大学物理质点动力学

1、第2章 质点动力学21 牛顿运动定律 一、牛顿第一定律任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体所作用的力迫使它改变这种状态为止。二、牛顿第二定律 物体所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比，方向与合外力的方向相同。表示为 说明: 物体同时受几个力的作用时，合力等于这些力的矢量和。 力的叠加原理 在直角坐标系中，牛顿方程可写成分量式 ，。 在圆周运动中，牛顿方程沿切向和法向的分量式 动量：物体质量与运动速度的乘积，用表示。 动量是矢量，方向与速度方向相同。 由于质量是衡量，引入动量后，牛顿方程可写成 当时，常量，即物体的动量大小和方向均不改变。此结论成为质点动量守

2、恒定律。三、牛顿第三定律：物体间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，且在同一直线上。说明：作用力和反作用力是属于同一性质的力。四、国际单位制 量纲基本量与基本单位导出量与导出单位 五、常见的力 力是物体之间的相互作用。力的基本类型：引力相互作用、电磁相互作用和核力相互作用。 按力的性质来分，常见的力可分为引力、弹性力和摩擦力。 六、牛顿运动定律的应用 用牛顿运动定律解题时一般可分为以下几个步骤：（1） 隔离物体，受力分析。（2） 建立坐标，列方程。（3） 求解方程。（4） 当力是变力时，用牛顿第二定律得微分方程形式求解。例题例2-1如下图所示，在倾角为30°的光滑斜面（固定于水平面

3、）上有两物体通过滑轮相连，已知kg，kg，且滑轮和绳子的质量可忽略，试求每一物体的加速度及绳子的张力（重力加速度g取9.80m·s）。解 分别取和为研究对象，受力分析如上图。利用牛顿第二定律列方程： 绳子张力 代入数据解方程组得加速度m·s，张力N。例2-2 如图所示，长度为的柔软细绳一端固定于天花板上的0点，另一端拴一个质量为的小球。先使绳保持水平，小球静止，然后小球自由下落。求小球的速率和绳的张力。 0 解：牛顿方程的切向和法向分量式 （切向） （法向）把牛顿方程的切向分量式两边分别乘以和，即··约去得 对上式积分，注意角度从0增大到的同时，速率从0

4、增大到，有 ， 得小球的速率为 代入牛顿方程的法向分量式，得绳的张力 可看出,当时，即小球运动到最低点时绳子的张力最大。例2-3 质量为的小球在水中由静止开始下沉，设水对小球的粘滞阻力与其运动速率成正比，即，其中k为比例常数，水对小球的浮力为B,求小球在水中任一时刻的沉降速度（设t =0时，=0）。 B m P y解、小球受重力P、粘滞力及水的浮力B的作用，取竖直向下为坐标轴正方向。如图所示，根据牛顿第二定律得 即 或 两边取定积分 得 由此求得：当时， -小球的终极速度，匀速下降。 22 动量和动量守恒定律 一、质点和质点系的动量定理1冲量和质点动量变化定理l 冲量：力的时间累积，即力对时间

5、的积分，称为力的冲量。 l 质点动量变化定理根据牛顿第二定律，上式可写为 表明，在时间内质点所受合力的冲量，等于在这段时间内质点动量的增量。将上式从到对时间积分，得 表明，质点在一段时间内所受合力的冲量，等于在这段时间内质点动量的增量。称为质点动量变化定理。l 应用质点动量变化定理的实例在一些过程中（如碰撞），作用力随时间急剧变化，引入平均力的概念。 例 质量为kg的重锤，从高度m处自由落下，打击被锻压的工件后弹起的高度m。设作用时间s，求重锤对工件的平均冲击力。解：设竖直向上为正方向。重锤与工件刚接触时的速度，等于从m处自由落下的末速度。 重锤与工件作用s后，弹起的速度等于竖直上抛m高度的初

6、速度。 y 以代表在时间内工件对 重锤的平均反冲力，按动量变化定理 重锤 0 工件 重锤对工件的平均冲力N2质点系的动量定理由若干个相互作用的质点组成的系统，称为质点系。l 内力与外力 · · 0 内力：质点系内各质点之间的作用力叫内力。图中和就是一对内力。根据牛顿第三定律，由于它们大小相等方向相反，所以。由于内力总是成对出现，所以质点系内所有内力的矢量和一定等于零。即 这是内力一个重要性质。 外力：质点系以外的物体或场（如重力场）对系统内质点的作用力，叫做外力。 外=l 质点系的动量质点系内所有质点的动量的矢量和称为该质点系的动量，用来表示。 l 质点系中外力与动量的关系

