丰富多彩的有理数竞赛题

1、百度文库- 让每个人平等地提升自我丰富多彩的有理数竞赛题现以 2000 年、 2001 年第十二届，第十三届“五羊杯” （广东省数学会举办）初中数学竞赛试题的有理数竞赛题为例，介绍有关解题方法。例 1 8 642 097 531、6 420 875 319、4 208 653 197、2 086 431 975 、864 219 753 的平均数是 （）。（A） 4 444 455 555（ B） 5 555 544 444（ C） 4 999 999 995（ D） 5 999 999 994解注意已知五个数的特点：右起1 至 5 位每位数字之和为1+3+5+7+9=25 ， 6 至 10

2、位每位数字之和为0+2+4+6+8=20 ，于是五个数的平均数为4 444 455 555。选 A 。例 2已知 68 9 20 312 690 亿（四舍五入） ，那么其中三位数有（）种填写的方法。（ A） 1 000（ B） 999（ C） 500（ D） 499解可填 500， 501，502， ， 999，共 500 种填法。选C。例 3不超过 700（是圆周率）的最大整数是（）。（ A） 2 100（ B） 2 198（ C） 2 199（ D） 2 200解 5 6，故 2 700 2 。所以应选C。例 4 （ + ）（ + 二次根式【内容综述】一般地，式子叫做二次根式。在解决有关根

3、式的化简与求值问题时，需要同学们熟练地掌握根式的性质、运算法则等知识。另外，特别要掌握好如下的二个重要性质：（1）。（ 2）【要点讲解】在这一部分中，通过例题的解答，介绍有关二次根式的化简、求值、分母有理化等方面的知识，11百度文库- 让每个人平等地提升自我同学们要认真体会其中的解题方法和技巧。 例 1、化简.思路通过分类讨论去掉根号。解原式例 2、化简思路用待定系数法把11-6表示成一个完全平方式。解设11-6（则所以解得或说明本题还可用配方法来化简，请读者自己来试一试。 例 3、 分母有理化。22百度文库- 让每个人平等地提升自我例4化简思路对分子进行重新的分解组合，使之与分母有公共的因式

4、。解法 1 原式=解法2原式说明 对于这种分式型的根式问题的化简，常用的思路就是对于分子进行巧妙地分解、组合，使之出现分母中的形式，达到化简的目的。例5若。思路先化简已知条件的复合二次根式，和所求化数式，然后再求值。33百度文库- 让每个人平等地提升自我说明本题通过变形已知条件得到，然后利用这个条件进行整体代换，大大简化了运算过程。这种解题策略在条件求值问题中经常运用。 例 6 设的整数部分为a，小数部分为b，求 a-b（ 2b+1 ）的值。 例 7 化简44百度文库- 让每个人平等地提升自我由当时,当 n-2 （除 n= -2,因它使分母为零）时,= -,=例8 设且,求的值。解：设显然 k

5、0，则55百度文库- 让每个人平等地提升自我由已知得即由已知得说明： 当题目中的变量较多时，常常引入一个参数，使得每个变量都用这个参数表示出来，这样便于化简。 例 9设。则与 S 最接近的整数是多少？思路：所求式的各项的特征都相同， 故可先研究每项的一般形式的结构， 即所谓 “通项的结构” 。解：当 n 为整数时，有=66百度文库- 让每个人平等地提升自我故与 X 最接近的整数是1999 。说明： 如果所求式子各项的特征相同时，一般要先研究清楚通项的特点，然后再具体到每一项，这是从一般到特殊的思维方法。强化训练A 级 1、_ 2、若则_ 3、若 0a0b, 原式 = -ab；若 a0b, 原式

6、 = ab。韦达定理及其应用【内容综述】99百度文库- 让每个人平等地提升自我设一元二次方程有二实数根，则，。这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a， b， c 的关系，称之为韦达定理。其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。【要点讲解】1求代数式的值应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。 例 1 若 a， b 为实数，且，求的值。思路注意 a， b 为方程的二实根；（隐含）。解 （ 1）当 a=b 时，；（ 2）当时，由已知及根的定义可知，a，b 分别是方程的两根，

