小学奥数系统总复习

1、奥数教学简介一、课程特色：1、教材与现行小学奥数教程同步；2、教材难度适中，体现科学性，现实性，有挑战性，突出实、难、巧、趣的特点。二、教学理念：通才教育和趣味教育。三、教学目标：以通才教育和趣味教育理念为指导，提高学生的学习成绩， 培养学生在现实生活中运用数学方法和数学思维解决实际问题的能力， 进而开拓学生的思维， 为学好奥数打下坚实的基础。如何学好奥数？1、直观画图法： 解奥数题时，如果能合理的、科学的、巧妙的借助点、线、面、图、表将奥数问题直观形象的展示出来，将抽象的数量关系形象化，可使同学们容易搞清数量关系，沟通“已知”与“未知”的联系，抓住问题的本质，迅速解题。2、倒推法：从题目所述

2、的最后结果出发，利用已知条件一步一步向前倒推，直到题目中问题得到解决。3、枚举法： 奥数题中常常出现一些数量关系非常特殊的题目，用普通的方法很难列式解答，有时根本列不出相应的算式来。我们可以用枚举法， 根据题目的要求，一一列举基本符合要求的数据，然后从中挑选出符合要求的答案。4、正难则反： 有些数学问题如果你从条件正面出发考虑有困难，那么你可以改变思考的方向，从结果或问题的反面出发来考虑问题，使问题得到解决。5、巧妙转化： 在解奥数题时，经常要提醒自己，遇到的新问题能否转化成旧问题解决，化新为旧，透过表面，抓住问题的实质，将问题转化成自己熟悉的问题去解答。转化的类型有条件转化、问题转化、关系转

3、化、图形转化等。6、整体把握： 有些奥数题，如果从细节上考虑，很繁杂，也没有必要，如果能从整体上把握，宏观上考虑，通过研究问题的整体形式、整体结构、局部与整体的内在联系，“只见森林，不见树木” ，来求得问题的解决。第一讲第一题：时钟问题有一个始终每小时快20秒，它 3月 1日中午 12点准确，下一次准确的时间是什么时间？（ 5月 30日 12 时）答：一圈快 20x12=240秒 =4分，一共要快几圈才会正好对准标准时间 12x60÷4=180（圈） ，换算成是几日 180x12=2160 时=90日， 3月1日中午 12时 +90日=5月 30日12时第二题：几何问题如图， ABC

4、是等腰直角三角形，D是半圆周的中点，那么阴影部分的面积是多少？( 圆周率取 3.14)BC是半圆的直径已知AB=BC=10，答：第三题：和差倍问题春风小学原计划种杨树、柳树和槐树共 1500棵，植树开始后，当种了杨树总数的 3/5 和30棵柳树后，又临时运来 15棵槐树，这是剩下的 3种树的棵数恰好相等，问原计划要栽植这三种树各多少棵？答： 假设杨树、柳树和槐树棵树分别为：a、 b 和 c，由题意可得：a+b+c=1500 (1 - 3/5)a=b-30 b-30=c+15易得到三种树分别为：825、 360、 315棵第四题：行程问题甲、乙二人进行游泳追逐赛，规定两人分别从游泳池50米泳道的

5、两端同时开始游，直到一方追上另一方为止，追上者为胜。 已知甲、 乙的速度分别为1.0 米秒和 0.8 米秒。问：（ 1）比赛开始后多长时间甲追上乙？（2）甲追上乙时两人共迎面相遇了几次？答：（ 1） 250秒；（ 2）4次。如图，构造柳卡图，可见比赛开始250秒后甲追上乙，他们相遇4次。第五题：速算与巧算答： 2/45第二讲【计算题】1难度：（ 1）计算：（ 2）（结果写成分数形式）【答案】2难度：某次考试中， 13 名同学的平均分四舍五入到十分位后等于 85.4 ，且每名同学的得分都是整数。请问：这 13 名同学的总分是多少？计算平均分时四舍五入到百分位等于多少？【答案】平均数的范围是在85

