工程徐变力学学习总结

1、工程徐变力学学习总结摘要：徐变是指固体在不变的外力作用下，变形随时间缓慢增长的现象。徐变性质广泛存在，对工程的影响有好有坏。基于本学期工程徐变力学课程的学习以及参考其他相关文献，本文对徐变力学的基本概念和工程应用进行简单总结，主要包括以下三方面内容：一、通过三种简单流变模型及其组合而成的广义流变模型并推导物理方程;二、总结几种著名的徐变方程式;三、简单介绍混凝土徐变力学的基本理论。关键字：徐变；流变模型；徐变方程式；混凝土引言徐变力学是广义工程力学的一个分支，主要是研究材料徐变性质对结构物和机器零件的强度、刚度和稳定性影响的一门学科。许多工程材料均有徐变性质，如高温工作下的金属、混凝土和塑料等

2、。这些材料的徐变可能达到弹性变形的几倍甚至几十倍，严重影响结构和机器的工作。徐变可能使涡轮机和金属管道发生破坏，也可能降低结构的温度和收缩应力。研究材料的徐变形式对于安全和经济的设计结构和机器具有重大意义。1 典型徐变曲线在长时间、常荷载的拉伸下，典型的徐变曲线如图1.1所示。当杆件受力后，首先发生以线段OA表示的瞬时应变，其与所施荷载的大小不同而为弹性变形或弹塑性变形。随着时间增长，材料将发生徐变。线段AB为徐变第一阶段，徐变速率由某一较大值逐渐减少，以后趋于常量，这一阶段一般历时较短。BC段为徐变第二阶段，这个阶段的徐变速率最小，应基本保持不变，第二阶段所经历的时间一般较长。C点以后成为徐

3、变的第三阶段，徐变速率逐渐增大，最终可能在C点附件发生“脆性”断裂，或者在颈缩后在D点发生“韧性”破坏。如果所受应力接近材料的破坏极限，这第二阶段可能很短，甚至消失。上述徐变的三个阶段有时也被称为过渡阶段、稳定阶段和破坏阶段。如果在某时刻（）时卸去荷载，杆件的应变将减小，这个过程成为“回复”（见图1.1）。当杆件卸载时，首先恢复的一部分弹性应变EF，以后现行将随时间逐渐减少，最后保留不可恢复的残余应变。材料内应力的大小和温度的不同将给徐变曲线的形状带来很大的影响。图1.2表示在同一温度T，但不同应力的作用下金属材料的徐变曲线，图1.3表示在同一应力下，不同温度T（）时金属的徐变曲线。可以看出，

4、在较小的应力或较低的温度时，金属实际不产生徐变；在较大的应力或较高的温度时，经过较短的徐变阶段徐变速率可能减少到0；在更大的应力或更高的温度下，可能发生长时间的稳定徐变；当应力或温度继续增加，徐变得发展更为迅速，稳定阶段逐渐缩短；最后，在或徐变由过渡阶段直接到达破坏阶段。建筑工程中常用的混凝土的徐变，除了具有上述相同的特点外，它的徐变性质还与养护条件、加载龄期和工作环境等均有显著的关系。2 流变模型流变模型是流变学中经常用来描述复杂变形现象的一种工具。流变模型通常由三种简单模型（或称元件），即理想弹性模型、理想粘性模型和刚塑性模型组合而成。理想弹性模型由弹簧表示，见图2.1（a），其应力应变关

5、系式是单值的并且与时间无关，在线性条件下这个关系就是胡克定律： （a） 理想粘性模型用图2.1（b）所示的缓冲器（又称阻尼器）来表示，通常假设它的应力与应变速率成正比，即： （b） 式中 刚塑性模型是塑性力学常用的一种理想化模型，它的特征是当物体内的应力小于它的流动极限时，物体不变形，当应力达到是，物体开始流动，变形可以无限增大。刚塑性模型通常由两块互相接触，而且接触面上具有库伦摩擦所构成的元件来表示，见图2.1（c）。在流变学中上述三种元件最常用的是弹性模型和粘性模型。不同元件的组合可以得到不同的粘弹性模型，用以描述物体的各种复杂变形现象。其中最简单的是由二元件组成的松弛模型和非松弛模型，以

