四边形证明题及综合题

1、四边形证明题及综合题1、：如图，在正方形 ABCD中，点E、F分别在边BC和CD上，/ BAE = / DAF . 1求证：BE = DF ；2联结AC交EF于点0,延长0C至点M，使0M = 0A,联结EM、FM.2、如图8,梯形A胆门中，初/ ,求证：四边形AEMF是菱形.卜：、和分别是、的中点，点押在1求证：四边形是平行四边形;2联结加'，假设'平分/皿°, 求证：四边形拠右是矩形.c3、如图，在等腰梯形 ABCDL/ C=60 ° , AD/ BC 且 AD=AB=DC E、F 分别在 AD DC的延长线上，且 DE=CF AF BE交于 点P。1求

2、证：AF=BE2请猜测/ BPF的度数，并证明你的结论。4、如图，在矩形 ABCDK BMILAC DNLAC M N是垂足. 1求证：AN=CM2如果AN=MN2，求矩形 ABC啲面积.（即）5.如图.在平行四边形加C。中，。为对角线的交点，点CE = -£C虫为线段肚延长线上的一点，且2.过点恵作曲/5，交O于点亦,联结 1求证：炉/处；2如果梯形”必r是等腰梯形，判断四边形"胶刃的形状，并给出证明.6、如图，在正方形 ABCD中，点E、F分别是边 AB AD的中点，DE与CF相交于G, DE CB的延长线相交于点H,点M是CG的中点.求证：1BM/GH2BML CF.

3、7:如图，AE / BF, AC平分/ BAD交BF于点C BD平分/ ABC交AE于点D,联结CD求证：四边形 ABCD1菱形.&如图，在正方形中，点血、卄 分别是边加、*"的中点,上城与相 交于“，缈、人的延长线相交于点丄, 点M是苗的中点.求证.i（2）丄 CF9. :女口图，在梯形 ABCD 中，AD/BC, AB=CD,点 E、F 在边 BC 上, BE=CF, EF=AD .求证：四边形AEFD是矩形.11.第11题国】:如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC, BC=2AD ACL AB,C10.如图，在 口ABCD中，E、F分别为边 ABCD勺中点，BD是对角

4、线，过 A点作AG DB交CB的延长线于点 G1求证：DE / BF;2假设/ G=Q,求证：四边形 DEBF1菱形.点E是AC的中点，DE的延长线与边 BC相交于点F.求证：四边形AFCD1菱形.12. 此题共2小题，每题6分，总分值12分:如图，在梯形 ABCD中, AD/ BC 点 E、F在边 BC上, DE/ AB AF / CD 且四 边形AEFD是平行四边形.1试判断线段 AD与 BC的长度之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；2现有三个论断： AD = AB/ B +/CMn=90°/ B = 2 / C.请从上述三个论断中选择一个论断作为条件，证明 四边形AEFD是菱

5、形.13. :如图，矩形纸片 ABCD的边AD =3, CD=2，点P是边CD上的一个动点不与点 C 重合，把这张矩形纸片折叠，使点B落在点P的位置上，折痕交边 AD与点M折痕交边BC于点N .1写出图中的全等三角形设CF=H , AM=y，写出F与工的函数关系式；2试判断/ BMP是否可能等于90° .如果可能，请求出此时CP的长；如果不可能，请说 明理由14、边长为1的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点与点 A、C不重合， 过点P作PE丄PB , PE交射线DC于点E,过点E作EF丄AC垂足为点F.1当点E落在线段CD上时如图10， 求证：PB=PE ; 在点P的运动过

6、程中，PF的长度是否发生变化？假设不变，试求出这个不变的值,假设变化，试说明理由；2当点E落在线段DC的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述1中的结论是否仍然成立只需写出结论，不需要证明；3在点P的运动过程中，"PEC能否为等腰三角形？如果能，试求出AP的长，如果不能，试说明理由.15、如图，直线与必轴相交于点丿，与直线”一相交于点戸.(1) 求点厂的坐标(2) 请判断("X的形状并说明理由动点虫从原点柑出发，以每秒1个单位的速度沿着"'尸 山的路线向点X匀速运 动虫不与点°、丄重合，过点虫分别作费丄用轴于穴严1尸轴于.设运

7、动'秒时，矩形曲"与 “阳重叠局部的面积为S .求"与*之间的函数关系式.d®=丿/J = 4 .近是直 联结母F .1所示1假设点世是线段丿訂上一点与点"、和不重合，如图 求证：A贞并写出此函数的定义域. 设和忙一1，兴出的面积为$ ,求$关于x的函数解析式，2直线丿打上是否存在一点 戸，使厶 是厶 面积的3倍，假设存在，直接写出门用 的长，假设不存在，请说明理由.17. : O为正方形ABCD对角线的交点，点 E在边CB的延长线上，联结 EQ OF丄OE交BA 延长线于点F,联结EF如图4。(1) 求证：E(=FQ(2) 假设正方形的边长为

