值，这个结论是显然的，因为A与相似，根据定理1得它们有相同特征值。所以是A的n个特征值。3.2 特征向量 定理2 数域P上n阶矩阵A可以对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。 证明： 先证充分性 假设是矩阵A的n个线性无关的特征向量则有 令显然P是可逆矩阵，将其记，则= A（）=即充分性得证 。 再证必要性 令矩阵和对角形矩阵相似，即存在可逆矩阵使得，则有,记

6、， ()即有，这说明矩阵的列向量是矩阵的特征向量，而已知是可逆阵，故的个列向量线性无关，必要性得证。 应注意，由n阶矩阵A可对角化，并不能断定A一定含有n个互不相同的特征值。在后文我们会给出部分n阶矩阵A的特征值虽有重根，但是仍可对角化。 引理1 设是n阶矩阵A的s个不同特征值，是A的分别属于的特征向量，则线性无关。 证明： 用数学归纳法证明，当s=2时，设 分别是A的所对应于特征值的特征向量， 令 (1)则有 (2)(1)-(2)得 又因为 所以 ，所以定理关于成立。假设s-1时定理成立。当为s时，设A的s个不同特征值所对应的特征向令 （3）对（3）式左乘A，得： （4）由假设得：线性无关，

7、所以因为，再带入（3）中得,定理得证。 定理3 设 ，则可以对角化的充分必要条件是：(1)的特征根都在数域内；(2) A的每个特征值对应的线性无关的特征向量最大个数等于该特征值的重数，也就是矩阵A全部特征值所对应的线性无关的特征向量个数之和为n；证明： 设是的所有不同的特征根，根的重数分别为。 充分性：由于的特征向量有个线性无关，由引理1得，不同特征值所对应的特征向量也线性无关，所以A有n个线性无关的特征向量，所以A可以对角化。 必要性：使用反证法 假设如果有一个特征值所对应的无关的特征向量的最大个数的重数，则A的线性无关的特征向量个数小于n，故A不可能与对角矩阵相似，这显然与A可对角化矛盾。

8、 我们知道并不是所有的n阶矩阵都可对角化，但是当为n阶实对称矩阵时，一定可对角化，为了证明实对称矩阵一定可对角化，我们引入实对称矩阵的一些性质。3.3 实对称矩阵定理4 实对称矩阵的特征值都是实数。 证明： 设是阶实对称阵，是的特征值，是属于的特征向量，于是有。令，其中是的共轭复数，则，考察等式，其左边为，右边为.故，又因X是非零量，故，即是一个实数。注意，由于实对称矩阵的特征值为实数，所以齐次线性方程组为实系数方程组，由知必有实的基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量。但是此定理的逆命题不成立。例如，均为实数，而不是对称的。定理5 设A是实对称矩阵，则对于任意向量，有。证明： 显然等价于,

9、只需要证即可。因为A是实对称矩阵，所以A=A，结论得证。 定理6 设是实对称矩阵，则中属于的不同特征值的特征向量必正交。 证明: 设是的两个不同的特征值，分别是属于的特征向量，于是，由，有， 因为，所以，即正交。定理7 对任意一个阶实对称矩阵，都存在一个阶正交矩阵P，使成为对角形且对角线上的元素为的特征值。证明: 设的互不相等的特征值为，它们的重数依次为。则对应特征值，恰有个线性无关的实特征向量，把它们正交化并单位化，即得个单位正交的特征向量，由知，这样的特征向量共可得个。由定理6知对应于不同特征值的特征向量正交，故这个单位特征向量两两正交。以它们为列向量作成正交矩阵，则，其对角矩阵中的对角元

10、素含个，,个，恰是的个特征值。4 可对角化矩阵的相似对角阵的求法及步骤具体步骤 设，求可逆矩阵，使为对角矩阵的步骤是: (1) 求矩阵的全部特征根； (2) 如果的特征根都在数域内(否则不可对角化), 那么对每个特征根, 求出齐次线性方程组的一个基础解系； (3) 如果对每个特征根, 的基础解系所含解向量个数等于的重数(否则不可对角化), 那么可对角化,以所有基础解系中的向量为列即得阶可逆矩阵, 且是对角阵, 而对角线上的元素是的全部特征根；设， 并设可逆， 由得 ， 即有由此可见， 只要取 的列为矩阵的个特征向量即可， 因为可逆， 所以应线性无关。5 矩阵可对角化的应用5.1 非对称矩阵相似

11、对角化的应用例1 判断矩阵是否可以对角化。解: A的特征多项式=0解得的特征值是（重），（重），对于特征根-4，求出齐次线性方程组。的一个基础解系，对于特征根2，求出齐次线性方程组的一个基础解系。由于基础解系所含解向量的个数等于对应的特征根的重数，所以可以对角化。取,那么 5.2 实对称矩阵的对角化的应用例 阵。 解: 由 求得A的特征值为 对应 解方程由 得基础解系将单位化，得 对应解方程由 将正交化，令 再将其单位化得， 将构成正交矩阵 6 总结矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，而矩阵的对角化是矩阵论中的一个重点内容。本文论述了矩阵可对角化的基本理论，在此基础上

12、探讨了矩阵可对角化的充分必要条件，使我们更轻松的理解并掌握矩阵的对角化问题。参 考 文 献1 张禾瑞，郝炳新，高等代数M， 2007，3版， 北京：高等教育出版社2 王萼芳，石生明，高等代数M ，2003，2版， 北京：高等教育出版社 3 张枚，高等代数习题选编M，1981，版，浙江：浙江科学技术出版社4 杨子胥，高等代数习题解M，2001，版，山东：山东科学技术出版社Matrix diagonalization similar study【 abstract 】 this paper introduces the arbitrary order n matrix eigenvalues an

13、d eigenvectors corresponding to each eigenvalue method, based on the characteristic value and characteristic vector of the solution, to determine whether the n order matrix diagonalization, in addition, this paper also discusses a special matrix, diagonal matrix diagonalization. 【 key words 】 similarity； diagon