圆的有关概念及性质

1、圆的有关概念及性质【基础知识回顾】一、 圆的定义及性质：1、 圆的定义： 形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫 线段OA叫做 描述性定义：圆是到定点的距离等于 的点的集合2、弦与弧： 弦：连接圆上任意两点的 叫做弦 弧：圆上任意两点间的 叫做弧，弧可分为 、 、 三类 3、圆的对称性： 轴对称性：圆是轴对称图形，有 条对称轴， 的直线都是它的对称轴 中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是 【提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的 半径决定圆的 2、直径是圆中 的弦，弦不一定是直径；3、圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转

2、 性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】二、 垂径定理及推论： 1、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的 。 2、推论：平分弦（ ）的直径 ，并且平分弦所对的 。【提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：过圆心垂直于弦平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注意解题过程中的灵活运用 2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的 线（即弦心距）。3、垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心d和弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。】三、圆心角、弧、弦之间的关系： 1、圆心角定义：顶点在 的角叫做圆心角 2、定理：在 中，两个圆心角、两条弧、两条弦

3、中有一组量 它们所对应的其余各组量也分别 【提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、 圆周角定理及其推论： 1、圆周角定义：顶点在 并且两边都和圆 的角叫圆周角 2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角 都等于这条弧所对的圆心角的 推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角 那么它们所对的弧 推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是 ，900的圆周角所对的弦是 【提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有 个，是 类，它们的关系是 ，2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】五、 圆内接四边形： 定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做

4、，这个圆叫做 。性质：圆内接四边形的对角 。【重点考点例析】考点一：垂径定理例1（2015舟山）如图，O的半径OD弦AB于点C，连结AO并延长交O于点E，连结EC若AB=8，CD=2，则EC的长为（）A2B8C2D2对应训练1（2015南宁）如图，AB是O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，BAC=BOD，则O的半径为（）A4B5C4D3考点二：圆周角定理例2 （2015自贡）如图，在平面直角坐标系中，A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则A的半径为（）A3B4C5D8对应训练2（2015珠海）如图，ABCD的顶点A、B、D在O上，顶点C

5、在O的直径BE上，ADC=54°，连接AE，则AEB的度数为（）A36°B46°C27°D63°7（2015威海）如图，CD为O的直径，CDAB，垂足为点F，AOBC，垂足为点E，AO=1（1）求C的大小；（2）求阴影部分的面积练习：1（2015张家界）如图，O的直径AB与弦CD垂直，且BAC=40°，则BOD= 80°2（2015盐城）如图，将O沿弦AB折叠，使经过圆心O，则OAB= 30°3（2015绥化）如图，在O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若O的半径为2，则弦AB的长为 4（2015株洲）如图AB

6、是O的直径，BAC=42°，点D是弦AC的中点，则DOC的度数是 48度5（2015广州）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），P的半径为，则点P的坐标为 （3，2）三、解答题1 （2016·山东潍坊）正方形ABCD内接于O，如图所示，在劣弧上取一点E，连接DE、BE，过点D作DFBE交O于点F，连接BF、AF，且AF与DE相交于点G，求证：（1）四边形EBFD是矩形；（2）DG=BE2、（2015浙江省台州市，第22题）如图，四边形ABCD内接于O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC（1）若CBD=39

7、°，求BAD的度数（2）求证：1=23、是O的一条弦，垂足为，交O于点，点在O上（1）若，求的度数；EBDCAO（2）若，求的长4（2015贵阳）已知：如图，AB是O的弦，O的半径为10，OE、OF分别交AB于点E、F，OF的延长线交O于点D，且AE=BF，EOF=60°（1）求证：OEF是等边三角形；（2）当AE=OE时，求阴影部分的面积（结果保留根号和）22（2015黔西南州）如图，AB是O的直径，弦CDAB与点E，点P在O上，1=C，（1）求证：CBPD；（2）若BC=3，sinP= ，求O的直径知识点2：点和圆的位置关系如设O的半径为r，点P到圆的距离为d， 则有：

8、点P在圆外 d _ r点P在圆上 d _ r点P在圆内 d _ r经过一点P可以作_个圆；经过两点P、Q可以作_个圆，圆心在_上；经过不在同一直线上的三个点可以作_个圆，圆心是_的交点直角三角形的外心是_的中点，锐角三角形外心在三角形的_，钝角三角形外心在三角的_经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的_圆外接圆的圆心是三角形三条边_线的交点，这个点叫做这个三角形的_1、例1 （1）已知O的直径为10cm，有一点P到圆心O的距离为3cm，求点P与圆有何位置关系？（2）若有一点M到某圆的最大距离为8cm，最小距离为2cm，求这个圆的半径3、不在同一条直线上的三个点确定一个圆经过三角形三个顶点可以画个圆，并且只能画个叫做三角形的外接圆叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的三角形的外心就是的交点，它到的距离相等4、例2某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示为复制该瓷盘要确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