动载荷作用梁动态响应分析

1、毕业论文题 目 动载荷作用梁动态响应分析专 业 工程力学 班 级 力学081 学 生 郝忠文 指导教师 何钦象教授 2012 年专 业：工程力学学 生：郝忠文指导教师：何钦象 摘要在机构动力学中讨论的强迫振动问题，一 般是以结构在位置固定的周期性挠动力作用下的强迫振动问题为对象。本文中，用主振型叠加法，分析了简支欧拉梁在移动载荷作用下的动态响应特性。当广义挠动频率的固有频率相等则放生共振。研究桥梁在移动车辆载荷下的强迫振动，也要分析其共振条件。所不同的是由于载荷是移动的，且车辆载荷本身也是带有质量的振动体系，桥梁和载荷耦合系统的动力特征随荷载位置的移动而不断变化。经研究发现，在移动荷载作用下，

2、桥梁将发生振动，产生的变形比载荷静止不动时产生的变形大。若荷载处于最不利的静力作用位置的同时满足共振条件，那么将会发生较大的动态响应，导致桥梁的破坏。而且，当荷载移动速率为一定值，广义挠动频率接近梁的固有频率时，梁也可能发生共振，其最大动挠度比静载荷作用时最大挠度的数倍。移动车辆载荷的这种动力效应是不容忽视。关键字：动载荷，动态响应 ，广义挠动频率ABSTRACTThe forced vibration problem discussed in the mechanism dynamics generally focus on the forced vibration that caused

3、by the force which stationarily act on the mecha- nism regularly.In this paper,using principal mode superposition method,the dyna -mic response of simply supported Euler beam acted by moving loads is analysed. Wh -en the frequency of generalized stimulating force equals its natural frequency,the re

4、-sonance happens.It is different that the load moves.The dynamic response of the sys- tem formed by the load and beam differs with the position of moving load. According to the research,the deflection caused by the moving load is larger than that caused by stable load.When the moving load is at the

5、vital position meanwhile meets the res -onance requirement,the beam will resonate thus leading to damage .And when the speed of the moving load reaches the point that the generalized stimulating frequency meets the natural frequency of beam，it may also cause resonance,the biggest def -lection will r

6、eaches several times the deflection caused by the stable load。So the dyn -amic effect of the moving load can not be neglected. KEY WORDS: moving load ,dynamic response,generlized stimulating frequencySpeciality： Engineering mechanicsStudent: HaozhongwenAdvisor: Heqinxiang目录1 前言11.1研究背景及研究意义11.2 研究现状

7、11.3 本文研究内容22.简支梁的挠曲线微分方程32.1 研究的几个理论假设32.2 简支梁挠曲线微分方程的推导32.3 时间广义坐标满足的微分方程的推导53.梁动态响应的解析解93.1单一载荷作用时梁的动态响应93.2两个载荷作用时梁的动态响应114简支梁动态响应分析134.1 一个载荷作用梁的动挠度响应134.2 不同模型所得结果对比184.3 动、静载荷作用下梁动态响应的对比194.4 梁共振分析205 结论205 致谢21参考文献221 前言1.1研究背景及研究意义移动载荷作用下梁的动力学问题在工程实践中较为常见，例如列车桥梁系统的振动，导轨的振动，火炮后座等。早期的理论模型仅仅研究

8、集中力作用下等截面梁的动态响应，研究者多采用振型叠加法或积分变换的方法获得解析解，将解析解与实验结果对比，得出移动载荷相对于梁的质量较小时可以忽略移动载荷惯性力对梁动态响应影响的结论。长期以来，这一结论在工程领域被广泛接受。随着机械系统高速重载的发展趋势，工程上大速度和大质量的移动载荷作用在梁上的问题越来越多，这就要求模型中不能忽略移动载荷惯性力的影响。现有研究表明，通过描述这一问题的时变系数方程很难得到解析解，多数情况下必须通过有限元方法获得数值解 。1.2 研究现状移动载荷广泛地应用于“车辆桥梁”系统、塔吊 和起重机等系统的研究中，移动载荷是对车辆载荷和重物的简化模型。2000年，韩景泉、