7、由韦达定理得， ab=1.说明此题易漏解a=b 的情况。根的对称多项式，等都可以用方程的系数表达出来。一般地，设，为方程的二根，则有递推关系。其中 n 为自然数。由此关系可解一批竞赛题。附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a，b 值进而求出所求多项式值，但计算量较大。 例 2 若，且，试求代数式的值。思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。解：因为，由根的定义知m， n 为方程的二不等实根，再由韦达定理，得，1010百度文库- 让每个人平等地提升自我2构造一元二次方程如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。 例

8、 3 设一元二次方程的二实根为和。（ 1）试求以和为根的一元二次方程；（ 2）若以和为根的一元二次方程仍为。求所有这样的一元二次方程。解 （ 1）由韦达定理知，。，。所以，所求方程为。（ 2）由已知条件可得解之可得由得，分别讨论（ p,q）=(0,0) ，(1,0)， ( 1,0)， (0,1)， (2,1) ， ( 2 ,1)或 (0,1 )。于是，得以下七个方程，x 22x 1 0 ， x 210 ，其中 x 210 无实数根，舍去。其余六个方程均为所求。3证明等式或不等式根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。 例 4 已知 a， b， c 为实数，且满足条件：，求

9、证 a=b。证明 由已知得，。根据韦达定理的逆定理知，以a， b 为根的关于 x 的实系数一元二次方程为由 a， b 为实数知此方程有实根。1111百度文库- 让每个人平等地提升自我。 c20 ，故 c=0，从而。这表明有两个相等实根，即有a=b。说 明由 “ 不 等 导 出 相 等 ” 是 一 种 独 特 的 解 题 技 巧 。 另 外 在 求 得c=0后 ， 由 恒 等 式可得，即 a=b。此方法较第一种烦琐，且需一定的跳跃性思维。4研究方程根的情况将韦达定理和判别式定理相结合，可以研究二次方程根的符号、区间分布、整数性等。关于方程的实根符号判定有下述定理：方程有二正根， ab0；方程有二

10、负根， ab0， ac0；方程有异号二根， ac0；方程两根均为“0”， b=c=0，； 例 5 设一元二次方程的根分别满足下列条件，试求实数a 的范围。二根均大于 1；一根大于 1，另一根小于 1。思路 设方程二根分别为，则二根均大于1 等价于和同时为正；一根大于1，另一根小于是等价于和异号。解 设此方程的二根为，则，。方程二根均大于1 的条件为解之得7a3方程二根中一个大于1，另一个小于1 的条件为4a24(6a)0,( x1 1)( x 2 1)6a ( 2a) 1 0.解之得。1212百度文库- 让每个人平等地提升自我a7 。说明 此例属于二次方程实根的分布问题， 注意命题转换的等价性

11、； 解题过程中涉及二次不等式的解法，请参照后继相关内容。此例若用二次函数知识求解，则解题过程极为简便。5求参数的值与解方程韦达定理及其逆定理在确定参数取值及解方程（组）中也有着许多巧妙的应用。例6 解方程。解：原方程可变形为。令，。则,。由韦达定理逆定理知，以a，b 为根的一元二次方程是。解得，。即 a=8 或 a=9。或通过求解 x 结果相同，且严谨。，（舍去）。解之得，。此种方法应检验：是或否成立强化训练A 级 1. 若 k 为正整数，且方程有两个不等的正整数根，则k 的值为 _ 。 2. 若，则_ 。 3 . 已知和是方程的二实根，则_ 。 4. 已知方程（m为整数）有两个不等的正整数根

