全国百强校北京四中 人教B版必修五解三角形 教学建议稿

1、解三角形（北京四中）一新课标内容【课时安排】（8课时）建议：正弦定理（2课时）、余弦定理（2课时）、综合应用（3课时）、探究活动（1课时）【内容标准】（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。【教学提示】解三角形的教学要重视正弦定理和余弦定理在探索三角形边角关系中的作用，引导学生认识它们是解决测量问题的一种方法，不必在恒等变形上进行过于繁琐的训练二教学建议1注重过程教学中不要急于导出两个定理，从而陷入做题之中，还是要注重知识形成的过程，要知其然，也要知

2、其所以然，在过程中得到对方法的掌握。我们在初中学过解直角三角形的有关知识：在直角三角形中，除直角外共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，就是解直角三角形我们还是以直角三角形入手看看其中的规律可否扩展到任意三角形（特殊到一般，猜想与证明）？如图：中，角、的对应边为、，则有：，（，这个规律显然不能推广到斜三角形）即：，由此得到：。斜三角形中上式是否成立呢？下面我们有不同的方法来验证一下。坐标法：以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，经过、作、，则，则，四边形是平行四边形，即：。同理可得：，。向量法：三角形（锐角三角形举例）中，过作与向量垂直的单位

3、向量，与的夹角为，与的夹角为。根据向量加法的三角形法则有：，两边同取与向量的数量积，有，即：，则有：，即：，即：，同理可得，几何法：三角形（锐角三角形举例）中，经过作于，则，即，同理可得。新教材中三角形（锐角三角形举例）中，经过作于，三角形的面积为，则：，同理得到，得到：；在这种方法中，我们可以得到另一个三角形的面积公式：我们仍然可以借助直角三角形得到正弦定理的比值，即正弦定理完整的表示为：（其中是三角形外接圆的直径）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：（） 已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角；（） 已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边。利用正弦定理一定要知道一组对边、角

4、（比值），由此另外的情况可引出余弦定理已知：中，及角，求：角的对应边。坐标法：以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，即：向量法（新教材中）：三角形中，即：（）（注意：推倒（）中，与的夹角应通过平移后得到，即向量的起点应重合，因此与的夹角应为，而不是。钝角三角形情况与锐角三角形相同。对于直角三角形中时，则，恰好满足勾股定理。）几何法：如图：做中边上的高，根据勾股定理有：中，即: 。由上述两种方法得到上式对任意三角形都成立，从而得到以下定理：余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即：解决了已知三角形的两条边及夹角，求第三条边的问题，第二个

5、问题：“已知三角形的三条边，求其三个角”，不难看出，由上式变形可得：因此利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：（） 已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；（） 已知三角形的三条边，求其三个角。2培养能力习惯上，我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素，已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形我们也可以开放性的引导学生，需要已知几个元素才能够得到其他元素？一个元素（角、边）？两个元素（两个角、两条边、一角一边）？三个元素（三个角、三条边、两角一边、两边一角）？与初中两个三角形全等的条件是否一致？SSS，SAS，ASA等等。由此引出正弦定理、余弦定理内容及适用的范围。例

6、1中，求：角及边。解：利用正弦定理：，BCA此时出现了问题，即：，这样角是不存在的，则此题无解。分析原因：如图，过作与，此时，即点到的最小距离都大于，则满足，的三角形不存在。显然：当，时，这样的三角形只有一个； 当，时，这样的三角形有两个； 当，时，这样的三角形又只有一个。例2锐角中，若，则的取值范围是_。解：根据正弦定理：，为锐角三角形，3强化思考要求学生多问问自己几个“为什么”，这种自问是提高能力的一种办法。例3（2019年北京卷（理）在中，（）求的值； （）求边的值解：（），在中，由正弦定理得，故；（）由（）知，所以，又因为，所以，所以. 在中，由正弦定理，4关注联系ABCD遇到已经学过

7、的知识，要及时的反复，加深学生的印象。例4已知：圆内接四边形的边长分别为，求：四边形的面积。例5已知：中，试判断的形状。（等腰或直角三角形）例6已知：中，角、，对应边、，求证：。（正弦、余弦、几何）三应用与探究解三角形本身就可以看做三角函数的应用，因此，还是应该从实际应用出发，课本本身也是有台风的变化、船只的追击等等问题入手，从引出正弦定理、余弦定理的推导，最后应该回到实际问题上。秦九韶的“三斜求积术”你听说过“三斜求积术”吗？这是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长a，b，c求三角形面积，即“三斜求积术”中的“三斜”指三角形的三条边，而且三条边从小到大分别称为

8、“小斜”“中斜”“大斜”秦九韶是用语言叙述的相关公式，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积事实上，利用余弦定理等内容，也可推导出“三斜求积术”，过程如下，利用余弦定理，则，从而可知即：的面积（其中）可要求学生完成测量不可达两点之间的距离，作为研究性学习的报告。四高考的情况（14北京理）如图，在中，点在边上，且，（）求；（）求的长（15北京理）12在中，则 1（16北京理）已知：中，（）求 的大小；（）求的最大值（17北京理）已知：中，（）求的值； （）若，求的面积（17浙江）中，若点为延长线上一点，连结，则的面积是_，_,（16上海理）已知的三边长分别为3、5、7，则该三角形的外接圆半径等于_（15湖北理）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶米后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度_米附录：得到不可达两点之间的距离活动记录表活动开始时间：_（1）成员与分