7、根据牛顿第二定律 又 外= 外= l 质点系动量变化定理把上式写成 外 并从到对时间积分，得外=系统所受合外力的冲量等于系统动量的增量-质点系动量变化定理说明：内力可以改变质点系内各质点的动量，但对系统的总动量没有影响。例2-6 如图，一辆拉煤车以速率m·s从煤斗下面通过，每秒钟落入车厢内的煤为500kg。若使车厢的速率不变，应用多大的牵引力拉车厢（忽略车厢与轨道之间的摩擦力）？ 煤斗 x解：用代表在时刻已落入车厢内的煤和车厢的总质量。经过时间又有质量为的煤落入车厢中。取和作为质点系。取车厢行驶的方向作为正方向。系统在时刻的动量为 系统在时刻的动量为 在时间内系统动量的增量 按照质点

8、系动量变化定理，注意到车厢速率不变，有 把m·s和kg·s代入上式得： N 二、动量守恒定律 若质点系所受外力为零，外=0，则 ， 常矢量表明在惯性系中，当质点系不受外力作用或所受外力合力等于零时，质点系的动量大小和方向都保持不变动量守恒定律。应用动量守恒定律时要注意：（1）合外力是指系统所受外力的矢量和。（2）若合外力的矢量和不为零，但外力沿某一方向的分量为零，则该方向上质点系的动量守恒。（3）在诸如碰撞、爆炸等问题中，由于冲击力很大、作用时间很短，此时一般的外力（如重力）可以忽略。（4）动量守恒定律是自然界最重要、最普遍的定律之一 ，不仅适用于宏观物体，也适用于原子、分

9、子、光子等微观粒子间的相互作用。例 如图，一颗质量为的子弹以速度沿水平方向射入一个用细绳悬挂的质量为的物体，并留在物体中。设子弹从射入物体到停在其中的时间极短，求子弹刚停在物体中时的速度。解：取子弹和物体为质点系。系统不受外力作用，系统在水平 方向上动量守恒。 M V设子弹刚停在物体内时的速 X度为V。水平向右为坐标轴正向。 ， 当时， 23 功、机械能和机械能守恒定律 一、功和功率 1功初中时功的计算： 恒力的方向与物体运动方向相同。 高中时功的计算： 恒力与物体运动方向成夹角。 （1）功的定义：作用于物体的力在物体位移方向上的分量与该位移的乘积称为功。（2）元功：作用在质点上的力一般与质点

10、的位置有关（如抛体运动中，质点所受的重力与质点的位置）。 在质点作无穷小位移（元位移） y的过程中，可以认为力的大小和方向 ·都不发生变化。 把和的标量积称为力对质点 做的元功，用表示 0 x (3)功的计算： 式中为切向分量，是与对应的路程。 2功率 力在单位时间内所做的功，称为功率。 平均功率：瞬时功率：当时，平均功率的极限值即为t时刻的瞬时功率，简称功率。即由于 。上式可写为瞬时功率等于力在速度方向的投影和速度大小的乘积，或说瞬时功率等于力矢量与速度矢量的标积。3常见力的功 Y 重力的功 d 质量为的物体在地球 a 表面附近（重力加速度g不 c 变）从a经c 运动到b，重 b

11、力对物体所做的元功 0 X 物体从acb，重力的功 若物体从adb,重力的功仍然是上述结果。可见，重力的功与路径无关只与始末位置有关。 弹力的功弹性系数为k的轻质弹簧水平放置， 一端固定，一端系一小球，以平衡位置为 O a b原点。小球在任一位置受到弹力 对位移的元功为 小球从位置a运动到b，弹力的功为 结论：弹力的功只与始末位置有关，与路径无关。 保守力某些力（重力、弹力、万有引力、静电力、分子力等），他们对物体做的功与路径无关，只由物体的始末位置所决定。若物体沿任一闭合路径运动一周，这些力做功为零，这类力称为保守力。摩擦力等做的功与路径有关，称为非保守力或耗散力。 二、动能和质点的动能定理

12、1动能和质点动能定理l 质点的动能表达式：l 质点的动能定理若把看成是作用在质点上的合力，则牛顿方程的切向分量式为 由于 所以有 用代表动能，则有 即合力对质点所做的功等于质点动能的增量，称为质点动能变化定理。说明：（1）功与动能增量密切相关。外力对物体做正功，物体动能增大；外力对物体做负功，物体动能减小；外力对物体不做功，物体动能不变。（2）功是过程量，动能是状态量。无论通过什么过程做功，只要始末两状态一定，动能增量与该过程的功一定相等。（3）动能与功有相同的单位，即焦耳（J）。但这是两个不同的物理量。（4）凡是用动能变化定理能解决的问题，原则上用牛顿第二定律也能解决，但涉及位置与速率关系方

13、面的问题，通常用动能变化定理比较简便。例2-12 用动能变化定理解例题2-2中小球的速率。解：小球下落过程中，绳子的张力垂直于小球的运动方向，因此不做功。而重力做功。 根据动能变化定理 有 的小球的速率 三、质点系动能变化定理对第i各质点应用动能变化定理 式中和分别代表质点的末状态和初状态的动能。是合力做的功，它等于外力和内力对质点做功之和。即 外内对质点编号i并求和，得 外内所有外力和所有内力对整个质点系所做的功之和，等于系统总动能的增量。称为质点系动能变化定理。说明：在质点系中，内力的矢量和等于零，但它们作用在不同的质点上，各质点的位移可能不同，因此内力做功之和可以不为零。四、势能 保守力