6、.3585.45之间的数。这 13 个同学的总分最小为 13× 85.35=1109.55 分，最大为 13× 85.45=1110.85 分，每个同学的得分是整数， 那么总分也一定是个整数，所以这 13 个同学的总分为1110 分，则他们的平均分四舍五入到百分位为85.38 分。第三讲【计算题】1难度：将 15 个相同的悠悠球分装到四个相同的纸盒中，要求每个盒子中至少装一个，且每个盒子装的数量都不相同，问共有 _种装法。【答案】因为 2+3+4+5=14，所以最小两个加数只能为1 和2；1 和3；1 和4；2 和3 四种情况： 15=1+2+3+9(2)15=1+3+4+

7、7(3)无(4)15=2+3+4+6=1+2+4+8=1+3+5+6=1+2+5+7因此 15 个悠悠球放在不同纸盒里共有3+2+1=6 种不同的装法。2难度：将一个等边三角形各边七等分后再连接相应的线段得到下图，问图中共有多少个三角形？【答案】正立的：边长是 1 有： 1+2+7=28边长是 2 有： 1+2+6=21边长是 3 有： 1+2+5=15边长是 7 有： 1个倒立的：边长是 1 有： 1+2+6=21边长是 2 有： 1+2+3+4=10边长是 3 有： 1+2=3因此共有： 28+21+15+10+6+3+1+21+10+3=118第四讲【几何问题】1难度：如图，已知三角形

8、ABC面积为 1，延长 AB 至 D，使 ；延长 BC至 E，使 CE=2BC；延长CA至 F，使 AF=3AC，求三角形 DEF的面积。【答案】2难度：一个大正方体、四个中正方体、四个小正方体拼成如图的立体图形，已知大、中、小三个正方体的棱长分别为5 厘米、 2 厘米、 1 厘米。那么，这个立体图形的表面积是多少平方厘米 ?【答案】采用“三视图”的方法，立方体总表面积=( 正面面积 +侧面面积 +上面面积 ) × 2+遮挡部分的面积，正面面积=5× 5+(2 × 2+1× 1) × 2=35 平方厘米，侧面面积=5× 5+(2 &#

9、215; 2+1× 1) ×2=35 平方厘米，上面面积=5× 5=25 平方厘米，遮挡部分的面积=(2 × 2+1× 1) ×8=40 平方厘米，所以总表面积=(35+35+25)× 2+40=230 平方厘米。第五讲【数论问题】1难度：已知九位数2012 12 2 既是 9 的倍数，又是11 的倍数，那么，这个九位数是多少？【答案】设原数为 ，是 9 的倍数和除特征，两位一截后得到的两位数相加11 的倍数，那么一定是99，的倍数。根据99 的整是 99 的倍数，只能是99，所以，所以b=6， a=2。2难度：四个连续自然

10、数的乘积是11880，求此四个数。【答案】，把这些质因数搭配成我们不妨从11 入手，只能有8， 9， 10， 11 或是4 个乘数， 并且要求是连续的，11 比较大，9， 10， 11，12，前者不成立。那么这四个数是 9， 10， 11， 12。第六讲【应用题】1 一个农夫看见池塘里有一群鹅，他自言自语地说：“我如果有这些鹅，再加上这些鹅，然后再加上这些鹅的一半，又加上这些鹅的一半的一半，最后再加上我家里的正好是 93 只鹅。”池塘里有鹅多少只。【解析】5 只，就。2 老师买来120 支铅笔分给四、五、六年级的同学，其中分给四年级，分给五年级，那么六年级分到铅笔_支 .【解析】简单分数量率对

