华师一附中高三新课标第一轮复习一元二次不等式及其解法

1、第二讲 一元二次不等式及其解法教学目的：掌握一元一次不等式、一元二次不等式、简单的高次不等式、分式不等式的解法教学重点：掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法教学难点：掌握解不等式的基本思路，即将其它类型的不等式的化归为整式不等式(组)求解【知识概要】知识点1 解不等式问题的分类解一元一次不等式；解一元二次不等式；解一元高次不等式；解分式不等式；解无理不等式；解指数不等式；解对数不等式；解带绝对值的不等式；解各种类型的不等式组。知识点2 一元一次不等式的解法化为最简不等式ax>b(或ax<b)的讨论:时，解集为; a=0，b>0时，解集为R；a=0，b0时，解集为;a<

2、;0时，解集为.知识点3 一元二次不等式的解法一元二次不等式经过变形以后，可化为下面两种标准形式：（1）ax2+bx+c>0(a>0) （2）ax2+bx+c<0(a>0)在标准形式下的一元二次不等式的左端是二次函数y=ax2+bx+c，其图象是抛物线，如下表所示，一元二次不等式与二次函数，一元二次方程有着密切联系判别式=b2-4ac>0=0<0二次函数图象y=ax2+bx+c(a>0)一元二次方程的根ax2+bx+c=0(a0)的根有两相异实根x1,x2=有两等根x1=x2=无实根一元二次不等式解集ax2+bx+c>0（a>0）x1<

3、;x2x|x<x1或x>x2x|x-Rax2+bx+c<0（a>0）x1<x2x|x1<x<x2从图象可以看出: 一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0）的解集，就是二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象在x轴上方的部分对应的x的所有值；一元二次不等式ax2+bx+c<0（a>0）的解集，就是二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象在x轴下方的部分对应的x的所有值.指出：（1）解一元二次不等式的基本思想：将一元二次不等式问题转化为二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系问题。 （2）一元二次不等

4、式解法的步骤： 先将不等式化为标准式：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，其中a>0. 判断对应一元二次方程ax2+bx+c=0(a0根的情况; 写出不等式的解集. 解一元二次不等式的结论中，注意是“交集”还是“并集”。如A(BC)=(AB)(AC)等。（3）一元二次不等式解法的要点是：三个要素：判别式；二次项的系数的符号；根的大小。解一元二次不等式的本质是解一元二次方程,注意与一元二次方程的联系.解一元二次不等式的难点是解含有参数的一元二次不等式时的讨论。(4) 一个重要的习题类型: ax2+bx+c>0对恒成立.结论是:. 本质是:最小值恒大于零.知识点4

5、不等式的同解性同解变形是解不等式应遵循的主要原则，高中阶段所解的不等式最后都要转化为一元一次或一元二次不等式，因此，等价转化是解不等式的主要思路。常见的不等式的同解性有：（5）时，； ；|f(x)|g(x)与g(x)f(x)g(x)同解(g(x)0)。|f(x)|g(x) 与f(x)g(x)或f(x)g(x)(其中g(x)0)；g(x)0同解(8)与同解; (9)当a1时，af(x)ag(x)与f(x)g(x)同解；当0a1时，af(x)ag(x)与f(x)g(x)同解【基础题典例解析】例1 （解一次不等式）己知关于x的不等式的解为，求关于x的不等式的解集解：，因其解集为，且，从而又将代入，得

6、所求解集为例2 （解二次不等式（组）（1）解不等式组： （2）解不等式：解：（1） （2）原不等式的解集是由下面两个不等式组的解集的并集构成 或由解得x|x<-3或x>1. 由解得x|x<-2或x>3.不等式组（1）的解集是x|x<-3或x>3.由解得x|-3<x<1. 由解得x|-2<x<3.不等式组（2）的解集是x|-2<x<1.综上，原不等式的解集是x|x<-3或-2<x<1或x>3.例3 （二次不等式解法的逆用）己知不等式的解集为，其中，求不等式的解集解： 为方程的两根，不等式可化为由己知条

7、件得得即，它的解集为例4 （解高次不等式）（1）解不等式：(x-3)(x+2)(x-1)2(x-4)>0. 数（2）解不等式: 解：（1）首先将x的最高次幂的系数化为正数，设y=(x-3)(x+2)(x-1)2(x-4).函数y的各因式的根是-2，1，2，3，4四个根的值，把x的取值范围分为五个区间：x<-2, -2<x<1, 1<x<3, 3<x<4, x>4.函数y在上述区间取值时，函数值符号可知，y>0，原不等式的解集是x|-2<x<1, 或1<x<3，若x>4（2）由，其零点分别为：-1,0,1(

8、二重),2 ，画出数轴如下，由图知，原不等式的解集为。例5 （二次不等式解法的应用）若不等式对于x取任何实数均成立，求k的取值范围 解：(4x2+6x+3恒正)，原不等式对x取任何实数均成立，等价于不等式2x2-2(k-3)x+3-k>0对x取任何实数均成立 =-2(k-3)2-8(3-k)<0k2-4k+3<01<k<3. k的取值范围是（1，3）例6 （解简单的超越不等式）（1）解关于x的不等式：（其中a>0）（2）解不等式：log(x2-x-2)>log(x-1)-1（3）解不等式解：（1）原不等式得：（2）原不等式变形为：log(x2-x-2)