12、，求m的值。级1313百度文库- 让每个人平等地提升自我 5. 已知：和为方程及方程的实根，其中n 为正奇数，且。求证：，是方程的实根。 6. 已知关于 x 的方程的二实根和满足，试求 k 的值。参考答案1 2提示：原方程即，所以，由知 k=1， 2，3，5， 11；由知 k=2，3， 4， 7。所以 k=2， 3，但 k=3 时原方程有二相等正整数根，不合题意。故 k=2。2提示：由x， y 为方程的二根，知，。于。3 21提示：由，知，1414百度文库- 让每个人平等地提升自我4设二个不等的正整数根为，由韦达定理，有消去 m，得。即。则且。，。故。5由韦达定理有，。又，。二式相减得。，。将

13、代入有。从而，同理和是方程的根。6当时，可知1，所以 14k312k2 ，当时，易证得。从而，为方程的二不同实根。1515百度文库- 让每个人平等地提升自我，。于是，。当时，方程为。解得或取，即能符合题意，故k 的值为。代数式的变形（整式与分式）在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形，现结合实例对代数式的基本变形，如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法作初步介绍.1配方在实数范围内，配方的目的就是为了发现题中的隐含条件，以便利用实数的性质来解题.例 1设 a、b、 c、 d 都是整数，且2222m=a+b ,n=c+d ,mn 也可以表示成两

14、个整数的平方和，其形式是 _.解 mn=(a2+b2)(c 2+d2)=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2 c2-2abcd=(ac+bd) 2+(ad-bc)22+(ad+bc)2=(ac-bd),所以， mn的形式为 (ac+bd) 2+(ad-bc)2 或（ ac-bd ） 2+(ad+bc) 2 .例 2设 x、 y、 z 为实数，且 (y-z) 2+(x-y) 2+(z-x) 2=(y+z-2x) 2+(z+x-2y) 2 +(x+y-2z) 2.求的值 .解将条件化简成2x2+2y2+2z2-2xy-2x 2 -2yz=0 (x-y) 2+(x-z) 2+(y-z) 2

15、=0 x=y=z, 原式 =1.2. 因式分解前面已介绍过因式分解的各种典型方法, 下面再举几个应用方面的例子.1616百度文库- 让每个人平等地提升自我例 3如果 a 是 x2-3x+1=0 的根 , 试求的值 .解a为 x2-3x+1=0 的根 , a 2-3a+1=0, 且=1.原式说明 : 这里只对所求式分子进行因式分解, 避免了解方程和复杂的计算.3. 换元换元使复杂的问题变得简洁明了.例 4 设 a+b+c=3m, 求证 :(m-a) 3+(m-b) 3+(m-c) 3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.证明令 p=m-a,q=m-b,r=m-c则p+q+r=0.P3+q3+r

16、 3-3pqr=(p+q+r)(p2+q2+r 2-pq-qr-rp)=0333p+q +r -3pqr=0即 (m-a) 3+(m-b) 3+(m-c) 3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0例 5若, 试比较 A、B的大小 .解 设则. 2x y2x-y 0, 又 y 0,可知A B.4. 设参当已知条件以连比的形式出现时, 可引进一个比例系数来表示这个连比.例 6若求 x+y+z 的值 .1717百度文库- 让每个人平等地提升自我解令则有x=k(a-b), y=(b-c)k z=(c-a)k, x+y+z=(a -b)k+(b-c)k+(c-a)k=0.例 7 已知 a、b、 c 为非

17、负实数，且a2+b2+c2=1, 求 a+b+c 的值 .解设 a+b+c=k则 a+b=k-c ，b+c=k-a,a+c=k-b.由条件知即232323ak-a +b k-b +c k-c =-3abc, (a 2 +b2+c2)k+3abc=a 3+b3+c3.222a+b +c =1, k=a3+b3+c3-3abc3223=(a+b) -3a b-3ab +c -3abc22=(a+b+c)(a+b)+c -(a+b)c-3ab(a+b+c),222=(a+b+c)(a+b +c -ab-bc-ca), k=k(a 2+b2+c2-ab-bc-ac), k(a 2+b2+c2-ab-b