11、应应用题，3 小明看丁丁历险记的连环画，第一天看了全书的还多 4 页，第二天看了余下的共有还多 5 页，第三天看了剩下的还多 6 页，第四天看了页【解析】典型还原问题，列综合算式即可，2 页就将全书看完了。这本书一页4 陕北某村有一块草场，假设每天草都均匀生成。这片草场经过测算可供100 只羊吃200 天，或可供150 只羊吃 100 天。问：如果放牧250 只羊可以吃多少天？放牧这么多羊对吗？为防止草场沙化，这片草场最多可以放牧多少只羊？【解析】每只羊每天吃草量为1 份。新生草量：（份）原有草量：（份）250 只羊可吃：（天）放牧这么多羊不对。最多放牧50 只羊，因为每天新增草50 份，刚好

12、够50 只羊吃。第七讲1 一箱苹果，按每千克1.6 元卖，亏 12 元，按每千克2.1 元卖，赚3 元，要想不亏不赚，每千克应卖元.【解析】如果 1 千克按 1.6 元卖，4 千克按 2.1 元卖，则刚好亏的和赚的抵消，平均每千克卖 (1.6 2.1 ×4) ÷(1 4) 2( 元).2 将一群人分为甲、乙、丙三组，每人都必在且仅在一组。已知甲、乙、丙的平均年龄分别为37、23、 41。甲、乙两组人合起来的平均年龄为29；乙、丙两组人合起来的平均年龄为 33。则这一群人的平均年龄为。【解析】甲、乙两组人的年龄比为（ 29-23 ）：（ 37-29 ）=3:4 ，乙、丙两组人

13、的年龄比为（41-33 ）：（33-23 ）=4:5 ，所以甲、乙、丙三组人的年龄比为3:4:5，这群人的平均年龄为（岁）。3 美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在自然界里，物体形映的比例却提供了匀称与协调上的一种美感的参考，在数学上，这个比例称为黄金分割。在人体下躯干（由脚底至肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，也就是说，若此比值越接近0.618，就越给人一种美的感受。如果某女士身高为1.60 米，下躯干与身高的比为0.60 ，为了追求美，她想利用高跟鞋达到这一效果，那么她选的高跟鞋的高度约为多少厘米。【解析】该女士下躯干高160 × 0.6=0.96米，设高

14、跟鞋的高度为x米，从而，解得（厘米）（厘米）第八讲1 小王期末考试得了满分，但老师在评讲试卷时小王突然发现在做一道数学填空题时，算到最后一个结果是一个数乘以8，再减去 63，由于粗心，把乘法算成除法，把减法算成加法，但凑巧的是得数是对的，这道数学题得数是.【解析】设数为 a，则有 a×8 63 a÷8 63，求得 a 16，结果为 16÷8 63 65。2 天津红气球小学六年级同学参加运动会， 每人都在长跑、 短跑和接力三个项目中选择两项参加。已知参加长跑的有 28 人，参加短跑的有 25 人，参加接力的有 33 人。那么，参加长跑和接力两项的有 。【解析】容易计

15、算一共有六年级学生（ 28 25 33）÷ 2=43人，所以参加长跑和接力的人有43-15=18。3、我国除了用公历纪年法外，在很多场合还采用干支纪年法表示年代。天干有10 个：甲乙丙丁戊已庚辛壬癸。地支有 12 个：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥。将天干的10 个流字与地支的 12 个汉字循环对应排列成如下两行： 甲乙丙丁戊已庚辛壬癸甲乙丙丁戊 子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅 例如：公历2000 年，干支纪年为庚辰年。那么公历2003 年，干支幻年为年。请你阅读下面的故事：我国著名的数学家苏步青在1983 年讲过一个学文史的也要学点数学的故事：“我有一个学生研究古典文学，送我好几本研究苏

16、东坡的文集，我翻看了一篇 赤壁赋 ，赤壁赋是苏东坡哪一年写的？书上印的是1080 年。苏东坡生于1037 年，活了66 岁。赤壁赋开头几句就是：壬戌之秋，七月既望。大家知道1982 年是干支纪年法的壬戌年。我一看苏东坡写赤壁赋的年代是1080 年，就知道一定是错的。”请说明苏步青是通过怎样的“神机妙算”得出这个结论的？并推算苏东坡是公历哪一年写的赤壁赋？【解析】因为 10 ，12=60 ，所以干支纪年法每60 年一循环， 1982 年是壬戌年，赤壁赋也是壬戌年写的，因此公历1982 年与写赤壁赋的公历年相差应是60 的倍数，但是1982-1080=902 ，902 不是 60 的倍数，所以赤壁