6、及由三元件组成的弹粘性模型。下面讨论这几种模型并给出其物理方程的最终推导结果。2.1 松弛模型松弛模型也称为马克斯韦尔（Maxwell）模型，它是由一个弹性元件和一个粘性元件串联而成，见图2.2（a）。根据串联模型中应力相等、应变为各元件纸盒的条件，可以求得松弛模型的应力和应变的物理方程，即： （2-1）式中具有方程（2-1）所描述的性质的物体成为松弛物体或Maxwell物体。2.2 非松弛模型非松弛模型也称为沃埃特凯尔文（Voigt-Kelvin）模型。将弹性元件与粘性元件并联，可以得到非松弛模型,见图2.2（b）。根据并联模型中各元件的应变相等，应力为各并联元件之和的条件，可以导出非松弛模

7、型的物理方程，即： （2-2）具有方程（2-2）所描述的性质的物体成为非松弛物体或Voigt物体。2.3 三元件的粘弹性模型图2.2（c）表示一种很常用的的粘弹性模型，这个模型比前面两个元件模型可以更好地描述材料的复杂变形现象。根据各元件之间的应力应变关系，可以得到三元件模型的物理方程：上式还可以写成： (2-3)式中 n，H和E均为常量，。2.4 四元件模型由松弛模型和非松弛模型串联可以得到四元件模型，见图2.2（d）。在常应力作用下，应变速率趋向于稳定值，在常应变下，应力最终衰减为零。由应力与应变关系推得四元件模型的物理方程，具体推倒如下： (2-4)2.5 其他模型实际问题中，除采用弹性

8、元件和粘性元件，还可采用非线性弹粘性元件或刚塑性元件来组成更复杂的流变模型。如：弹性元件和刚塑性元件串联，得到塑性力学中最常用的理想弹塑性模型；将粘性元件和刚塑性元件并联，得到粘塑性模型。后一模型场用于魔术较高温度下金属和各种浓稠的润滑料的变化规律。2.6 广义流变模型前面所讨论的模型都是一些简单的流变模型，对于某些简单工作下的材料，简单的流变模型就能够较好地描述材料的特性曲线。但对于橡胶、塑料类等高分子材料，为了获得比较合理的结果，必须采用复杂的、多元件的模型，其中经常用到的是广义松弛模型和广义非松弛模型。广义松弛模型是由一个弹性元件和一系列松弛模型并联而成，如图2.3（a）。很容易看出，当

9、t=0时，模型获得单位弹性应变，以后总应变保持不变时，模型中的应力随时间的变化等于各简单模型之和 (2-5)式中 G(t)与单位总应变所对应的应力，称为松弛弹性模量： 松弛时间，进一步，由叠加原理，可以求得其在变应变作用下的物理方程为： （2-6）其中 广义非松弛模型由一个松弛模型和一系列非松弛模型串联而成，如图2.3（b）。当t=0时模型受到单位应力的作用，它的总应变等于各分模型应变之和 （2-7）式中 由单位应力所引起的应变，称为模型的徐变柔量； 延迟时间，。同样的，可以由叠加原理推得其在变应力作用下的物理方程： （2-8）其中 。近年来，高分子材料和复合材料在工程中的大量使用，粘弹性力学

10、获得了很大的发展，已经形成了一门很丰富的学科。2.7 总结松弛模型在卸载后， 弹性应变将立即消失， 而徐变不能恢复；非松弛模型具有延迟弹性的性质；松弛模型不能反映徐变 的回复，非松弛模型不能描述瞬时变形和 材料中存在的应力松弛现象，使用不多。三元件粘弹性模型在常应力作用下徐变速率最终趋于零，且徐变是有限的，所以适用于较低应力作用情况；四元件粘弹性模型在常应力作用下速率不为零，徐变将导致材料和结构的破坏，适用于较高应力作用下的徐变分析。3 徐变方程式3.1 概念前面介绍了用流变模型来建立材料徐变物理方程（徐变方程式）的方法。应用流变模型可以获得材料的应力和变形的各种形式。但是，进一步的研究表明，