18、c-ca-1)=0, k( -ab-bc-ac)=0.若 K=0, 就是 a+b+c=0. 若 -ab-bc-ac=0,即 (a+b+c) 2-(a 2+b2+c2)=0, (a+b+c) 2=1, a+b+c=1综上知 a+b+c=0 或 a+b+c=15. “拆”、“并”和通分下面重点介绍分式的变形：（ 1） 分离分式为了讨论某些用分式表示的数的性质，有时要将一个分式表示为一个整式和一个分式的代数和 .例 8证明对于任意自然数n，分数皆不可约 .证明如果一个假分数可以通约，化为带分数后，它的真分数部分也必定可以通约.1818百度文库- 让每个人平等地提升自我而显然不可通约，故不可通约，从而

19、也不可通约 .（ 2） 表示成部分分式将一个分式表示为部分分式就是将分式化为若干个真分式的代数和.(3) 通分通分是分式中最基本的变形, 例 9 的变形就是以通分为基础的, 下面再看一个技巧性较强的例子 .例9已知求证:.证明6. 其他变形例 10已知 x(x 0， 1) 和1 两个数，如果只许用加法、减法和1 作被除数的除法三种运算（可用括号），经过六步算出x2. 那么计算的表达式是_.解x 2=x(x+1)-x或 x 2=x(x-1)+x1919百度文库- 让每个人平等地提升自我例 11设 a、b、 c、 d 都是正整数，且a5=b4,c 3=d2,c-a=19,求 d-b.解由质因数分解

20、的唯一性及a5=b4,c 3=d2, 可设 a=x4,c=y 2, 故242219=c-a=(y-x )=(y-x)(y+x)解得 x=3.y=10.35d-b=y -x =757强化练习1. 选择题（ 1）把相乘，其乘积是一个多项式，该多项式的次数是（）（A） 2（B）3（C） 6（ D）7（ E）8（2） 已知则的值是（）.(A)1(B)0(C)-1(D)3（ 3）假定 x 和 y 是正数并且成反比，若x 增加了 p%，则 y 减少了（） .（A）p%(B)%(C)%(D)%(E)%2. 填空题（ 1）（ x-3 ）5 =ax5+bx4+cx 3+dx2+ex+f ，则 a+b+c+d+e

21、+f=_,b+c+d+e=_.(2) 若=_.(3) 已知 y1=2x,y 2=, 则 y1y1986=_3. 若（ x-z ）2 -4(x-y)(y-z)=0,试求 x+z 与 y 的关系 .2020百度文库- 让每个人平等地提升自我4. 把写成两个因式的积, 使它们的和为，求这两个式子.5. 若 x+3y+5z=0,2x+4y+7z=0.求的值 .6. 已知 x,y,z 为互不相等的三个数 , 求证7. 已知 a2+c2=2b2, 求证8. 设有多项式 f(x)=4x 4 -4px 3+4qx 2+2q(m+1)x+(m+1) 2, 求证 :如果 f(x)的系数满足p2-4q-4(m-1)

22、=0,那么 ,f(x)恰好是一个二次三项式的平方.9. 设(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)=(a+b+c+d)(bcd+cda+dab+abc).求证 :ac=bd.参考答案(2)(3)23. 略.4.5.6. 略,7. 略.228. p-4q-4(m+1)=0,4q=p -4(m+1)=0,f(x)=4x4-4px 3+p 2-4(m+1)x2+2p(m+1)x+(m+1) 2=4x4+p2x2+(m+1) 2-4px 3-4(m+1)x 2+2p(m+1)x22=2x -px-(m+1).9. 令 a+b=p,c+d=q, 由条件化为pq(b+c)(d+a)=(p+q)(cdp+a

23、dq),展开整理得cdp 2-(ac+bd)+pq+abq2=0,即 (cp-bq)(dp-aq)=0.于是 cp=bq 或 dp=aq, 即 c(a+b)=b(c+a)或 d(a+b)=a(c+d).均可得出ac=bd.大、小正方体用大小相等的无色透明玻璃小正方体和红色玻璃小正方体拼成一个大正方体2121百度文库- 让每个人平等地提升自我ABCDA1B1C1 D1 （如图 1）。大正方体内的对角线AC1 ， BD1 ， CA1 ， DB1 所穿过的小正方体都是红色玻璃小正方体，其他部分都是无色透明玻璃小正方体。小红正方体共用了401 个。问：无色透明小正方体用了多少个？这是第七届“华杯赛”的