17、赋不是在1080 年写的。 1037+66=1103，在 1037 年至1103年间与1982 相差60 的倍数的只有1982-60 × 5=1082，所以赤壁赋是苏东坡1082 年写的。第九讲1、（）一个农民携带一只狼，一只羊和一棵白菜，要借助一条小船过河小船上除了农民只能再带狼、羊、白菜中的一样而农民不在时，狼会吃羊，羊会吃白菜农民如何过河呢？【解析】如下表：次数此岸过河彼岸1狼，白菜农民，羊2狼，白菜农民羊3狼农民，白菜羊4狼农民，羊白菜5羊农民，狼白菜6羊农民狼，白菜7农民，羊狼，白菜农民，羊，狼，白菜2、（）有一家五口人要在夜晚过一座独木桥他们家里的老爷爷行动非常不便，过桥

18、需要12 分钟；孩子们的父亲贪吃且不爱运动，体重严重超标，过河需要时间也较长，8分钟；母亲则一直坚持劳作，动作还算敏捷，过桥要6 分钟；两个孩子中姐姐需要3 分钟，弟弟只要1 分钟当时正是初一夜晚又是阴天，不要说月亮，连一点星光都没有，真所谓伸手不见五指 所幸的是他们有一盏油灯，同时可以有两个人借助灯光过桥但要命的灯油将尽，这盏灯只能再维持30 分钟了！他们焦急万分，该怎样过桥呢？【解析】首先姐姐跟弟弟一起过，用时3 分钟，姐姐再回去送油灯，用时3 分钟，老爷爷跟爸爸一起过河，用时 12 分钟，弟弟将灯送回去，用时 1 分钟，弟弟和母亲一起过，用时 6 分钟，弟弟送灯过河， 用时 1 分钟，最

19、后与姐姐一起过河， 用时 3 分钟一共用时：3+3+12+1+6+1+3=29分钟最后能够安全全部过河第十讲1、（）有两堆火柴，一堆3 根，另一堆7 根甲、乙两人轮流取火柴，每次可以从每一堆中取任意根火柴，也可以同时从两堆中取相同数目的火柴每次至少要取走一根火柴谁取得最后一根火柴谁胜如果都采用最佳方法，那么谁将获胜？【解析】采用逆推法分析，假设甲获胜，甲最终将两堆火柴都变为0，简记（0，0）；因为甲至少取1 根火柴，所以甲取之前，即乙留给甲的两堆火柴最少的几种情况是（1， 0），（ 2， 0）（ 1，1）；要想乙留给甲上述情况，甲应该留给乙（1，2）；再往前逆推，当甲留给乙（3，5）时，无论乙

20、怎样取，甲都可以一次取完所有的火柴或留给乙（ 1， 2）所以甲先从 7 根火柴的一堆取出 2 根，留给乙（ 3， 5），甲必胜 .2、（） 0 国王带着 1、 3、 5 、 7 、 9 、11六位大臣去旅游。晚上大家要去住旅馆，可只有三间房。 0 国王自己要住一间，剩下的两间房都能住三个人，一间是奇数房，只能住奇数；一间是质数房，只能住质数。结果六位大臣商量着竟然吵了起来。1大臣说：“我是质数，我应该住质数房！”3大臣说：“不对，你是奇数，我才应该住质数房！”他们闹得不可开交，最后只好请 0 国王来评判。 可 0 国王一时之间也不知道该怎么安排。同学们，你们能帮助他们吗？你们能够设计几种不同的