8、2, OE=2OA求BE的长；18. 此题总分值10分，第1小题3分，第2小题4分，第3小题3分如图，在正方形 ABCD中，点E、F分别在BC AD的延长线上，且 EA丄CF,垂足为HAE与CD相交于点G1求证：A(=CF;2当点G为CD的中点时如图 1，求证：FC=FE3如果正方形 ABCD的边长为2,当EF=EC时如图2，求DG的长.答案1.证明：1：正方形 ABCD , AB=AD/ B= / D=90°2 分/ BAE = Z DAF ABEA ADF1 分 BE = DF2 分2t正方形 ABCD ,/ BAC= Z DAC1 分Z BAE =Z DAF/ EAO Z FA

9、O1 分/ ABEA ADF AE = AF EO=FO AO 丄 EF OM = OA 四边形AEMF是平行四边形/ AO丄EF 四边形 AEMF是菱形2. 1证明：联结EG梯形*斥如中，少J，且也、&分别是肋、的中点,1分2分1分1分 EG/BC,且閃2分RF = -(ADBC)又. EGBF.1分四边形拠町是平行四边形.2分2证明：设AF与EG交于点Q/ EG/ AD / DAGZ AGE平分DAGZ GAO Z GAOZAGE AO=GO .2分.四边形颐？是平行四边形， AF=EG四边形個暫是矩形2分3.证明：1：梯形 ABCD!等腰梯形，AD/ BC / BAE= Z AD

10、F1分/ A= DC AE=DF1分/ BA=AD BAEA ADF , BE=AF .2 丨猜测Z BPF= 120° 由1知厶 BAE ADF , / ABE= Z DAF . Z BPF= Z ABE+ Z BAP= Z BAE. 而 AD / BC, Z C= Z ABC=60° =120°1分1分1分1分1分 Z BPF = Z BAE = 120° 1 分4、证：1t四边形ABCD是矩形， AD/ BC AD=BC Z DACZ BCA又 DNL AC BML AC, Z DNAZ BMC " DAN" BCM-3分AN=

11、CM 1 分2联结BD交AC于点O AN= NM=2, AC= BD =6,又四边形 ABCD是矩形，:.AO=DO3,在"ODN中, OD3, ON=1,Z ON° ,. dn=J血-锁访,矩形ABCD勺面积 "mN 12 .乜.21分分（第T题怪1）5.解：1方法1 :延长的1交于C 如图1. 1分在平行四边形"脱叩J中，川叔：，"丿J 井C./ d ,陶 / d ,四边形MEG是平行四边形.又.CE = -SC2?AD=SC?KG二CE? SC 二 ' AD 二GD 1 分. AD H BCZfiCF.在丄和 S7F中，阳 ZAD

12、C=ZEOF CE = DG. , , ,. CEP aas 二囚F 四边形"必7是平行四边形,OA = OD AG=CE 1分耳""I-方法2:将线段的中点记为&，联结OG 如图2. 1分.四边形ARCD是平行四边形，.处/切.1分EF hCA.Z<K!G = ZFECGC = CE在二OGC和中,"曲一"皿，心：心Z«TC = ZreE?. OGC 工八 W7E asaOG = FC又兀/CF,四边形曲，是平行四边形.OE / <7（；其他方法，请参照上述标准酌情评分2如果梯形 加酹 是等腰梯形，那么四边形 曲

13、切 是矩形.°F / CE ,貯/ O ,.四边形况费是平行四边形.EFOC又梯形和恥川是等腰梯形，阳二必'O8 = OC备注：使用方法 2的同学也可能由 皿托当HCE找到解题方法；使用方法 1的同学也可能由四边形鼻处石是平行四边形找到解题方法 四边形血CD是平行四边形，.屁-友疋,恥-2加6证明：1t在正方形 ABCD中，AD/ BC / A=/ HBE / ADE/1 分1分/£_ 肋1分平行四边形/朋血是矩形./ AE=BEADE BHE 1 分 BH=AD=BC 1 分/ CMGM 二 BM/ GH 1 分2：在正方形 ABCD 中，AB=AD=CD / A

14、=Z ADC90O,1 1又 DF=2 AD AE=AB - AE=DF. AEDA DFC 1 分/ ADE/ DCF 1 分/ ADE/ GDC90o, / DCF+/GDC90o./ DGC90o.1 分 / BMT GH / BMG/ DGC90o,即卩 BML CF 1 分7、证明：T AC平分/ BAD / BAC= / CAD又/ AE / BF,/ BCA= / CAD. / BAG / BCA. AB=BC.同理可证AB=AD AD=BC.又 AD / BC,四边形ABCD1平行四边形.-1分 又 AB=BC , ABCD菱形8. 证明：1.正方形"肮:门1'

15、;丿：是“疝的中点MZAED=ZBEHaAEDBEH1'zacF+ZGDisa0£CSH=9!F1'T “是f的中点 几"”'BMf/WBM9. 证法一：在梯形 ABCD 中，AD/ BC,又：EF=AD四边形AEFD是平行四边形.1分 AD DF, / AEF=Z DFC 1 分 AB=CD / B=Z C. 1 分又 BE=CF,ABEA DCF 1 分/ AEB/ DFC 1 分/ AEB/AEF 1 分/ AEB/AEF=180o, / AEF=90o. 1 分四边形AEFD是矩形.1分证法二：联结AF、DE 1分在梯形 ABCD 中，AD/

