函数的映射、图像及解析式

1、映射 引入：初中所学的对应1）、对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的一点P和它对应；2）、对于坐标平面内的任何一个点A，都有唯一的一个有序实数对（x,y）和它对应；在集合的基础之上重点研究两个集合元素与元素之间的一种特殊的对应映射。【预习导引】1、 关于映射，下列说法错误的是 （ ）A A集合中的每个元素在B集合中都存在元素与之对应；B “在B集合中存在唯一元素和A集合中元素对应”即A中的元素不能对应B集合中一个以上的元素；C A集合中可以有两个或两个以上的元素对应B集合中的一个元素；D B集合中不可以有元素不被A集合中的元素所对应；2、 判断下列对应是否为A集合到B集合的映射和一一映射？（1

2、）；（2）；（3）；（4） 1）、引例：观察以下几个集合间的对应，讨论特征 A B A B 1 2 3 41 9 4 13-32-21-1取倒数 开平方 一对多 一对一 BAA B 1-1 2-2 0 120 1 2 3 123456 取绝对值 乘以2 多对一 一对一 A B A B 3 -3 2 -2 1 -1941 每人领自己 高 一 （9） 班 同 学高 一 （9） 班 学生证的学生证 平方 多对一 一对一 定义1：一般地，设、是两个集合，若按照某种对应法则f，对于集合中的任何一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应叫做集合到集合的映射，记作f：AB。（这种具有对应关系的元

3、素也有自己的名称，引出象与原象的概念。）定义2：给定一个映射f：AB，且aA,bB，若元素a与元素b对应，则b叫做a的象，而a叫做b的原象。（以具体说明谁是谁的象，谁是谁的原象）。2、映射定义剖析：1）、映射是由三部分构成的一个整体：集合A、集合B、对应法则f，这一点从映射的符号表示f：AB可看出，其中集合A、B可以是数集、点集或其他集合，可以是有限集也可以是无限集，但不能是空集。（用引例说明）2）、映射f：AB是一种特殊的对应，它要求A中的任何一个元素在B中都有象，并且象唯一，即元素与元素之间的对应必须是“任一对唯一”，不能是“一对多”。如：引例中不是映射。又如：设A=0、1、2，B=0、1

4、、，对应法则f：取倒数，可记为f:x,因A中0无象，所以不是映射。3）、映射f：AB中，A中不同的元素允许有相同的象，即可以“多对一”，如。4）、映射f：AB中，不要求B中每一个元素都有原象，如。即若映射f：AB的象集为C，则CB。5）、映射是有顺序的，即映射f：AB与f：BA的含义不同。3、概念的初步应用1）、例1、设集合A=a,b,c, B=x,y,z,从集合A到集合B的对应方式如下图所示，其中，哪几个对应关系是从集合A到集合B的映射？ A B A B A Babcxyzabcxyzabcxyz A B A Babcxyzabcxyz 注：判断两个集合的对应关系是否为映射，关键在于抓住“任

5、意”“唯一”这两个关键词，一般性结论是：一对一，多对一是映射。例2：判断下列对应是否是从集合A到集合B的映射、A=R，B=x|x0 且xR,f：xy=|x| 、A=N，B=N，f：xy=|x-1| A=x|x0 且xR，B=R，f：xy=x2 注：映射是两个集合之间的一种特殊的对应关系，它要求集合A中任意一个元素x，都可以运用对应法则f实施运算，运算产生的结果y一定在集合B中，且唯一确定。1、 对 应映 射 、映射与对应的关系如图所示 【随堂反馈】1、 下列从集合A到集合B的对应中为映射的是 （ ）A、B、C、D、2、 已知集合不表示P到Q的映射的是（ ）A、 B、 C、 D、【课后检测】1、