21、住法呢？【解析】首先，在题目里1大臣所说的是错误的，而3 大臣所说的是正确的。所有的六位大臣都可以去住奇数房，但只有3、 5 、 7 、 11四位大臣可以住在质数房。所以，例如 1、 3 、 9 住奇数房， 5 、 7 、 11住质数房的安排方法就是正确的。由前面的分析，1、 9 必须住在奇数房，所以另外四个数中任何一个也住进奇数房，都是一种住法，那么一共有C414 种不同的住法。第十一讲1、（）若干个同样的盒子排成一排，小明把五十多个同样的棋子分装在盒中，其中只有一个盒子没有装棋子， 然后他外出了。 小光从每个有棋子的盒子里各拿一个棋子放在空盒内， 再把盒子重新排了一下。 小明回来仔细查看了

22、一番， 没有发现有人动过这些盒子和棋子。问共有多少个盒子？【解析】原来有个空的， 说明现在也有个空的；现在空的说明原来这盒有1 个，当然现在也必须有个盒子有1 个；现在盒中有1 个，说明原来是2 个，当然现在也必须有个盒子有2 个； 考虑 50 多，所以有0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55共 11 个盒子。2、（）向阳小学有730 个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？【解析】一年最多有366 天，可看做366 个抽屉，730 个学生看做730 个苹果因为7303661364，所以，至少有 1 1 2（个）学生的生日是同一天第十二讲1、（） “六一”儿童节，很多小朋友到公园

23、游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等【解析】假设共有n 个小朋友到公园游玩，我们把他们看作n 个“苹果”，再把每个小朋友遇到的熟人数目看作“抽屉”，那么，n 个小朋友每人遇到的熟人数目共有以下n 种可能：0， 1，2， ，n-1 其中0 的意思是指这位小朋友没有遇到熟人；而每位小朋友最多遇见n-1个熟人，所以共有n 个“抽屉”下面分两种情况来讨论：如果在这n 个小朋友中， 有一些小朋友没有遇到任何熟人，这时其他小朋友最多只能遇上n-2个熟人，这样熟人数目只有n-1种可能：0， 1， 2， ，n-2 这样，“苹果”数(n个小朋友) 超过

24、“抽屉”数(n-1种熟人数目) ，根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等如果在这 n 个小朋友中，每位小朋友都至少遇到一个熟人，这样熟人数目只有 n-1 种可能： 1， 2， 3， ， n-1 这时，“苹果”数 (n 个小朋友 ) 仍然超过“抽屉”数 (n-1 种熟人数目 ) ，根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等总之，不管这 n 个小朋友各遇到多少熟人 ( 包括没遇到熟人 ) ，必有两个小朋友遇到的熟人数目相等2、（）海天小学五年级学生身高的厘米数都是整数，并且在140 厘米到150 厘米之间（包括 140 厘米到 150 厘米），那么，至少从多少个学生中保

25、证能找到4 个人的身高相同？【解析】陷阱：以前的题基本全是2 个人的，而这里出现4 个人，那么，就“从倍数关系选”。认真思考，此题中应把什么看作抽屉？有几个抽屉？在 140 厘米至 150 厘米之间（包括140 厘米到 150 厘米）共有11 个整厘米数，把这11个整厘米数看作 11 个抽屉，每个抽屉中放 3 个整厘米数，就要再取出一个整厘米数， 放入相应的抽屉中， 那么这个抽屉中便有找出 33+1=34 个学生，才能找到 4 个人的身高相同11 333 个整厘米数，如果4 个整厘米数， 也就是至少第十三讲1、（） 有四个人在晚上准备通过一座摇摇欲坠的小桥此桥每次只能让2 个人同时通过，否则桥

26、会倒塌过桥的人必须要用到手电筒，不然会一脚踏空只有一个手电筒4个人的行走速度不同：小强用1 分钟就可以过桥，中强要2 分钟，大强要 5 分钟，最慢的太强需要 10 分钟 17 分钟后桥就要倒塌了请问：4 个人要用什么方法才能全部安全过桥？【解析】小强和中强先过桥，用2 分钟；再用小强把电筒送过去，用1 分钟，现在由大强跟太强一起过桥，用 10 分钟，过去以后叫中强把电筒送给小强用2 分钟，最后小强与中强一起过河再用 2 分钟，他们一起用时间： 2 1 10 22 17 ( 分钟 ) ，正好在桥倒塌的时候全部过河 ( 时间最短过河的原则是：时间长的一起过，时间短的来回过这样保证总的时间是最短的

