二次函数的最值问题

1、典型中考题（有关二次函数的最值）屠园实验 周前猛一、选择题1 已知二次函数y=a（x-1）2+b有最小值 1，则a与b之间的大小关( )A. a<b B.a=b C a>b D不能确定答案：C2当2xl时，二次函数 y=-（x-m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）A、-   B、  C、  D或-  答案：C当2xl时，二次函数 y=-（x-m）2+m2+1有最大值4，二次函数在2xl上可能的取值是x=2或x=1或x=m.当x=2时，由 y=-（x-m）2+m2+1解得m= -  

2、 ，此时，它在2xl的最大值是   ，与题意不符.当x=1时，由y=-（x-m）2+m2+1解得m=2，此时y=-（x-2）2+5，它在2xl的最大值是4，与题意相符.当x= m时，由 4=-（x-m）2+m2+1解得m=，当m=此时y=-（x+）2+4.它在2xl的最大值是4，与题意相符；当m=，y=-（x-）2+4它在2xl在x=1处取得，最大值小于4，与题意不符.综上所述，实数m的值为.故选C 3 已知0x，那么函数y=-2x2+8x-6的最大值是（ ）A -10.5 B.2 C . -2.5 D. -6答案：C解：y=-2x2+8x-6=-2（x-2）2+2该抛物线

3、的对称轴是x=2，且在x2上y随x的增大而增大又0x ，当x=  时，y取最大值，y最大=-2（  -2）2+2=-2.5故选：C4、已知关于x的函数.下列结论：存在函数，其图像经过（1,0）点；函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数。真确的个数是（ ）A,1个 B、2个 C 3个 D、4个答案：B分析：将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断；首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；根据二次函数的增减性，即可作出判

4、断；当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k0时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断.解：真，将（1，0）代入可得：2k-（4k+1）-k+1=0，解得：k=0运用方程思想；假，反例：k=0时，只有两个交点运用举反例的方法；假，如k=1， ，当x1时，先减后增；运用举反例的方法；真，当k=0时，函数无最大、最小值；k0时，y最=，当k0时，有最小值，最小值为负；当k0时，有最大值，最大值为正运用分类讨论思想二、填空题：1、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PND

5、M的面积最大值是 答案：122、已知直角三角形两直角边的和等于8，两直角边各为 时，这个直角三角形的面积最大，最大面积是 答案：4、4，8解：设直角三角形得一直角边为x，则，另一边长为8-x；设其面积为S.S= x·(8-x)(0<x<8).配方得  S=- (x2-8x)         =- (x-4)2+8当x=4时，S最大=8.及两直角边长都为4时，此直角三角形的面积最大，最大面积为8.3、函数的最大值与最小值分别是 答案：2,0 解：最小值为0，当4x-

6、x2取最大值时最大，即x=2时，最大为4，所以，当x=0时，y最大值为2，当x=2时，y取最小值为04、已知二次函数y=x2+2x+a （0x1）的最大值是3，那么a的值为 答案：0解：二次函数y=x2+2x+a对称轴为x=-1，当0x1时y随x的增大而增大，当x=1时最大值为3，代入y=x2+2x+a得a=0.5、如图，在ABC中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB、AC上分别取点D、E，使线段DE将ABC分成面积相等的两部分，则这样线段的最小长度 三、解答题：1某产品第一季度每件成本为元，第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率为 请用含的代数式表示第二季度每件产品的成本； 如果

7、第三季度该产品每件成本比第一季度少元，试求的值 该产品第二季度每件的销售价为元，第三季度每件的销售价比第二季度有所下降，若下降的百分率与第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率相同，且第三季度每件产品的销售价不低于元，设第三季度每件产品获得的利润为元，试求与的函数关系式，并利用函数图象与性质求的最大值（注：利润销售价成本）解：（1） 解得 （3）解得而， 而 当时，利用二次函数的增减性，随的增大而增大，而，当时，最大值18（元）说明：当自变量取值范围为体体实数时，二次函数在抛物线顶点取得最值，而当自变量取值范围为某一区间时，二次函数的最值应注意下列两种情形：若抛物线顶点在该区间内，顶点的纵坐

8、标就是函数的最值。若抛物线的顶点不在该区间内，则区间两端点所对应的二次函数的值为该函数的最值。2、如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.求二次函数的解析式；在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；在抛物线上是否存在点Q，使QAB与ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由解：（1）设二次函数的解析式为：y=a（xh）2+k顶点C的横坐标为4，且过点（0，）y=a（x4）2+k，=16a+k又对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6A（1，0），B（7，0）0=9a+k由解得a=，k=

9、二次函数的解析式为：y=（x4）2（2）点A、B关于直线x=4对称PA=PBPA+PD=PB+PDDB当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值DB与对称轴的交点即为所求点P设直线x=4与x轴交于点MPMOD，BPM=BDO，又PBM=DBOBPMBDO点P的坐标为（4，）（3）由（1）知点C（4，），又AM=3，在RtAMC中，cotACM=，ACM=60°，AC=BC，ACB=120°当点Q在x轴上方时，过Q作QNx轴于N如果AB=BQ，由ABCABQ有BQ=6，ABQ=120°，则QBN=60°QN=3，BN=3，ON=10，此时点Q（10，），如果