14、做的功与路径无关，意味着保守力的功只由系统的始、末状态决定。引入势能（）的概念，系统在始、末状态的势能的差值表达了保守力所做的功。并定义：保守力所做的功，等于系统势能的减少。 保内 1. 引力和引力势能质量分别为和的两个质点，作用在上的引力为 式中为到的单位矢量。 r x引力做功与路径无关，只与质点的始末位置有关。因此引力是保守力。与引力对应的势能是引力势能，引力势能为 引力势能属于质点和所组成的系统。两质点相距无限远处为零势能点。2. 重力和重力势能重力是物体在地面附近受到地球的引力。重力是保守力。与重力对应的势能是重力势能，重力势能就是地面附近的物体和地球的引力势能 重力势能属于物体和地球

15、组成的系统所有。通常取地面为零势能点。3. 弹性力和弹性势能 x 0 上图所示，小球由移动到的过程中，弹性力对它做了功。设弹簧的劲度系数为k，小球在任一位置时，弹性力为。小球由移动到的过程中，弹性力对它做的功 可见，弹性力的功与弹簧伸长的路径无关，只决定于弹簧的始、末伸长量，因此弹性力是保守力。 与弹性力对应的势能是弹性势能。 把弹簧处于自然长度定为零势能点。五、功能原理 机械能守恒定律若质点系在运动过程中只有保守内力做功，而外力和非保守内力的功等于零。则有 常量表明：在只有保守内力做功的过程中，质点系的机械能保持不变。这就是机械能守恒定律。 例 用机械能守恒定律重解例2-2。解：在小球下落过

16、程中，绳的张力不做功，只有重力做功。重力是保守力，因此机械能守恒。取O点为零势能点。根据机械能守恒定律，有 小球的速率 24 质点的角动量和角动量守恒定律矢量乘法：1点乘：乘号用一个点表示，两个矢量点乘结果为一个标量，称为标量积。如： 和为矢量， C为标量。C的量值： 为方向与方向之间的夹角。 在点乘中，有乘法交换率，如 2叉乘：乘号用“×”来表示，两个矢量叉乘结果为一个矢量，称为矢量积。 如： 、和均为矢量。 的量值： 为方向与方向之间的夹角。 的方向：按右螺旋法则判定。 在叉乘中，没有乘法交换率；而有：若 则有 =一、质点的角动量 0 如上图，某质点质量为，相对于0点的位置矢量为

17、，动量为。 将质点的位置矢量和动量矢量积，定义为质点对于0点的角动量。 角动量的大小为 角动量的方向：当180°时，按右螺旋法则判定。 角动量又叫动量矩。 如果质点绕0点做圆周运动，按角动量定义，质点对0点的角动量方向垂直于圆周平面，大小 为： 0 其中为圆周运动的角速度。 注意：在定义一个质点的角动量时，必须明确指出是对哪个点而言。 二、质点角动量变化定理 惯性系中，牛顿第二定律： 用质点对于0点的位置矢量叉乘上式两边得： 因与同方向，所以，上式可写成 矢量积称为力对0点的力矩，用表示，有 上式即为 力矩的方向用右螺旋法则判定，其大小为 为与小于180°的夹角。若= 0，

18、则= 0，= 常矢量表明：在惯性系中当质点不受力，或对某一固定点所受合力矩为零时，这个质点对该固定点的角动量的大小和方向都保持不变叫角动量守恒定理。 例2-17 证明关于行星运动的开普勒第二定律：行星相对太阳的位置矢量在相等时间内扫过相等的面积。 太阳 行星 行星在引力作用下，绕太阳运动。设行星位置矢量为在时间内扫过的面积为。由于太阳作用在行星上的引力对太阳的力矩为零，所以行星对太阳的角动量的大小和方向都不变。角动量的方向不变行星沿平面运动轨道运动，而且轨道平面的方位不变；角动量的大小不变是指 常量其中，代入上式，得 常量 即行星的位置矢量在相等的时间内扫过的面积相等。 三、质点系角动量变化定律和角动量守恒定律 1质点系的角动量 · · 0 质点系的角动量：质点内所有质点对某一点的角动量矢量和。 为质心系的角动量 2质点系角动量变化定理 外 = 质点系角动量变化定理：质点系对惯性系中任一固定点的角动量对时间的变化率，等于这个质点系所受对该固定点的合外力矩。 3角动量守恒定律 若外 = 0，则= 0，= 常量 角动量守恒定律：在惯性系中当质点不受外力作用，或对某一固定点所受合外力矩等于零时，这个质点系对该固定点的