27、)2、（）车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18，30， 17， 25， 20 分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5 元现有两名工作效率相同的修理工， 怎样安排才能使得经济损失最少？怎样安排才能使从开始维修到维修结束历时最短？【解析】 一人修 17、20、 30，另一人修18、 25 ；最少的经济损失为：5（1732023018225） 910(元)（1830 17 25 20） 2 55( 分 ) ，经过组合，一人修需18， 17 和 20 分钟的 因为三台，另一人修需30 和 25 分钟的两台，修复时间最短，为55 分钟第十四讲1、 (2008 年“迎春杯”三

28、年级组初赛) 计算：【解析】本题可以直接将两个乘积计算出来再求它们的差， 但灵活采用平方差公式能收到更好的效果原式2、 (2008 年走美四年级初赛)【解析】本题可以用凑整的方法来做，也可以直接用平方差公式来做原式5.29 试题1、 (2008年日本小学算术奥林匹克大赛高小组初赛)计算：分析( 法1) 原式2、计算51.2× 8.1 11× 9.25 537× 0.19【解析】稍着处理，题中数字就能凑整化简，原式 51.2 × 8.1 11×9.25 （ 512 25）×0.19 51.2 × 8.1 11× 9.

29、25 512× 0.19 25 × 0.19 51.2 × 8.1 51.2 × 1.9 11 × 9.25 0.25 × 19 51.2 × 10 11× 0.25 11× 90.25 × 19 512 0.25×30 99 611 7.5 618.5第十五讲1、计算（ 1） 2003× 2001÷ 1112003 × 73÷ 37（ 2）412× 0.81 11× 53.7 × 1.9【解析】（ 1）原式 200

30、3×2001÷1112003×73× 3÷（ 37×3）2003×（ 2001 73×3）÷ 111 2003× 2220 ÷111 40060（ 2）原式 41.2 × 8.1 11×（ 9 0.25 ）（ 41.2 12.5 ）× 1.9 41.2 × 8.1 41.2 × 1.9 12.5 ×1.9 11× 9 11×0.25 41.2 ×（ 8.1 1.9 ）（ 10 2.5 ）×

31、; 1.9 99 11× 0.25 412 10× 1.9 2.5 ×1.9 99 11× 0.25 41219 99（ 11 19）× 0.25 410 2 201 1001 7.5 537.52、（ 04 年希望杯1 试）计算【解析】第十六讲1、 (2008 年“希望杯”六年级第2 试 )_分析用换元法令，则原式2、【解析】原式第十七讲1、计算_.【解析】原式第十八讲1、（ ）大林和小林共有小人书不超过9 本，他们各自有小人书的数目有多少种可能的情况？【解析】大林和小林共有 9 本的话，有 10 种可能；共有本的话，有 1 种可能，所以根据

32、加法原理，一共有8 本的话，有 9 种可能， ，共有 10+9+ +3+2+1=55 种可能02、（ ）用100 元钱购买2 元、 4 元或 8 元饭票若干张，没有剩钱，共有多少不同的买法 ?【解析】如果买 0 张 8 元饭票， 还剩 100 元，可以购买4 元饭票的张数为0 25 张，其余的钱全部购买 2 元饭票，共有26 种买法；如果买 l 张 8 元饭票，还剩92 元，可购4 元饭票 0 23 张，其余的钱全部购买2 元饭票，共有24 种不同方法；如果买 2 张 8 元饭票，还剩84 元，可购4 元饭票 0 21 张，其余的钱全部购买2 元饭票，共有22 种不同方法；如果买 12 张 8