10、AB=AQ，由对称性知Q（2，）当点Q在x轴下方时，QAB就是ACB， 此时点Q的坐标是（4，），经检验，点（10，）与（2，）都在抛物线上综上所述，存在这样的点Q，使QABABC点Q的坐标为（10，）或（2，）或（4，） 3、如图，抛物线经过三点 （1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标解：（1）该抛物线过点C（0，-2），可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx-2，将A（4，0），

11、B（1，0）代入，得， 解得， 此抛物线的解析式为； （2）存在， 如图，设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为 ，当1m4时，AM=4-m，COA=PMA=90°， 当时，APMACO，即4-m=2 ， 解得m1=2，m2=4（舍去），P（2，1）；当时，APMCAO，即，解得m1=4，m2=5（均不合题意，舍去），当1m4时，P（2，1），类似地可求出当m>4时，P（5，-2），当m<1时，P（-3，-14），综上所述，符合条件的点P为（2，1）或（5，-2）或（-3，-14）； （3）如图，设D点的横坐标为t（0t4），则D点的纵坐标为，过D作y 轴的平行线交AC于E

12、，由题意可求得直线AC的解析式为， E点的坐标为， 当t=2时，DAC的面积最大， D（2，1）。4如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，线段EF在对角线AC上，EGAD，FHBC，垂足分别是G，H，且EG+FH=EF（1）求线段EF的长；（2）设EG=x，AGE与CFH的面积和为S，写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出S的最小值5如图，点C是线段AB上的任意一点(C点不与A、B点重合)，分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N(1)求证：MNAB；(2)若AB的长为l0cm，当点C在线段AB上移动

13、时，是否存在这样的一点C，使线段MN的长度最长?若存在，请确定C点的位置并求出MN的长；若不存在，请说明理由（1）由题中条件可得ACEDCB，进而得出ACMDCN，即CM=CN，MCN是等边三角形，即可得出结论；（2）可先假设其存在，设AC=x，MN=y，进而由平行线分线段成比例即可得出结论解答（1）证明：ACD与BCE是等边三角形，AC=CD，CE=BC，ACE=BCD，在ACE与DCB中，AC=CDACE=BCDCE=BCACEDCB（SAS），CAE=BDC，在ACM与DCN中，CAE=BDCAC=CDACM=DCNACMDCN，CM=CN，又MCN=180°-60°

14、-60°=60°，MCN是等边三角形，MNC=NCB=60°即MNAB；（2）解：假设符合条件的点C存在，设AC=x，MN=y，6、如图，在中，°，, 的面积为，点为边上的任意一点(不与、重合)，过点作，交于点设以为折线将翻折，所得的与梯形重叠部分的面积记为y.（1）用x表示ADE的面积;（2）求出时y与x的函数关系式；（3）求出时y与x的函数关系式；（4）当取何值时，的值最大？最大值是多少？解:(1) DEBC ADE=B,AED=C ADEABC 即 (2)BC=10 BC边所对的三角形的中位线长为5当0 时 （3）10时，点A'落在三角形的

15、外部,其重叠部分为梯形SA'DE=SADE= DE边上的高AH=AH'=由已知求得AF=5A'F=AA'-AF=x-5由A'MNA'DE知（4）在函数中0x5 当x=5时y最大为： 在函数中当时y最大为：当时，y最大为： 7、如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与Y轴交于C点，ABOCDEMXY且A（1，0）。（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标（2）判断的形状，证明你的结论。（3）点（m，0）是轴上的一个动点，当+的值最小时，求m的值解：（1）将A（1，0）代入得，所以抛物线的解析式配方得：，所以顶点D（2）求出AC=，BC=，而AB=5，故为RT

16、 （3）作点C关于X轴的对称点E（，0），连接DE交X轴于点M，通过两点式可求得直线DE的解析式：，当=0时，解得=（，0）即m=8如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PCx轴于点D，交抛物线于点C（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求PAC为直角三角形时点P的坐标分析：（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的

17、值 （2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值（3）当PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解解：（1）B（4，m）在直线线y=x+2上，m=4+2=6，B（4，6），A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，=（）2 a+b+6， 6=16a+4b+6解得a=2，b=-8抛物线的解析式为y=2x2-8x+6（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2-8n+6），PC=（n+2）-（2n2-8n+6），=-2n2+9n-4，=-2（n-）2+，PC0，当n=时，线段PC最大且为（3）PAC为直角三角形，i）若点P为直角顶点，则APC=90°由题意易知，PCy轴，APC=45°，因此这种情形不存在；ii）若点A为直角顶点，则PAC=90°如答图3-1，过点A（，）作ANx轴于点N，则ON=，AN=过点A作AM直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，AMN为等腰直角三角形，MN=AN=，OM=ON+MN=+=3，M（3，0）设直线AM的解析式为：y=kx+b，则：k+b= ，3k+b=0，解得