3.2.1直线的方向向量与平面的法向量

1、海头中学数学组集体备课纸备课时间20192019 年 1111 月 1010 日课题课题：直线的方向向量与平面的法向量教学目标教学目标：1 1.理解直线的方向向量和平面的法向量；2 2 会用待定系数法求平面的法向量过程与方法：通过对方向向量和法向量的探究。感知应用方向向量和法向量解 决问题的方法，通过转化思想，数形结合思想和逻辑推理的数学方法情感态度与价值观：感受方向量和法向量在数学中的重要作用，体会向量与现 实世界的联系教学重点直线的方向向量和平面的法向量教学难点求平面的法向量教学过程教师活动教 学内 容学生活动一条直线的方 向向量有无数 个且它们共 线。一个平面的法 向量有无数个 且它们共

2、线一、创设情景1 1、 平面坐标系中直线的倾斜角及斜率，直线的方向向量， 直线平行与垂直的判定；2 2、 如何用向量描述空间的两条直线、直线和平面、平面和平面的位置关系？二、建构数学1 1、直线的方向向量我们把直线 l l 上的向量e以及与e共线的向量叫做直线 1 1 的方向向量2 2、 平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面a，则称 这个向量垂直于平面a，记作n丄a，如果n丄a，那么 向量n叫做平面a的法向量。注：1若丨丄a，则称直线丨为平面a的法线；2平面的法向量就是法线的方向向量。3给定平面的法向量及平面上一点的坐标，可以确定一个平面。给定直线的方 向向量及直线 上一点的

3、坐 标，可以确定 一条直线（类 似于平面中直 线方程的点斜 式）教师活动学生活动分析：眼证明一个向量是平面的法向量，就是证明这个向量所在的直线与平面垂直即可。例 1 1 在正方体ABCD AB.GU中，求证：DB1是平面ACD1的法向量。提问学生 回顾以前证明 线面垂直是怎 么证明的，线 面垂直的判定 定理以及面面 垂直的判定定 理通过例 1 1 讲解 求平面的法向 量的待定系数 法。并要求学 生掌握这种方 法。证：设正方体棱长为 1 1,以DA,DC, DD1为单位正交基底， 建立如图所示空间坐标系Dxyz阪阪= =（1,1,1），AC =（i,i,o），AD； = =（1,0,1）- *1

4、- -HA/DBIAC = 0,所以DBi丄丄AC同理DB；丄丄AD；所以DB； _平面 ACDACD 从而DB；是平面ACD；的法向量。3 3、在空间求平面的法向量的方法：（1 1）直接法：找一条与平面垂直的直线，求该直线的方向向量。（2 2）待定系数法：建立空间直接坐标系41设平面的法向量为n = （x, y, z）42在平面内找两个不共线的向量（x!, ynZj）和I（x2,y2,Z2）In a = 03建立方程组：屮b = 04解方程组，取其中的一组解即可。例如：在例 1 1 中，可以设平面ACD1的法向量为n =(x, y, z)，则n _ AC, n _ AQ4 T 4 H即n A

5、C =0,nAD0掌握在空间中求 平面的法向量的 方法：待定系数 法，并注意在用 待定系数法求法 向量时要先建立 空间直接坐标系。教师活动教 学内 容学生活动总结：空间中因为 話=(i,i,o), ADJ=(i,o,i)一x + v= 0v = x所以*y，即cx + z = 0z = x取x=1，贝Uy = z = x=14所以，n = (1,1,1)就是平面ACDj的一个法向量。例 2 2 在空间直角坐标系内，设平面a经过点P(Xo,y,Zo),平面a的法向量为e = (A,B,C),M (x, y, z)为平面ot内任意一点，求x, y,z满足的关系式。解：由题意可得PM =(xx0,

6、y - y0, z - z0)平面的方程是掌握空间中平面三元一次方e，PM =0的方程与平面中程，与平面中即(A, B,C)，(x-Xo,y-yo,z-Zo)=O直线的方程的联直线的方程类系与区别。似。化简得A(x xo) +B(y yo) +C(z zo) =o三、课堂练习1 1、已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果TTTAB=(2,-1,4),AD=(4,2,o),AP = (-1,2, -1)(1)求证：AP是平面ABCD的法向量；(2)求平行四边形ABCD的面积.掌握证明一个向 量是平面的法向让学生回答平T T量的方法，并会行四边形面积(1 1)证明： AP AB=(1,2

7、,1) (2,1,4)=。,用平面的法向量公式T T与直线的方向向AP，AD=(1,2, 1)，(4,2,o)=o/.AP丄AB,量解决有关问AP丄AD，又AB D AD = A,AP丄平面ABCD,题。 AP是平面ABCD的法向量.(2 2)J(2)2+(1)2+(4)2= 721,|AD|= J42+22+o2=2亦,教师活动教 学内 容学生活动教师讲解思 路，让学生书 写过程。 AB A = ) (4,2,0) = 6, cosAB启 K63両,阿汉2药105sin/BAD=卜善离，SABCDI IAB | | AD | sin Z BAD = 8/6.2 2、课本第 8686 页练习 1 1, 2 2四、回顾总结1 1、直线得方向向量与平面法向量得概念；2 2、 求平面法向量得方法五、布置作业掌握利用空间向 量的有关知识解 决问题的方法。学生板演课堂练 习板书设计课题1 1、直线的方向向量2 2、 平面的法向量例 1 1例