33、 元饭票，还剩4 元饭票，可购4 元饭票0 1 张，其余的钱全部购买2元饭票，共有2 种方法总结规律，发现各类情况的方法数组成了一个公差为2，项数是13 的等差数列利用分类计数原理及等差数列求和公式求出所有方法：26+24+22+2=(26+2) ×13÷ 2=182( 种 ) 共有 182 种不同的买法第十九讲1、（）题库中有三种类型的题目，数量分别为30 道、 40 道和 45 道，每次考试要从三种类型的题目中各取一道组成一张试卷问：由该题库共可组成多少种不同的试卷？（ 4级）【解析】从该题库每一类试卷中分三步各选一道题，每一步分别有30、 40、 45 种选法根据乘法

34、原理，一共有30× 40× 45=54000 种不同的选法，所以一共可以组成54000 种不同试卷2、（）五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目如果贝贝和妮妮不相邻，共有多少种不同的排法？（6 级）【解析】五位同学的排列方式共有5× 4×3× 2× 1=120（种）如果将相邻的贝贝和妮妮看作一人，那么四人的排列方式共有4× 3× 2× 1=24（种）；因为贝贝和妮妮可以交换位置，所以贝贝和妮妮相邻的排列方式有24×2=48( 种 ) ；贝贝和妮妮不相邻的排列方

35、式有120-48=72 （种）第二十讲1、（）一列往返于北京和上海方向的列车全程停靠个车站( 包括北京和上海) ，这条铁路线共需要多少种不同的车票（4 级）【解析】(种)2、（）用1、 2、 3、 4、5、 6、 7、8可以组成多少个没有重复数字的四位数？（4级）【解析】这是一个从个元素中取个元素的排列问题，已知，根据排列数公式，一共可以组成( 个 ) 不同的四位数6.7 试题1、（）某校举行排球单循环赛，有个队参加问：共需要进行多少场比赛？（2级）【解析】因为比赛是单循环制的，所以，个队中的每两个队都要进行一场比赛，并且比赛的场次只与两个队的选取有关而与两个队选出的顺序无关所以，这是一个在个

36、队中取队的组合问题个由组合数公式知，共需进行(场)比赛2、（）从0、 0、 1、2、 3、 4、 5 这七个数字中，任取3 个组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？（这里每个数字只允许用1 次，比如100、 210 就是可以组成的，而 211 就是不可以组成的）（2008 年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛五年级）（4级）【解析】若三位数不含有0，有5× 3× 4=60（个），若含有一个0，有5× 4× 2=40个），若含有两个0 ，有5（个），所以共有60+40+5=105（个）3、（）某班共有46 人，参加美术小组的有12 人，参加音乐小组的有23

37、 人，有5人两个小组都参加了这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？【解析】已知全班总人数， 从反面思考， 找出参加美术或音乐小组的人数， 只需用全班总人数减去这个人数， 就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的人数 根据包含排除法知， 该班至少参加了一个小组的总人数为 12+23-5=30 ( 人 ) 所以，该班未参加美术或音乐小组的人数是 46-30=60 ( 人 ) 4、（）对全班同学调查发现，会游泳的有20 人，会打篮球的有25 人两项都会的有 10 人，两项都不会的有9 人这个班一共有多少人？【解析】如图，用长方形表示全班人数， A 圆表示会游泳的人数， B 圆表示会打篮球

38、的人数，长方形中阴影部分表示两项都不会的人数由图中可以看出，全班人数 至少会一项的人数 +两项都不会的人数，至少会一项的人数为： 20+25-10=35 ( 人 ) ，全班人数为： 35+9=44 ( 人 ) 第二十一讲1. 有一个电子表的表面用 2 个数码显示 “小时” ，另用 2 个数码显示 “分” 。例如“ 21：32”表示 21 时 32 分，那么这个手表从“10： 00”至“ 11： 30”之间共有分 钟 表面上显示有数码“2” .【解析】显示小时的数码不会出现 2，只有分钟会出现。 10 点到 11 点分别有 2，12， 20，21，22， ， 29， 32，42， 52，共 15

