数值分析课后题答案

1、 数值分析第二章2当时，,求的二次插值多项式。解：则二次拉格朗日插值多项式为 6设为互异节点，求证：（1） （2） 证明（1） 令若插值节点为，则函数的次插值多项式为。插值余项为又 由上题结论可知得证。7设且求证：解：令，以此为插值节点，则线性插值多项式为 =插值余项为8在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求的近似值，要使截断误差不超过，问使用函数表的步长h应取多少？解：若插值节点为和，则分段二次插值多项式的插值余项为设步长为h，即若截断误差不超过，则9若，解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。 16求及。解：若则19求一个次数不高于4次的多项式P（x），使它满足解法一：利用埃米

2、尔特插值可得到次数不高于4的多项式设其中，A为待定常数从而解法二:采用牛顿插值，作均差表：一阶均差二阶均差01201110-1/2又由 得 所以 第四章1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。（1）若令，则令，则令，则从而解得令，则 故成立。令，则故此时，故具有3次代数精度。（2）若令，则令，则令，则从而解得令，则 故成立。令，则 故此时，因此， 具有3次代数精度。（3）若令，则令，则 令

3、，则 从而解得或令，则 故不成立。因此，原求积公式具有2次代数精度。（4）若令，则 令，则令，则故有令，则令，则故此时，因此，具有3次代数精度。7。若用复化梯形公式计算积分，问区间应多少等分才能使截断误差不超过？解：采用复化梯形公式时，余项为 又 故若，则 当对区间进行等分时，故有 因此，将区间476等分时可以满足误差要求第五章2. 用改进的欧拉方法解初值问题取步长h=0.1计算，并与准确解相比较。近似解准确解近似解准确解0.11.111.110340.62.040862.044240.21.242051.242810.72.323152.327510.31.398471.399720.82.

4、645582.651080.41.581811.583650.93.012373.019210.51.794901.797441.03.428173.436563、解：改进的欧拉法为 将代入上式，得 同理，梯形法公式为 将代入上二式，计算结果见表95表 95改进欧拉梯形法01020304050005500002192750000501443880090930671014499225700052380950021405896004936723900899036920143722388可见梯形方法比改进的欧拉法精确。4、用梯形方法解初值问题证明其近似解为并证明当时，它原初值问题的准确解。证明：梯形

5、公式为 代入上式，得 解得 因为，故 对，以h为步长经n步运算可求得的近似值，故代入上式有 10. 证明解的下列差分公式是二阶的，并求出截断误差的首项。，代入得，截断误差首项为。12. 将下列方程化为一阶方程组：1） (1)，其中。2）(2) ，其中。第六章1、用二分法求方程的正根,要求误差小于0.05.解 设,故1,2为的有根区间.又,故当时,单增,当时单增.而,由单调性知的惟一正根.根据二分法的误差估计式(7.2)知要求误差小于0.05,只需,解得,故至少应二分6次.具体计算结果见表7-7. 表7-701234511.51.51.51.56251.59375221.751.6251.625

6、1.6251.51.751.6251.56251.593751.609375-+-即.3、为求在附近的一个根,设将方程改写成下列等价形式,并建立相应的迭代公式:(1),迭代公式;(2),迭代公式;(3),迭代公式.试分析每种迭代公式的收敛性,并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根.解 取的邻域1.3,1.6来考察.(1)当时,故迭代公式在上整体收敛.(2)当时 故在1.3,1.6上整体收敛.(3)故发散.由于(2)的L叫小,故取(2)中迭代式计算.要求结果具有四位有效数字,只需 即 取计算结果见表7-8. 表7-81231.4812480341.4727057301.4688173144561.4670479731.4662430101.465876820由于,故可取7、用下列方法求在附近的根.根的准确值,要求计算结果准确到四位有效数字.(1)用牛顿法;(2)用弦截法,取;(3)用抛物线法,取.解 ,对(1)取,用牛顿迭代法 计算得,故.(2)取,利用弦截法 得,故取.(3).抛物线法的迭代式为迭代结果为:已达四位有效数字.12. 应用牛顿法于方程，导出求立方根的迭代公式，并讨论其收敛性。令，迭代公式为。，则，所以，又 ，所以，因此迭代格式为