6、 在给定的映射的条件下，点的原象是 （ ）A、 B、或 C、 D、2、映射定义域A到值域B上的函数，下列结论正确的是（ ）A、A中每个元素必有象，但B中元素不一定由原象；B、B中元素必有原象，C、B中元素只有一个原象;D、A或B可以空集或不是数集；3、给定映射4、已知从A到B的映射是从到的映射_课后作业11.选择题(1)下列对应不是A到B的映射是( )A.Axx0，yy0，f:xyx2B.Axx0或x0，B，f:xyx0C.A2,3,B4,9，f:xy(y是x的整数倍)D.A，BR，f:xy2x(以上xA，yB)(2)若(x,y)在映射f下的象是(x-y,x+y)，则在f的作用下象 (1，-3

7、)的原象( )A.(4，-1)B.(-1，-2)C.(-1，-1)D.(4，-2)(3)在映射f:AB中，下列说法中不正确的说法为( )集合B中的任一元素，在集合A中至少有一个元素与它相对应；集合B中至少存在一元素在集合A中无原象；集合B中可能有元素在集合A中无原象；集合B中可能有元素在集合A中的原象不至一个.A.B.C.D.(4)设A是坐标平面上所有点所组成的集合，如果由A到它自身的一一映射f，(x,y)(y-1，x+2)，那么象(3，-4)的原象是( )A.(-5，5)B.(4，-6)C.(2，-2)D.(-6，4)(5)在下列对应中，是A到B的映射的有m个，一一映射的有n个.AxxN，B

8、-1,1，对应法则f:x(-1)x；AxxR，ByyR+，对应法则f:xyx；AxxN，ByyR，对应法则f:xy；Axx2，Byy2，对应法则f:xy-x2+2x+2；AxxR，ByyR，对应法则f:xy.则m、n的值分别为( )A.2、0B.2、1C.3、1D.3、2(6)下图表示的是从集合X到集合Y的对应，其中能构成映射的是( )2.填空题(1)从集合A1，2到Ba,b的映射f个数为 ，一一映射个数为 .(2)已知映射f:(x,y)（x-y,x+y），则(-2，10)的原象是 .(3)从集合A1,2,3到Ba,b,c的一一映射f的个数为 .(4)设A到B的映射为f1：xu3x-2，B到C

9、的映射为f2：uyu2-4，则A到C的映射f3是 .3.解答题已知AR，Byy2，f:xyx2+x+.f:AB是不是从集合A到集合B的映射?是否是一一映射?若f:AB不是A到B的一一映射，如何改变条件，能使其成为一一映射?课后作业21.记集合A(x,y)x+y2，x0，y0，x,yZ，B0,1,2，从A 到B的对应关系f:(x,y)x+y，试问f是不是从A到B的映射，为什么?2.集合A，B是平面直角坐标系上的两个点集，给定从AB的映射f:(x,y)(x2+y2,xy)，求象(5，2)的原象.3.已知集合A到集合B0，1，2，3的映射f:x，则集合A中的元素最多有几个?写出元素最多时的集合A.4

10、.在本埠投寄平信，每封信不超过20g时付邮费0.80元，超过20g而不超过40g付邮费1.60元，依次类推，每增加20g须增加邮费0.80元(信的质量在100g以内).如果某人所寄一封信的质量为72.5g，那么他应付邮费 .函数的图像1、函数的图象：将自变量的一个值作为，相应的函数值作为，就得到坐标平面上的一个点，当自变量取遍时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合（点集）为，即，所有这些点组成的图形就是函数的图象。2、回顾初中学习过的函数，完成下列表格填写：函数一 次函 数二 次 函 数反比例函数a0a0；(4) 当x取何值时，y0)的图象，讨论下列不等式的解集（用区间表示）：（1）a

11、x2+bx+c0 (a0)； （2）ax2+bx+c0)三、实战演习1下列各对函数中,图象完全相同的是 ( ) A 。y=x 与 y= B。 y= 与 y=x0 Cy=( ) 与y=|x| D。 y= 与 y= 2设M=x|0x2，N=y|0y2 给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（ ）.yxy0xy0xy0x01 2211 22 2211 22131 221222(A) (B) (C) (D)3某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程。在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图四个图形中较符合该生走法的是（ ）.tdOtd