11、很多时间材料的性质并不能较满意的流变模型来描述，而采用复杂的多元件模型有牵连到繁重的数学工具。因此，在徐变力学中常常在试验的基础上，通过假设实验理论的方法来建立材料的徐变方程式。徐变体的物理方程与弹性体或塑性体的物理方程之间最大的区别在于前者与时间有关。而且在徐变体中，应力应变与时间之间不是简单的函数关系，而应写成积分或者微分的形式，因为加载历时对于徐变体由极大地影响。徐变物理规律通常分为线性规律和非线性规律两种。同一种材料，在不同的工况下，可能使线性的，也可能是非线性的，如混凝土。下面简单介绍几种徐变方程式的形式。为了更容易的说明各理论的内容，以下讨论均采用单向应力的情况。3.2 老化理论老

12、化理论假设徐变变形与应力、时间之间有某种函数关系，即： （a）式中徐变应变。考虑材料的瞬时变形，总应变将有三个部分组成 (b)式中分别表示瞬时弹性变形和瞬时塑性变形。当应力未超过塑性极限时，=0，总应变为 (c)根据金属在高温和常应力作用下的徐变实验结果，函数可写成为 （d）于是的到总应变： （3-1）（t）当=1时，故等于单位应力作用下的徐变。当m=1时，表示应力与徐变的关系是线性的，否则是非线性的。单位徐变函数的形状如图3.1所示，试验指出，当时间t较小时，接近幂函数 当时间t很大时，接近线性函数。如果时间很长，而且徐变第二阶段的变形很大，以致课略去弹性应变时，可以得到更简单的应变表达式

13、（3-2）式中 B第二阶段的徐变速率上述关系是在常应力作用的情况下获得的，如果将它应用到变应力的情况，可能引起很大的误差。例如在试件上作用一定的力后卸去荷载，按照老化理论，卸载后的任意瞬间徐变为零，这显然与观察到的现象相矛盾。所以老化理论仅能应用到常应力作用或者应力变化非常缓慢的情形。实验证明，在这些情形下，老化理论通常能获得较为合理的结果。当然，因为老化理论方程式所表示的应力、应变和时间之间仅有某种简单的函数关系，用老化理论求解问题在数学处理方面比较简单，所以这个理论在工程计算中仍旧是一种常用的方法。3.3 流动理论流动理论假设材料的徐变与粘滞流动具有某种相似的性质，认为徐变的应变速率与应力

14、、时间之间存在某种简单的关系，即： （a）以表示徐变应变速率、弹性应变速率和塑性应变速率，于是总应变速率表示为 （b）当应力未超过弹性极限时，=0，弹性应变速率为 （c）实验发现，当工作温度不变时，金属材料在缓慢并单调变化的应力作用下，式（a）中的函数可取为 （3-3）可以看出B（t）等于单位应力作用下的徐变速率，而且B（t）=（见图3.1）。将徐变速率与弹性应变速率带入总应变速率，得 （3-4）在上式中，当B（t）为常量切m=1时，即得到Maxwell方程，而且故流动理论方程式是Maxwell方程的普遍形式。当时间很长时，函数B （t）接近于常量B，如果荷载不变且可以忽略微小的弹性变形，则采

15、取下面更简单的流动理论公式 （3-5）这一方程米哦书了物体非线性粘滞流动的性质。流动理论在应用上具有与老化理论像是的限制：在应力为单调而且缓慢变化的情况下，流动理论是适用的；此外在徐变过程的开始应给有较大的应力作用，在实际机器零件的工作中，这些条件常常是能够满足的。3.4 强化理论强化通常是指材料屈服以后抵抗塑性变形的能力随塑性变形的增大而加大的现象，徐变得强化理论就基于类似的概念。设塑性应变为应力为，则存在下面关系 （3-6）式中和都是大于零的增函数。在式（3-6）中，若应力为常量，则当塑性应变增加时，应变速率应减小。研究表明（2-6）中，塑性应变与塑性应变速率应理解为徐变应变与徐变速率，因