9、王鑫对简支梁在动载荷作用下竖向动挠度进行了理论计算研究，对简支梁在匀速常量力和匀速脉冲力的作用下，应用结构动力学理论,对梁的动力响应给出了近似解答1。2002年，肖新标,、沈火明研究了移动荷载速度对简支梁动态响应的影响。在移动荷载作用下桥梁运动方程的基础上,采用Newmark法,考虑移动荷载质量、速度和桥梁高阶固有频率的影响,对移动荷载作用下简支梁的动态响应进行了研究。对桥梁在荷载速度从40 200km/h连续变化的情况下的动力系数进行计算分析。结果表明:最大动挠度都发生在跨中位置附近, 移动荷载作用下的挠度曲线是以一定的频率围绕静挠度线的一种类正弦波2。2006年伍星,、蒲黔辉进行了简支梁动

10、载试验，以四川资阳九曲河桥为例, 介绍了预应力混凝土空心板简支梁桥动载试验的方案设计、测试及分析方法, 为以后同类桥梁检测及试验提供一定经验3。2006年，吴国荣基于动刚度方法与常规有限元方法提出了一种计算梁动力响应的新方法 单元插值形函数是由梁的自由振动方程导出的称为精确形函数 应用哈密顿原理推出振动控制方程 利用傅立叶展开定理求解梁的动力响应数值模拟结果与常规有限元方法进行了比较结果表明了新方法的有效性。结合动刚度方法与有限元方法的优点提出一种计算梁动力响应的新方法。首先，类似于动刚度方法由梁的自由振动微分方程出发导出精确插值形函数再和有限元方法一样导出梁的振动控制方程最后应用傅立叶展开定

11、理对振动方程进行求解从而克服了质量矩阵与刚度矩阵中含有振动频率给直接求解所带来的困难 数值算例表明了本文方法的有效性。分别就悬臂梁与简支梁进行了数值模拟计算并和常规有限元方法作了比较结果表明：该方法由于采用了能够满足振动方程的精确形函数只离散为 个单元就可以达到常规有限元方法采用2个单元相同的精度4. 2010年，王少钦等人对简支梁桥在变速移动载荷下，梁桥的动力及共振进行了分析5。2008年，曹长勇等人研究了加速移动的载荷作用下梁的动态响应6。另外， Timoshenk（季莫申科）研究了动载荷作用梁的振动7。吕鹏明等人在2005年研究了在弹性基础上有动载荷作用的无限梁及有限梁的动态响应8。邓和

12、孙研究了粘弹性基础上无限梁在动载荷作用下的动态响应9. A. Ga- rinei研究了在谐波移动载荷作用下简支梁类型桥梁的振动。主要研究了承载有告诉行驶的火车的铁路桥，这种模型可以代表绝大多数振动自然现象10。Fryba利用积分变换特殊拉普拉斯变换分析研究了建筑物在移动载荷作用下的振动11。N. Azizi、 M.M. Saadatpour、 M. Mahzoon等人应用特殊单元法分析了承受动载荷的连续梁和桥的动态响应12。1.3 本文研究内容在何钦象教授和莫宵依、黎民安副教授等力学系老师的建议指导下，选取了动载荷作用下的简支梁为研究对象，本人又通过查阅大量的相关文献，开始了本文的研究课题。主

13、要研究内容有： 基于材料力学13-14及振动力学理论15推导出简支梁在动载荷作用下的挠曲线微分方程。 在离散系统的动态响应分析中，我们利用主振型的正交性使微分方程解耦，从而使多自由度系统的动态响应分析可以转化为多个单自由度系统的模态响应问题。在求得各模态响应后，再进行叠加，就可以得到原系统的响应。本文中，用主振型叠加法，分析了简支欧拉梁在移动载荷作用下的动态响应特性。 结合实际中的模型分析梁的动态响应特性。 在和所得数据的基础上利用matlab进行曲线拟合，得到了预期的结果。2.简支梁的挠曲线微分方程2.1 研究的几个理论假设假定所研究的梁为均质等截面梁，梁具有纵向对称面，所受的外力也在此对称