9、>log(2x-2)。原不等式，原不等式的解集为x|2<x<3。（3）>1,>0, 当 0<<1，即0<a<时，原不等式的解为; 当a>时，解集为x|; 当a=时，解集为R例7 （解含参数的二次不等式）解关于x的不等式解：下面对参数m进行分类讨论： 当m=时，原不等式为x+1>0，不等式的解为 当时，原不等式可化为 ，不等式的解为或 当时，原不等式可化为 ，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式无解综上所述，原不等式的解集情况为：当时，解为； 当时，无解；当时，解为； 当m=时，解为；当时，解为或【综合题

10、典例解析】例1 已知f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，不等式f(x)>0的解集是(m，n)，不等式g(x)>0的解集是，其中，求不等式的解集解：f(x)，g(x)是奇函数，不等式f(x)>0的解集是(m，n)，不等式g(x)>0的解集是，不等式f(x)<0的解集是，不等式g(x)<0的解集是，不等式等价于或，例2 设集合M=x|x2+x-60,N=x|x2-axx-a,全集U=R，且，求实数a的取值范围。解：M=x|-3x2, =x|x<-3,或x>2. ，由x2-(a+1)+a0,方程x2-(a+1)x+a=0的两根为x1=a,x2=1.

11、（1）若a>1,N=x|x1,或xa,由,得1<a2;（2）若a=1,N=R, a=1;（3）若a<1,N=x|xa,或x1,由 ,-3a<1, 实数a的取值范围是-3a2.例3 集合A=x|-2x5,B=x|m+1x2m-1,（1）若BA,求实数m的取值范围; （2）当xZ时,求A的非空真子集个数;（3）当xR时,没有元素x使xA与xB同时成立,求实数m的取值范围.解：（1）当m+1>2m-1即m<2时,B=满足BA.当m+12m-1即m2时,要使BA成立,需可得2m3.综上所得实数m的取值范围m3.（2）当xZ时,A=-2,-1,0,1,2,3,4,5,

12、A的非空真子集个数为28-2=254.（3）xR,且A=x|-2x5,B=x|m+1x2m-1,又没有元素x使xA与xB同时成立.则 若B即m+1>2m-1,得m<2时满足条件; 若B,则要满足条件有:或解之,得m>4.综上有m<2或m>4.例4 若关于x的不等式x2-ax-6a0有解，且对于解集中的任意x1、x2，总满足：|x1-x2|5，求a的取值范围解：x2-ax-6a0有解的条件是=a2+24a0，解得a-24或a0.设、为方程x2-ax-6a=0的两实根，为满足|x1-x2|5，只要有|-|5，即(-)225，亦即(+)2-425. a2+24a25，即

13、(a+25)(a-1)0解得-25a1联立 得-25a-24或0a1.故a的范围为a|-25a-24或0a1.例5 已知适合不等式|x24x+p|+|x3|5的x的最大值为3 （1）求p的值； （2）若f(x)=，解关于x的不等式f-1(x)(kR+)解 （1）适合不等式|x24x+p|+|x3|5的x的最大值为3，x30，|x3|=3x 若|x24x+p|=x2+4xp，则原不等式为x23x+p+20，其解集不可能为x|x3的子集，|x24x+p|=x24x+p 原不等式为x24x+p+3x0，即x25x+p20，令x25x+p2=(x3)(xm)，可得m=2，p=8 （2） f(x)=，f

14、-1(x)=log8 (1x1，有log8log8，log8(1x)log8k，1xk，x1k 1x1，kR+，当0k2时，原不等式解集为x|1kx1；当k2时，原不等式的解集为x|1x1 例6 解关于x的不等式：解：。 当0<a<1时：， 。 当a>1时：。当a=3时，x<0；当； 当。综上：当；当；当。例7 解关于x的不等式：1 (a1) 解 原不等式可化为：0。当a1时，原不等式与(x)(x2)0同解 由于，原不等式的解为(，)(2，+) 当a1时，原不等式与(x)(x2) 0同解 由于：若a0，,解集为(，2)； 若0a1，,解集为(2，)。 当a=0时，解集为

15、；综上所述 当a1时解集为(，)(2，+)；当0a1时，解集为(2，)；当a=0时，解集为；当a0时，解集为(，2）。例8 设a<1，解关于x的不等式>0解：原不等式可化为：。（1）当a=0时，原不等式可化为：>0，即<0, -2<x<0。（2）当0<a<1时，化为：，此时-2<-a<, -2<x<-a或x>。（3）当a<0时，化为：。 当a<-时，有-2<<-a, x<-2或<x<-a。 当a=-时，化为：，x<且x-2。 当-<a<0时，<-2<-a，解得：x<或-2<x<-a。综上所述，原不等式的解集：a<-不等式的解集x|x<-2或<x<-a； a=-，不等式的解集x|x<且x-2；-<a<0时，不等式的解集x|x<或-2<x<-a ； a=0时，不等式的解集x|-2<x<0；0<a<1时，不等式的解集x|-2<x<