16、 BC 又T EF=AD四边形 AEFD是平行四边形.1分 AB=CD / B=/ C. 1 分/ BE=CF BEfEF=CF+EF,即 BF=CE 1 分 ABi DCE 1 分 AF=DE 2 分四边形AEFD是矩形.1分10、 证明：1ABCD , AB/ CD AB= CtD-1分1 1E、F分别为 AB CD的中点，二 DF= 2DC BE= 2ABDF/BE,DF=BE1分四边形DEBF为平行四边形DE/BF-1 分证明：T AG/ BD / G=/ DBC= 90°, DBC为直角三角形-1分又-F为边 CD的中点. BF= 2DC= DF-1分又四边形 DEBF为平

17、行四边形，四边形DEBF1菱形-1 分11.证明：在梯形 ABCD中，AD/ BC /:DAE/ FAE /【ADE / CFE1分又 AE=EC ADEA CFE 1 分 AD=FC 1 分四边形AFCD是平行四边形.1分I/ BG2AC, FC=AD=Z BC 1 分1/ ACL AB AF=2 BC 1 分 AF=FC 1 分四边形AFCD是菱形.1分12. 1解：线段AD与BC的长度之间的数量为： 必. 1分证明： AD/ BC DE/ AB 四边形 ABED是平行四边形. AD= BE. 2 分同理可证，四边形 AFCD1平行四边形即得AD= FC1分又 四边形AEFD是平行四边形，

18、AD= EF. 1分 AD= BE= EF= FC恥. 1 分2解：选择论断作为条件. 1分证明： DE/ AB / B = / DEC1 分/ B +/C = 90° / DEC+Z C = 90°即得 Z EDC= 90° 2 分又 EF= FC DF= EF. 1 分四边形AEFD是平行四边形， 四边形AEFD是菱形.1分13.同理1" MBN 6 MPN" MBN 6 MPN MB=MP ,他矩形 ABCD AD=CD (矩形的对边相等 Z A= Z D=90 (矩形四个内角都是直角)/ AD=3, CD=2, CP=x, AM=y D

19、P=2-x, MD=3-yRt zd ABM 中，MS应宀冶44MP2 =AfD3+«J3 =(3-jf)3+(2-i)3 y2 +斗=(37尸斗(2_©債i3 -4n-9y-T3当zaaff=90°当CMP二9(尸时,可证甩 AM=CP AB=DM .一丄丿一1当 CM=1 时， ZiMP=MT14. 1证：过P作MNLAB交AB于点M交CD于点N正方形 ABCD , PM=AM MN=AB从而MB=PN2分 PMB2A PNE 从而 PB=PE2分解：PF的长度不会发生变化,设0为AC中点，联结PO正方形 ABCD , BOX AC1分从而/ PBO/ EPF

20、1分 P0B2A PEF, 从而 PF=BO 12分2图略，上述1中的结论仍然成立； 3当点E落在线段CD上时，/ PEC是钝角，从而要使"PEC为等腰三角形，只能 EP=EC1分这时，PF=FC，丹“门，点P与点A重合，与不符。当点E落在线段DC的延长线上时，/ PCE是钝角，从而要使"PEC为等腰三角形，只能 CP=CE 1分1分1分1分c CP=RH-PC=设 AP=x 那么 ! T，,厂5又，解得 x=1.综上，AF=1时，"PEC为等腰三角形y =吋灵暮肛何1分15.解：1解得:点P的坐标为2,1'2当F 。时，亶点A的坐标为4, 0QF二（2订

21、（2间=4比二 J（2一帀省一酣二 4OA=OP=PA小“是等边三角形3当 0v w 4 时,I 当 4v F V 8 时，1S=-e4j3t-T16. 1证明：在皿上截取AG- AR，联结敬7 . 山强=ZAEG.又/ A= 90°,/ A+Z AGE3-Z AEG= 180° / AGE= 45° . Z BGE= 135° . Q il BC . Z C+Z D= 180 ° .又 tZ C= 45° . Z D= 135° .Z BGE=Z D.AUAD, AG=AE 处"/Z BEF= 90°

22、.Z A+Z ABEZ AEB= 180° ,Z AEBZ BEF+Z DEF= 180 ° , ZA= 90° . Z ABE=Z DEF1*关于T的函数解析式为：此函数的定义域为：2存在DE一2±25I当点赵在线段HD上时，2±2.5 负值舍去. n当点丈在线段延长线上时，业 上丄"负值舍去 川当点为在线段0"延长线上时，1U丄2 DK的长为2厉一 2、2亦+ 2或10±2517、 1证明：T ABCD是正方形，对角线交于点 O, AO=BO , AC 丄 BD , 1 分 Z OAB= Z OBA , Z OA