14、面内，梁在此平面内做弯曲振动；另外假定梁的长度与截面高度之比大于10。根据材料力学中“简支梁理论”，忽略剪切变形和转动惯量的影响，这种梁称作欧拉-伯努利梁。梁上的各点的运动只需考虑横向位移。而且，在计算过程中，忽略载荷的惯性力。2.2 简支梁挠曲线微分方程的推导设有弯曲刚度为，质量分布密度为的梁，载荷作用在梁上。建立如图1的坐标系。x在梁上距左端x处取微元段，在任意时刻t，此处微元段的横向位移可用由其受力情况可得方程忽略转动惯量的影响各力对右截面上任意一点的矩之和应为零。即满足方程略去二阶微量，有由材料力学知识可知，弯矩与挠曲线的关系为将（3）和（4）式代入（1），得 2.3 时间广义坐标满足

15、的微分方程的推导 在离散系统的动态响应分析中，我们利用主振型的正交性使微分方程解耦，从而使多自由度系统的动态响应分析可以转化为多个单自由度系统的模态响应问题。在求得各模态响应后，再进行叠加，就可以得到原系统的响应。本文中，用主振型叠加法，求解梁的动态响应。由分离变量法，描述梁振动函数分解为空间函数及时间函数的乘积，即方程的解可表示为振型函数的无穷级数其中为系统的广义坐标（相当于多自由度系统中的主坐标）。 简支梁振型函数及边界条件 梁的各阶振型函数满足方程：以及相应的边界条件。对于基本函数也满足方程：简支梁的振型函数为： 简支梁的一、二、三阶振型函数由拉格朗日方程推导出广义坐标满足的运动微分方程

16、系统动能的表达式。梁上各点的速度可表示为所以，系统的动能可表示为其中称为广义坐标的广义质量系统势能表达式。只考虑梁的弯曲势能，梁上各截面的弯矩M(x)可表示为：则梁的弯曲势能可表示为：其中为对应于广义坐标的广义刚度：且满足：然后求系统广义力。梁的虚位移可表示为梁的载荷在上述虚位移上所做虚功为式中定义了广义力为将动能、势能以及广义力代入拉格朗日方程可得广义坐标满足的运动微分方程其中 梁的初始条件及边界条件为3.梁动态响应的解析解3.1单一载荷作用时梁的动态响应将汽车简化为单一载荷的模型，即忽略汽车前后轮之间的距离，将汽车对梁的作用简化为对桥梁某一点的作用。假设载荷在梁上以一定速度v匀速移动，则其

17、中delta函数满足。设，方程（12）可变为微分方程的特征方程为由于由于，所以特征方程的一对共轭复根为：所以对应齐次方程通解为带入对应的齐次线性微分方程得经整理得对应系数等于零得经整理得解得由于不为特征方程的根，所以方程特解可设为将方程特解代入方程得对应系数相等并结合初始条件得解得所以方程的通解为 梁的总位移为各阶振动的模态的叠加，即3.2两个载荷作用时梁的动态响应 将汽车简化为两个集中载荷的模型。假设汽车前后轮距离为d。并假设前后轮所受力大小相等。如图2 2由（10）式得同理，将（15）式代入（12）得广义坐标满足的微分方程同理，其对应的齐次微分方程的通解为对（16）式进行三角函数和角公式变

18、换得其中同理，由于不为特征方程的根，所以方程特解可设为（19）将方程特解代入方程得对应系数相等并结合初始条件得解得结合（17）式、（19）式，可得微分方程的通解 梁的总位移为4简支梁动态响应分析在分析计算中主要考虑一阶响应，有分析表明二阶以上响应占振动的1%，所以在实际计算中可以忽略不计也可取得较高精度。有研究表明无论移动荷载速度是多少, 整个桥梁的最大挠度都发生在跨中位置。这说明移动荷载的激振效果只对桥梁一阶频率起显著作用, 高阶成分的影响不明显。对于简支梁，最大挠度必然在其中点处，对桥梁最大挠度的研究只要对跨中最大挠度规律分析即可。4.1 一个载荷作用梁的动挠度响应 以某桥梁为例，其横截面

19、形状及具体尺寸如下：其中桥梁材料为c20钢筋混凝土，密度为2700kg/m3，经计算得其横截面积为1.7m2，抗弯刚度EI=1.464*1010pa*m4，梁上移动载荷p=100000N。由matlab进行仿真模拟可得到梁中点处的动挠度随时间的变化规律。Matlab 代码：clear;clcv=30;pi=3.1415;p=100000;m=4800;l=30;EI=1.464*10.10;w=(pi./l).2*sqrt(EI./m)ou=(pi*v)./l;s=ou./wkx=0.02;wd=w*sqrt(1-kx.2);t=0:0.01:10;q=2*p./(m*l*w.2)./(1-s