24、试题。AC1 ， BD1 ， AC1 ， DB1 四条对角线都穿过在正中央的那个小正方体，除此而外，每两条对角线没有穿过相同的小正方体。所以每条对角线穿过401 141101个小正方体。这就表明大正方体的每条边由101 个小正方体组成。因此大正方体由1013 个小正方体组成，其中无色透明的小正方体有1013401=1029900个，即用了1029900 个无色透明的小正方体。等腰三角形直角三角形【内容综述】等腰三角形和直角三角形是两种非常特殊的三角形，本讲中通过一系列有关等腰三角形或直角三角形的问题的解决，既是复习有关三角形全等的知识，同时也是培养同学们分析、解决问题的能力。同学们通过学习下面

25、问题的分析、解答过程，特别要注意体会如何根据题目的已知信息和图形特征作出适当的辅助线。这是学习本节的难点所在。【要点讲解】 例 1 如图 2-8-1,中，AB=AC ，D 为 AB 上一点， E 为 AC 延长线上一点， 且 BD=CE ，DE交BC于G。2222百度文库- 让每个人平等地提升自我求证： DG=EG 。思路因为 GDB 和 GEC 不全等，所以考虑在GDB 内作出一个与GEC 全等的三角形。证明：过D 作 DH AE，交 BC 于 H AB=AC DB=DH又 DB=CE DH=CE又 DG=EG.说明 本题易明显得出 DG 和 EG 所在的 DBG 和 ECG 不全等，故要构

26、造三角形的全等，本题的另一种证法是过 E 作 EF BD ，交 BC 的延长线于 F，证明 DBG EFG，读者不妨试一试。 例 2 如图 2-8-2 ， D 为等边 ABC 的内部一点， DB=DA ， BE=AB ， DBE= DBC ，求 BED 的度数。思路从已知中知等边ABC 的每个内角为60。所以要想办法把BED 和 60这一信息产生联系。解：连结DC由 ABC 是等边三角形且BE=AB 可得 BE=BC又 DBE= DBC,BD=BD DBE DBC,2323百度文库- 让每个人平等地提升自我 BED= BCD DB=DA ， DC=DC ， CB=CA ， CBD CAD BC

27、D= ACD= BCA= 60 =30 BED=30 说明证明两角相等的重要思路之一就是证明这两角所在的两个三角形能全等。 例 3 如图 2-8-3 ，在 ABC 中， AB=AC ， A=100 ,作 B 的平分线与 AC 边交于E，求证： BC=AE+BE 。思路要想办法把AE+BE 替换成一条线段a，然后只需证明BC=a。证明延长 BE 到 F，使 EF=AE ，连结 FC，作 BEC 的平分线交BC 于 G，由 AB=AC ， BAC=100 ，可知 ABE= CBE=20 因而AEB= GEB=60 于是AEB GEB则有EG=EA=EF又由GEC= FEC=60所以GEC FEC所

28、以EFC= EGC=180 100 =80从而BCF=80 故 BC=BF=AE+BE 例 4 如图 2-8-4, P 为等边 ABC 内任一点， PD AB 于 D ，PEBC 于 E，PF AC 于 F。求证： PD+PE+PF 是定值。思路考虑把 PD+PE+PF用等边 ABC 的边长、周长、高、2424百度文库- 让每个人平等地提升自我面积等不变量表示出来。证明连结 PA、PB、PC，过 A 作 AH BC 于 H 。，又 AB=BC=CA ， PD+PE+PF=AH因为等边三角形的大小已给定，则它的高也随之确定。 PD+PE+PF 是定值。说明题中的 PD、 PE、 PF 这三段都是

