正多边形和圆弧长和扇形面积

1、正多边形和圆、弧长和扇形面积一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：l 了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形l 通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题l 了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，并会应用公式解决问题重点难点：l 重点：正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系；n°的圆心角所对的弧长，扇形面积及它们的应用；圆锥侧面积和全面积

2、的计算公式l 难点：正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系；弧长和扇形面积公式的应用；由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程；圆锥侧面积和全面积的计算公式学习策略：l 要结合图形真正理解掌握相关概念，注意多观察实物模型、多动手.二、学习与应用“凡事预则立，不预则废”科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记知识回顾复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？（一）多边形的内角和公式为 ，多边形的外角和为 .（二）正n边形有 个内角，每一个内角都 ，每一个内角的度数为 .（三）正n边形有 个外角，每一个外角都

3、，每一个外角度数为 .（四）正n边形有 条对角线.（五）圆的半径为r，则其周长为 ，面积为 .知识要点预习和课堂学习知识点一：正多边形的概念各边 ，各角也 的多边形是正多边形要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：（1）各边 ；（2）各角 ；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形（正方形）.知识点二：正多边形的重要元素（一）正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成 的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆（二）正多边形的有关概念（1）一个正多边形的 圆的圆心叫做这个正多边形的中

4、心（2）正多边形 圆的半径叫做正多边形的半径（3）正多边形每一边所对的 角叫做正多边形的中心角（4）正多边形的 到正多边形的一边的 叫做正多边形的边心距（三）正多边形的有关计算（1）正n边形每一个内角的度数是 ；（2）正n边形每个中心角的度数是 ；（3）正n边形每个外角的度数是 .知识点三：正多边形的性质（一）正多边形都只有 个外接圆，圆有 个内接正多边形.（二）正n边形的半径和边心距把正n边形分成 个全等的直角三角形.（三）正多边形都是 图形，对称轴的条数与它的 数相同，每条对称轴都通过正n边形的 ；当边数是偶数时，它也是 对称图形，它的 就是对称中心.知识点四：正多边形的画法（一）用量角器

5、等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆.（二）用尺规等分圆对于一些特殊的正n边形，可以用圆规和直尺作图.知识点五：弧长公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长（圆的周长）公式： n°的圆心角所对的圆的弧长公式： （弧是圆的一部分）要点诠释：（1） 对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的 ，即；（2）公式中的n表示1°圆心角的倍数，故n和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；（3）弧长公式所涉及的三个量： 、 度数、弧所在圆的 ，知道其中的两个量就可以求出第三个量.知识点六：扇形面积公式（一）扇形定

6、义：由组成圆心角的两条 和圆心角所对的 所围成的图形叫做扇形.（二）扇形面积公式：半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积（圆面积）公式： n°的圆心角所对的扇形面积公式： 要点诠释：（1） 对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 ，即；（2）在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形 、扇形 、扇形的 ，知道其中的两个量就可以求出第三个量.（3）扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；（4）扇形两个面积公式之间的联系：.知识点七：圆锥的侧面积和全面积连接圆锥 和底面圆上任意一点的 叫做圆锥的母线.圆锥的

7、母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形面积圆心角为n°，则圆锥的侧面积 ，全面积 .要点诠释：扇形的半径就是圆锥的 ，扇形的弧长就是圆锥底面圆的 .因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图 形面积，全面积是由 和 组成的.经典例题-自主学习类型一：正多边形的概念例1（1）（2011江苏南通）比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点与不同点.例如它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等. 它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形.请你再写出它们的两个相同点和不同点. 相同点：（1） （2） 不同点：（1） （2） （2）如图，在正方形ABC

8、D中，对角线AC、BD交于O点，若分别以A、B、C、D为圆心，以OA长为半径作弧，分别与各边交于E、F、G、H、K、L、M、N点.求证：八边形EFGHKLMN是正八边形.例2已知：如图，ABC是O的内接等腰三角形，顶角A=36°，弦BD、CE分别平分ABC、ACB.求证：五边形AEBCD是正五边形类型二：正多边形的有关计算例3（1）（2011广东中山）正八边形的每个内角为（ ）A120° B135° C140° D144°（2）已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积举一反三：【变式1】已知，如图，正八边形

9、ABCDEFGH内接于半径为R的O，求这个八边形的面积.探究思考：这个八边形的边长a=?提示：如图所示，当OA=R时，a= = = =类型三：考查弧长和扇形的计算例4（1）（2011广东广州）如图4，AB切O于点B，OA=2，AB=3，弦BCOA，则劣弧的弧长为（ ）A BCDCBAO 图 4（2）制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长（结果精确到0.1mm）例5如图，已知扇形AOB的半径为10，AOB=60°，求的长（结果精确到0.1）和扇形AOB的面积（结果精确到0.1）.举一反三：【变式1】如图，为的直径，于点，交于点，于点

10、（1）请写出三条与有关的正确结论；（2）当，时，求圆中阴影部分的面积CBAOFDE类型四：圆锥面积的计算例6（1）（2011山东泰安）一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是（ ）A.5 B. 4 C.3 D.2（2）圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？（结果精确到0.1cm2）举一反三：【变式1】如图，圆锥形的烟囱帽的底面直径是，母线长.计算这个烟囱帽侧面展开图的面积及圆心角.【变式2】如图，已知RtABC的斜边AB=13cm，一条直角边AC=5cm，以直线AB为轴旋转一周得