20、.2).2+(2*kx*s).2)*(1-s.2)*sin(ou*t)-2*kx*s*cos(w*t)+s*exp(0-kx*w*t).*(2*kx*cos(wd*t)-(1-s.2-2*kx.2)./sqrt(1-kx.2)*sin(wd*t);plot(t,q,'r');f=max(q)hold onFig1载荷速度在1055变化时中点处的挠度变化规律 图中， 黑v=10蓝v=20绿v=30青v=40黄v=50红v=55，当载荷移动速率在1540m/s间变化时桥梁中点处的最大动挠度随着速度的增加而增加。由图表中观察可知，载荷速度在3080变化时梁中点处的挠度随着速度的增大而

21、增大。Fig2载荷速度在6085变化时中点处的挠度变化规律图中，蓝v=60绿v=65青v=70黄v=75红v=80黑v=85，从图表中观察发现，载荷速度在4575m/s变化时中点处动挠度随着载荷移动速度的增加先增大再减小，并且在速度为65m/s时达到最大。Fig3载荷速度在80100之间变化梁中点处挠度变化规律图中，黑v=80蓝v=85绿v=90青v=95红v=100，载荷速度在80100之间变化时，梁中点处的动挠度随着速度的增加而减小。从以上图表中可发现：简支梁在移动荷载作用下，梁跨中的位移值最大，跨中位移峰值相对于速度峰值有一个滞后效应。梁跨中最大动挠度并不是发生在移动荷载位于跨中时，而是

22、发生在移动荷载经过跨中位置的前后时刻。如当载荷以v=80m/s时，梁的动挠度最大值发生在t=4.5s时刻，而此时，载荷已经经过了中点。v102030405055606570ymax0.01310.0150.0180.0200.0310.0480.0950.1070.099S=/w0.31360.4180.5230.6280.7320.8360.9410.9931.046v75808590100110120ymax0.04960.0300.0230.0180.0130.0120.010S=/w1.15001.2551.3591.4641.5681.6731.777 Tab 1 速度在10120m

23、/s之间变化时最大动挠度及s值的变化Fig4图表为速度在15100m/s之间变化时梁中点最大挠度的变化趋势从图中分析可知，当载荷速度为65时梁中点最大挠度大于速度为10及100时的最大挠度。当速度为65时，即，当载荷作用频率接近梁的固有频率时，梁发生共振。由此可知梁的“临界速度”为65m/s.，这与A-Garinei在2005年所作实验得到相似的结果。4.2 不同模型所得结果对比同样，以相同的固有频率和抗弯刚度，长为30m的梁为例，梁上移动载荷p1=p/2=50000N，载荷间距d=2.5m即将汽车所受重力简化为两个有一定距离的集中载荷，分析其动态响应。当载荷以v=70m/s的速度在梁上移动时

24、梁中点处的最大动挠度为，而而当将汽车模型简化为一个集中载荷时，梁中点处的最大动挠度为，所以，将汽车简化为一个集中载荷计算分析时有一定的误差。v102030405055606570Y2max0.0100.0130.0140.0150.0230.0710.0800.0740.066v758090100110120ymax0.0370.0170.0140.0100.0090.008Tab 2 速度在10100m/s之间变化时最大动挠度的变化Fig5图表为速度在10100m/s之间变化时梁中点最大挠度的变化趋势，红线为单一载荷作用下梁中点最大挠度的变化趋势，蓝线线为两个载荷作用下梁中点最大挠度的变化趋

25、势。 从图中分析可知当梁上作用两个载荷时梁中点最大挠度与单一载荷作用时具有类似的变化趋势，但是，达到共振的载荷速度略小于单一载荷作用时达到共振所需的速度。当桥梁上作用有两个同为p=100000N的移动载荷时桥梁动载荷时，桥梁最大动挠度为梁上作用有两个p=50000N时的2倍。4.3 动、静载荷作用下梁动态响应的对比有研究发现，在移动荷载作用下，桥梁将发生振动，产生的变形和应力都比载荷静止不动时大。移动车辆载荷的这种动力效应是不可忽视的，若在荷载处于最不利的静力作用位置的同时满足共振条件，那么将会发生较大的动态响应，导致桥梁的破坏。现在，我们以长度L=30m，抗弯刚度EI=1.464*1010的