29、点到线段的距离，故联想到了三角形的面积，利用各个部分的面积之和等于整体的面积建立了等式关系。 例 5 如图 2-8-5，在 ABC 中， BF AC ， CGAB ，垂足分别是F、 G， D 是 BC的中点， DE FG，垂足是E。求证： GE=EF。思路利用等腰三角形的三线合一性质，只需证明DG=DF 。证明连结 DG、DF。 DG 是 Rt BCG 的斜边 BC 上的中线。，同理可证 DG=DF又 DE FG， GE=EF说明若题目中作了三角形的高，就应注意所形成的直角三角形这一图形，如本题图中的Rt BGC 和 RtCFB 。 例 6 已知一个直角三角形的边长都是自然数，且周长和面积的量

30、数相等，求这个三角形的三边长。思路列出三边长满足的关系式，然后通过分析、讨论得出三边的长度。解设三边长分别为a， b， c，其中 c 为斜边，则2525百度文库- 让每个人平等地提升自我由得,代入得，即 ab 0, ab 4a4b 8=0(a、 b 为自然数 ) a 4=1， 2， 4， 8 a=5， 6， 8， 12； b=12，8， 6， 5；c=13， 10， 10， 13三边长分别为6、 8、 10 或 5、 12、13。说明本题是用代数方法解几何题，这种方法今后还大有用处，请读者注意它。 例 7 如图 2-8-6 ，在 ABC 中， AB=AC=CB ， AE=CD ， AD 、 B

31、E 相交于 P， BQ AD于 Q。求证： BP=2PQ。思路在 Rt BPQ 中，本题的结论等价于证明PBQ=30 证明AB=CA ， BAE= ACD=60 ， AE=CD ， BAE ACD ABE= CAD BPQ= ABE+ BAP= CAD+ BAP=60 又 BQAD PBQ=30 BP=2PQ说明本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度数，这种转换问题的方法值得读者细心体会。强化练习2626百度文库- 让每个人平等地提升自我A 级 1在 ABC中， ACB=90， D、 E 为 AB上的二点，且 AE=AC，BD=BC，如图 2-8-7 ，则 DCE的度数是 _。 2 ABC中

32、， AB=AC， D 在 BC上， BAD=30，在 AC上取 AE=AD，则 EDC的度数是 _。 3已知直角三角形的周长为，斜边上的中线长为1，则这个直角三角形的面积是_。 4如图 2-8-8 P 是等边 ABC外的一点， APB= APC=60，求证： PA=PB+PC。 5等腰三角形的各边均为正整数，周长为15，则满足条件的三角形有_。 6三角形三边的长满足，则这个三角形的形状是_。 7在等腰直角ABC中， P 为斜边上的一点，四边形EPFC是矩形， D 为 AB的中点，如图 2-8-9 ，则 DE和 DF的大小关系是 _。 8如图 2-8-10 ，AC=BC， C=20，又 M在 A

33、C边上， N 在 BC边上且满足 BAN=50， ABM=60，求 NMB的度数。2727百度文库- 让每个人平等地提升自我参考答案1 45提示： 由 AE=AC得 AEC=90，同理由BD=BC得 BDC=90，又因为 A+B=90，所以得AEC+ BDC=135，所以 DCE=45。2 15提示： 由题设条件设 AED= ADE=X，所以 EDC=X C。又因为 2 C+30 +（ 180 2X）=180，由此可得 X C=15，所以 EDC=15。3提示： 设它的三边长为a，b， c，由题设条件得c=2，所以由得 ab=1，则4. 提示： 在 PA 上截取 PD=PB，连结 BD，可证出BP=BD， AB=BC，所以得，则 AD=PC，所以 BP+PC=PD+DA=PA。5答案： 4 个2828百度文库- 让每个人平等地提升自我提示： 由题意设三边为x， x， y，则有解得， x=4， 5， 6， 7。当 x=4 时， y=7；当 x=5， y=5；当 x=6， y=3，当 x=7，y=1；故符合条件的三角形共有4 个。6 等腰三