11、一个几何体求这个几何体的表面积三、总结与测评要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力总结规律和方法强化所学认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧（一）首先要结合图形真正理解掌握正多边形及其相关的一些概念；（二）在进行正多边形的有关计算时，要利用由正多边形的半径、边心距及弦的一半组成的直角三角形结合勾股定理进行计算；（三）注意掌握用尺规等分圆的方法画一些特殊的正多边形；（四）注意弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位，若圆心角的单位不统一，应先统一单位，化为度；（五）扇形面积公

12、式与三角形面积公式类似.把弧长看作底，R看做高就比较容易记忆了；（六）对组合图形面积的计算问题，应认真全面观察和分析图形，避免拿起题目就盲目乱做.经典例题透析类型一、正多边形的概念1（1）（2011江苏南通）比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点与不同点.例如 它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等. 它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形. 请你再写出它们的两个相同点和不同点.相同点：（1）_（2）_不同点：（1）_（2）_答案：相同点（1）每个内角都相等（或每个外角都相等或对角线都相等）；（2）都是轴对称图形（或都有外接圆和内切圆）；.

13、不同点（1）正五边形的每个内角是108°，正六边形的每个内角是120°（或）；（2）正五边形的对称轴是5条，正六边形的对称轴是6条（或）.（2）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，若分别以A、B、C、D为圆心，以OA长为半径作弧，分别与各边交于E、F、G、H、K、L、M、N点. 求证：八边形EFGHKLMN是正八边形.思路点拨：欲证八边形EFGHKLMN是正八边形，依据定义，只要证它的各角相等(都为135°)，各边也相等.证明：设正方形ABCD的边长为a，则 同理可证 同理可证 八边形EFGHKLMN的各边相等 而BFG、CHK、DML、AEN都是

14、等腰直角三角形， 由三角形的外角性质可得此八边形的每个内角都为90°+45°=135° 八边形EFGHKLMN是正八边形.2已知：如图，ABC是O的内接等腰三角形，顶角A=36°，弦BD、CE分别平分ABC、ACB.求证：五边形AEBCD是正五边形解：ABC是等腰三角形，顶角A=36°，ABC=72°，ACB=72°，又弦BD、CE分别平分ABC、ACBABD=DBC=ACE=BCE=BAC=36°五边形AEBCD是正五边形.类型二、正多边形的有关计算3. （1）（2011广东中山）正八边形的每个内角为（ ）A12

15、0° B135° C140° D144°思路点拨：正八边形的每个内角为，故选B.答案：（2）已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积思路点拨：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OMAB于M，在RtAOM中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的 解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于，OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径因此，所求的正六边形的周长为6a在Rt

16、OAM中，OA=a，AM=AB=利用勾股定理，可得边心距OM=所求正六边形的面积=6××AB×OM=.举一反三：【变式1】已知，如图，正八边形ABCDEFGH内接于半径为R的O，求这个八边形的面积.解：如图，分别连结OA，OC及AC由正八边形的对称性，则ACOB，AOC=90° 探究思考：这个八边形的边长a=?提示：如图所示，当OA=R时，.类型三、考查弧长和扇形的计算4. （1）（2011广东广州）如图4，AB切O于点B，OA=，AB=3，弦BCOA，则劣弧的弧长为（ ）A BC D图4思路点拨：连结OB、OC，则，OB=，由弦BCOA得，所以OBC为

17、等边三角形，.则劣弧的弧长为，故选A.答案：A（2）制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)思路点拨：要求的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可解：R=40mm，n=110的长=76.8(mm)因此，管道的展直长度约为76.8mm5如图，已知扇形AOB的半径为10，AOB=60°，求的长(结果精确到0.1)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1).思路点拨：要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径的已知量便可求，本题已满足解：的长=S扇形=因此，的长为10.5，扇形AOB的面积为52.4举一反三：【变式1

18、】如图，为的直径，于点，交于点，于点(1)请写出三条与有关的正确结论；(2)当，时，求圆中阴影部分的面积解：(1)答案不唯一，只要合理均可例如： ； ； ；是直角三角形；是等腰三角形 (2)连结，则 ， 为的直径， 在中， ， ，是的中位线 类型四、圆锥面积的计算6（1）（2011山东泰安）一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是（ ）A5 B. 4 C3 D2思路点拨：圆锥的侧面展开图的弧长为2，圆锥的侧面面积为2，底面半径为1，圆锥的底面面积为，则该圆锥的全面积是2+=3.故选C.答案：C（2）圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？(结果精确到0.1cm2)思路点拨：要计算制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸，只要计算纸帽的侧面积解：设纸帽的底面半径为rcm，母线长为，则(cm)22.03(cm)S纸帽侧=×58×22.03=638.87(cm)638.87×20=12777.4(cm2)所以，至少需要12777.4cm2的纸举一反三：【变式1】如图，圆锥形的烟囱帽的底面直径是，母线长.计算这个烟囱帽侧面展开图的面积及圆心角.思路点拨：烟