26、简支梁为例，在以速度v=65m/s运动的集中载荷作用下梁中点处的最大动挠度y（动），在同样大小的静载荷（p=100000N）作用下梁中点处的挠度y（静），经计算分析得，由此可见，在分析计算中移动载荷的这种动响应影响是十分显著的。4.4 梁共振分析 在本文中所给数据分析中，我们知道，该桥梁在单一移动载荷以速度为v=65m/s时将发生共振。但是，在实际生活中，这一现象很难出现，因为在实际生活中，车辆等移动载荷一般情况下很难达到65m/s（234km/h）如此高的速度。而且，在现实工程中，桥梁一般都采用工字梁、箱式梁等特殊形状梁16，桥梁的抗弯刚度将大大增加，桥梁的固有频率将大大提高，移动载荷需要更

27、高的速度才能使广义挠动频率接近桥梁的固有频率。所以，在单一移动荷载作用下，桥梁很难达到共振条件。5 结论基于材料力学及振动力学理论推导出简支梁在动载荷作用下的挠曲线微分方程。在离散系统的动态响应分析中，我们利用主振型的正交性使微分方程解耦，从而使多自由度系统的动态响应分析可以转化为多个单自由度系统的模态响应问题。在求得各模态响应后，再进行叠加，就可以得到原系统的响应。用主振型叠加法，分析了简支欧拉梁在移动载荷作用下的动态响应特性。利用matlab结合实际中的模型分析梁的动态响应进行曲线拟合，得到了预期的结果。1）简支梁在移动荷载作用下，梁跨中的横向位移值最大，跨中位移峰值相对于速度峰值有一个滞

28、后效应。梁跨中最大动挠度并不是发生在移动荷载位于跨中时，而是发生在移动荷载经过跨中位置的前后时刻。2)匀速移动常量集中力作用下，简支梁跨中最大动挠度并非是随着移动常量集中力速度的提高而简单地增大。而应该是类似正弦曲线一样变化。3)移动荷载对简支梁跨中动位移最大值相对于静力作用下的静位移值存在着放大效应，考虑移动速度和激振频率，动力放大系数可达到数倍。4）在桥梁设计中不仅要考虑常力对桥梁变形的影响，同时也要把移动载荷对产生的变形考虑在内，移动荷载产生的动力效应不容忽视。6 致谢在何钦象教授和黎民安副教授等力学系老师的悉心指导下完成了我的本次毕设论文。何钦象教授作为我的指导老师，从论文选题、理论分

29、析、matlab软件数据处理，到本文的完成定稿，他付出了很大心血。他们严谨细致、一丝不苟的作风一直是我学习的榜样；他们循循善诱的教导和对学科前沿的理解把握给予了我无尽启迪。在此还要感谢系里的何钦象教授，王忠民教授，曹小杉教授，黎明安老师，刘协会老师，汤安民老师，李会侠老师，马凯老师，解敏老师等力学系老师在这四年里对我的栽培与教导，虽然我一直是一个学习不好的学生，但是，各位老师仍然没有放弃我，一直支持我完成这四年的学业，没有他们的关怀就没有我这四年的成长。参考文献1韩景泉，王鑫，吴建东.简支梁在动载荷作用下竖向动挠度的计算理论研究J森林工程.2000（01）2肖新彪，沈火明移动荷载对简支梁动态响

30、应的影响.西南交通大学学报. 第37卷 增刊2002（11）3伍星，蒲黔辉，简支梁桥动载实验研究J工程结构2003.(10)5吴国荣，一种求解梁动力响应的新方法 振动与冲击 第25卷第4期：20-265王少钦，夏禾，郭薇薇，等变速移动荷载作用下简支梁桥的动力响应及共振分析J振动与冲击，2010，29(2)：26-30.6 Changyong Cao, Wing Gun Wong, Dynamic Response of Rigid Pavements due to Moving Vehicle Load with Acceleration International Journal of Engineering Science 24 (2007) 7257347 TimoshenkoS,Young DH.Vibration problem