12、OtdOtdO A B C D -2 -1 O 1 2 3 4 y x123454已知函数，则( )不能确定大小5已知二次函数，若，则的值 是（ ） （A）正数 （B）负数 （C）零 （D）符号与a有关6如图，已知函数的图象关于直线对称，则满足不等式的实数的取值范围是7.根据函数，可以知道， ， (横线上填“”或“”符号)8设的值域为-1，4，则a= ；b= 。9作出下列函数的图象：. . .10作出函数y=的图象，并说明该函数图象与的图象之间的关系。11求函数的值域.12设表示中的较小者，求函数的最大值.函数的表示方法 1、函数的三种表示方法1）、用来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法

13、，这个通常叫做函数的，简称。2）、用来表示两个变量之间函数关系的方法称为列举法。3）、用表示两个变量之量的函数关系的方法称为图象法。2各种表示法的优点表示方法优点列举法解析法图象法3、分段函数的概念在定义域内上，有的函数通常叫做分段函数。二、探究新知1、下表列出的是2006年全国普通高等学校招生全国统一考试（全国卷1）数学9理工类）选择题参考答案：题号123456789101112答案CCBDADCBCBBD这个表格表示的是函数关系吗？为什么？2、已知f(x)是一次函数，且ff(x)=4x-1，能否由此求出f(x)的解析式？三、知识应用举例例1根据条件，分别求出的表达式。（1）；（2）；（3）

14、，其中为一次函数；（4）。例2、画出下列函数图象，并求其值域。（1）（2）。例3（1）若求（2）设的定义域为，对任意求函数的最小值的解析式四、实战演习1下列函数表示同一个函数的是 ( )ABCD2一个面积为100的等腰梯形,上底长为,下底长为上底长的3倍,则它的高与的函数关系式是 ( )A. B.11-1-1xyC. D.3 已知函数f(x)=,则复合函数 fff(-1)的值等于 ( ) A x2 +1 B +1 C D 05设函数,则 6已知函数且则7已知一次函数满足则函数的解析式为 .8、已知函数的图象如图所示，则它的一个解析式是_。9某地长途电话分钟的电话费为元，其中是大于或等于的最小正

15、整数，按此规定，分钟的话费是 10、已知的值域为，则其定义域可以是_.(只需填出正确的一个即可)11（1）已知二次函数满足条4、已知函数，则其值域为_。12、已知，若则11、已知，则12、（1）已知，试求函数的表达式.（2）、已知求的值.13已知，且求的值。14、已知 ，画出它的图象，并结合图象指出时的取值集合。15、ABC为等腰直角三角形，腰长为1，B为直角顶点，动点P从点A开始，沿ABCA运动，求PA的长与点P所走路程的函数关系式，并求的值。函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例1 设是一次函数，且，求解： 二、 配凑法：已知

16、复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。 例2 已知 ，求 的解析式解：三、换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。例3 已知，求解：四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例4已知：函数的图象关于点对称，求的解析式解： 五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。例5 设求解例6 设为偶函数，为奇函数，又试求的解析式解 六、赋值法：当题中所给变

17、量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。 例7 已知：，对于任意实数x、y，等式恒成立，求解七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。例8 设是定义在上的函数，满足，对任意的自然数 都有，求 解课后练习题1. 待定系数法：例1：若一次函数满足：，求例2：已知二次函数满足：求2. 利用的意义求解解析式例3：已知 ，求 、例4：已知，求例5：已知求例6：求3. 换元法例7：已知，求例8：，求法一：换元法法二：利用函数的意义：4. 消去法例9：满足：，求例10：满足：求5. 图象法一般涉及的是分段函数例11：根据函数图象求函数的解析式（1） （2）第一个图象：第二个图中的两部我们可以有图象变化得到：（）和函数的向上平移3个单位，最后得到：例题讲解例1、某种笔记本每个5元，买 x1,2,3,4个笔记本的钱数记为y（元），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像 例2 国内投寄信函（外埠），邮资按下列规则计算：1、