16、此可取 K>0，A>0 （3-7）后一式当应力很小时不适用，可以选择另一种形式，例如取为，但是应用这类形式的函数会在求解时带来较大的数学困难。强化理论没有老化理论或流动理论类似的限制，能够描述金属在变应力作用下的徐变性质。但是强化理论的应用涉及较多的数学困难，所以应用不是很普遍。3.5 继效理论1874年Boltzmann首先提出了线性继效理论的物理方程 （3-8）式中 时间t的总应变；时间t的应力；在瞬时作用的应力对时间t的变形的影响函数（继效函数） ，当（t-）增加时，函数值单调减少。K(t)表示试件在常应力=1作用下的应变速率，由此也得到常荷载下用实验来确定继效函数的简单办法

17、。上面研究的线性规律只在平常温度时、应力和变形不过大的情况下才成立。实验表明，当应力达到破坏强度的百分之几十时，变形就开始不与应力成正比了。下面是两种曾被采用的非线性继效方程式 （3-9） （3-10）继效理论可以描述材料复杂的变形现象（如不同的加载方式，卸载后的回复及材料性质随时间变化的性质等等。）因此长期以来，绩效理论的应用时徐变力学工作者的重要研究对象。3.6 徐变方程式的比较前面讨论了四种主要的徐变物理方程，可以看出，老化理论与流动理论的本质是一致的，即认为徐变应变或徐变速率是应力和时间的显函数，其应用的徐变或徐变速率与应力、时间的显函数关系是比较简单的，而利用强化理论规律或继效理论的

18、积分表达式则复杂的多，但两者共同的缺点是：假设各时刻的应变或应变速率仅决定于该时刻的应力，而与加载历史无关。继效理论考虑到加载过程对变形的影响，可以更好的描述材料的实际变形现象。强化理论假设徐变速率、应力和徐变应变间存在着某种函数关系，由于各瞬时的徐变应变与加载过程有关，所以强化理论也间接考虑了加载历史的影响。在常荷载作用下，或者荷载变化缓慢且单调时，多采用近似但较简单的老化理论或流动理论，当荷载剧烈且反复变化时，才考虑用强化理论或继效理论。在下面研究混凝土的徐变时，采用发展的较完善的广义线性继效理论规律。4 混凝土结构的徐变4.1 混凝土的徐变与徐变理论混凝土是工程中最常用的建筑材料之一，说

19、是最常用都不为过。混凝土在长时间荷载的作用下，这种材料可能发生显著的徐变，徐变变形经常到达弹性应变的1-2倍甚至更大。因此按照通常弹性状态计算的结构的变形和盈利自只代表荷载开始作用时的情况，为了了解结构在整个工作时期的变形和应力，必须考虑材料的徐变性能。混凝土与其他材料最大的区别在于混凝土的力学性质（包括徐变性质在内）与材料的龄期有关。所以在建立混凝土的徐变理论时，应该考虑材料龄期的影响。本部分只讨论较成熟的混凝土线性徐变理论，即假设在同一时刻所用的应力所引起的各相同时刻的徐变值与应力的大小成正比。实验结果也证明，这种假设是基本成立的。下面讨论简单常应力下混凝土的徐变规律。在荷载作用的瞬间，我

20、们假设材料处于弹性状态，相应的变形为瞬时弹性变形。若荷载继续存在，则产生徐变，徐变与加载时的龄期和荷载作用的时间有关。以t便是材料的龄期，在龄期时对等截面直杆作用单位正应力（），经过时间t作用以后，其总应变为 （4-1）式中 瞬时弹性模量徐变度，即单位应力引起的时刻t的徐变。显然=0，即在加载的瞬间，徐变为零。见图4.1图4.1实验发现，随着龄期的增长，徐变度的增长速率是逐渐减小的，而且在中等水平的应力作用下，随着时间t的增长，徐变度将趋于某稳定值，如图4.1所示。根据上述性质，可以对混凝土的徐变度采用下述描述式： （4-2）式中 与龄期有关的减函数，表示材料的老化规律，通常取=； 继效函数，