39、 次， 11 点到 11 点半有 2， 12，20， 21，22， ， 29 共 12 次，所以有 27 分钟。2.袋中有3 个红球，4 个黄球和5 个白球，小明从中任意拿出6 个球，他拿出球的情况共有 _种可能【解析】如果没拿红球，那么拿（黄、白）球的可能有（1、5）、（ 2、 4）、（ 3、3）、（ 4、 2）4 种 .如果拿 1 个红球，那么拿（黄、白）球的可能有（0、5）（ 1、4）、（ 2、3）、（ 3、2）、（4、1）5 种.如果拿 2 个红球，那么拿（黄、白）球的可能有（4、0）5 种如果拿 3 个红球，那么拿（黄、白）球的可能有（0、4）、（ 1、3）、（ 2、2）（ 3、1）

40、、0、 3）、（ 1、2）、（ 2、 1）、（ 3、0）4 种.可见他拿出球的情况共有：4+5+5+4=18（种）有 18种.第二十二讲1. 1 、2、3、4 四个数字， 从小到大排成一行， 在这四个数中间， 任意插入乘号 ( 最少插一个乘号 ) ，可以得到多少个不同的乘积 ?【解析】方法一：按插入乘号的个数进行分类：若插入一个乘号，4 个数字之间有3 个空当，选3 个空当中的任一空当放乘号，所以有 3 种不同的插法，可以得到3 个不同的乘积，枚举如下：1× 234，12× 34， 123×4若插入两个乘号，由于必有一个空当不放乘号，所以从 3 个空档中选2 个空

41、当插入乘号有 3 种不同的插法，可以得到3 个不同的乘积，枚举如下：1× 2× 34， 1× 2× 3× 4， 12× 3× 4。若插入三个乘号，则只有1 个插法，可以得到l 个不同的乘积，枚举如下：1× 2× 3× 4。所以，根据加法原理共有3+3+1=7 种不同的乘积方法二：每个空可以放入乘号可以可以不放乘号共有两种选择，在3 个空所以共有：2× 2× 2=8 去掉都不放的一种情况，所以共有：1、 2、 3、 4 这四个数中共有8-1=7 （种）选择2、(2002年南京少

42、年数学智力冬令营六年级试题) 今年是2002 年，把2002 年这样的年份称为“对称年”（年份的个位数字和千位数字相同，百位数字和十位数字相同）从2000年到2999 年之间共有（）个“对称年。【解析】2000 年到 2999 年之间的 “对称年” 个位为9，共 10 个，所以从2000 年到 2999 年之间共有2，十位和百位数字相同，可以是10 个“对称年”.0、1、2、 、第二十三讲1、共有个四位数，其四个数字的乘积是质数【解析】四个数的积为质数，其中只能有个符合要求的四位数：，以排成四个符合要求的四位数，因此共有个质数，另外个数为，如，。同样，个符合要求的四位数。，它可以排成四，也都可

43、2、给定三种重量的砝码（每种数量都有足够多个），将它们组合凑成有种不同的方法（每种砝码至少用一块。）【解析】【分析】枚举。，一共有种方法。第二十四讲1、在到（含）的所有正整数中，它的数码和可被整除的数共有多少个？【解析】、论把中的个位去掉， 得到从中的一个数，各位数字和除以、中的一种，之后添加个位数字使新生成的数的各位数字之和能够整除的各位数字之和除以的余数是多少，个位数都有两种添加方法，所以从的余数为、。不这个数中各位数字之和为的倍数的有（个），减去一个，有（个）；从这个数中有和各位数字之和能被整除，所以从所有正整数中，它的数码和可被整除的数共有（个）。到2、在一个六边形纸片内有最多能剪出 _个【解析】设正六边形内有个点， 当个点，以这时有个点和六变形的个顶点为顶点的三角形，个三角形， 每增加一个点， 就增加个三角形，个点最多能剪出个三角形时，可剪出个三角形注：设最多能剪出个小三角形，则这