21、反映材料徐变得继效性。根据试验资料，不同作者曾提出过各种继效函数的表达式，其中最常见的是下面四种：1. 双曲线形= （4-3）2. 对数型= （4-4）3. 幂函数型= （4-5）4. 指数型=1- （4-6）上面讨论了 常应力作用下混凝土的徐变表达式。将常应力下的徐变规律推广到变应力作用下的情况，还有一定的困难。为了给出合理的徐变方程式，必须能够正确的估计徐变得回复量。根据解决这个问题的方法不同，目前主要用两种理论：弹性徐变理论和老化理论。下面对着两种方法逐一介绍。4.1.1 弹性徐变理论这个理论假设在不同龄期下，加荷的曲线可以叠加。根据这个假设，可以将单位正应力作用下的应变规律（4-1）推

22、广到变应力的情况。设在时刻起，作用了变应力，由式（4-1）和叠加原理，可得到总应变为 （4-7）对上式右端第二项作分部积分，并与第一项合并，可得 （4-8）式（4-11）所表示的徐变方程式是著名的混凝土徐变体理论的基础。令 式（4-11）可改写为 （4-9）上式与前面的继效方程相似，但积分函数K（t，）具有比K（t-）更为一般的形式，故可称为广义继效方程。4.1.2 老化理论老化理论假设在不同的龄期下，加荷的单位徐变曲线的斜率（徐变速率）相等。由此只要有一条较早龄期下加荷的徐变曲线，就能够作出以后各龄期的徐变曲线。老化理论可写成西面更简单的形式 （4-10）式中 C（t）是与初始加荷时刻对应的

23、单位徐变，C()是时刻加载到时刻的徐变。已知徐边度，可以求得单位应力下的总应变为 （4-11） 故在时刻起作用了变力，其总应变将为 （4-12）对上式右端用分部积分法简化，可得 （4-13）令 （4-14） 则式（4-14）可简写成 （4-15）可见，老化理论的积分函数K（）与线性继效方程和广义继效方程的积分函数相比，其形式是最简单的。该理论仅适用于常荷载或者荷载变化单调而且非常缓慢的情况。除了上面介绍的弹性徐变理论和老化理论外，还有所谓弹性老化理论、继效流动理论等等，在这里不再多作介绍。总结上面讨论的结果，我们一般可以用K（t，）来概括上述各混凝土线性徐变理论的积分函数，即以广义继效方程（4

24、-12）来同一各理论的徐变规律。接下来将以广义继效理论为基础来建立混凝土线性徐变理论的基本方程式，并用来验证线性徐变理论的基本定理。4.2 线性徐变力学的基本方程式徐变力学属于连续介质力学的一个分支，徐变力学的基本方程式也包括平衡方程、几何方程和物理方程三个方面。除了物理方程外，其他方程的形式和弹性力学是类同的。在导出复杂应力状态下混凝土的线性物理方程时，通常作如下三个假设：1） 混凝土时各向同性的均质材料；2） 徐变变形的泊松比与弹性变形的泊松比相等，且为常量；3） 徐变变形符合叠加原理。根据上述假设，可得到复杂应力状态下的物理方程 （4-16）式中S（t）=，而是材料的泊松比。除了上述物理

25、方程外，还有平衡方程（不计惯性力） （4-17）几何方程 （4-18）应力边界条件式中 l，m，n为物体表面法线的方向余弦。和位移边界条件为了推导线性徐变力学的基本定理，下面给出用位移表示的基本方程。 （4-19）式中 体积应变，； ,均可以与时间有关。面力改写成 （4-20）4.3 线性徐变力学的基本定理及其应用根据前面建立的基本方程式，可以得到线性徐变力学的两个基本定理。由于推导过程过于复杂，在这里只给出结论。4.3.1 线性徐变力学第一定理线性徐变力学第一定理：受刚固约束的线性徐变体，在比例荷载作用下，其应力与相同条件下的弹性瞬时应力相等；其位移与弹性瞬时位移有如下简单比例关系关系： （4-21）式中 时间函数。 （4-22）称为比例加荷函数。如果体力和面力是在瞬间同时施加的一组常荷载，则=1。应用叠加定理，可以将第一定理推广到非比例荷载情况，这时结构的位移是若干比例荷载因此的叠加，而结构的应力仍等于总的弹性瞬时应力。4.3.2 线性徐变力学第二定理受刚固约束的线性徐变体，当体力和面力为零时，由于边界的强迫位移或物体的体积变化（如温度应变或者材料干缩等）而引起的位移与相同条件下的弹性瞬