二次函数单元测试及答案

1、单元评价检测(二)第二十二章(45分钟100分)一、选择题(每小题4分,共28分)1.(2013·哈尔滨中考)把抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位,再向右平移1个单位,所得到的抛物线是()A.y=(x+2)2+2B.y=(x+2)2-2C.y=x2+2D.y=x2-2【解析】选D.抛物线y=(x+1)2的顶点为(-1,0),平移后的顶点为(0,-2),所以得到的抛物线的解析式为y=x2-2.2.已知二次函数y=ax2+k的图象如图所示,则对应a,k的符号正确的是()A.a>0,k>0B.a>0,k<0C.a<0,k>0D.a<0,k<

2、;0【解析】选D.二次函数y=ax2+k的图象开口向上时a>0,开口向下时a<0;图象交于y轴正半轴时k>0,交于y轴负半轴时k<0.由图象知a<0,k<0.3.二次函数y=(x-1)2+2的最小值是()A.2B.1C.-1D.-2【解析】选A.依据y=a(x-h)2+k(a0),当a>0,x=h时,y最小值=k,因为a=1>0,所以二次函数有最小值.当x=1时,y最小值=2.4.(2013·徐州中考)二次函数y=ax2+bx+c上部分点的坐标满足下表:x-3-2-101y-3-2-3-6-11则该函数图象的顶点坐标为()A.(-3,-

3、3)B.(-2,-2)C.(-1,-3)D.(0,-6)【解析】选B.因为二次函数具有对称性,点(-3,-3)与点(-1,-3)关于对称轴对称,故(-2,-2)为二次函数的顶点坐标.5.(2013·襄阳中考)二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示:若点A(x1,y1),B(x2,y2)在此函数图象上,且x1<x2<1,则y1与y2的大小关系是()A.y1y2B.y1<y2C.y1y2D.y1>y2【解析】选B.由图象可知抛物线的对称轴为直线x=1.点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线上,且x1<x2<1,点A,B都在对称轴的左侧.抛物线

4、y=-x2+bx+c的开口向下,在对称轴左侧,y随x增大而增大,y1<y2.6.二次函数y=a(x+k)2+k(a0),无论k取何值,其图象的顶点都在()A.直线y=x上B.直线y=-x上C.x轴上D.y轴上【解析】选B.顶点为(-k,k),当x=-k时,y=k=-(-k)=-x,故图象顶点在直线y=-x上.【互动探究】若题目中的二次函数“y=a(x+k)2+k(a0)”改为“y=a(x-k)2+k(a0)”,则无论k取何值,其图象的顶点都在哪条直线上?【解析】二次函数y=a(x-k)2+k(a0)的顶点为(k,k),此时x=k,y=k,即y=x,所以图象顶点在直线y=x上.7.(201

5、4·海淀模拟)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,其对称轴为直线x=-1,给出下列结果:(1)b2>4ac.(2)abc>0.(3)2a+b=0.(4)a+b+c>0.(5)a-b+c<0.则正确的结论是()A.(1)(2)(3)(4)B.(2)(4)(5)C.(2)(3)(4)D.(1)(4)(5)【解析】选D.因为二次函数与x轴有两个交点,所以b2>4ac,(1)正确;抛物线开口向上,所以a>0,抛物线与y轴交点在负半轴上,所以c<0,又-b2a=-1,所以b>0,b=2a,所以abc=2a2c<0.所以(2)错误

6、;(3)错误;由图象可知当x=1时,y>0,即a+b+c>0,所以(4)正确;由图象可知当x=-1时,y<0,即a-b+c<0,所以(5)正确.二、填空题(每小题5分,共25分)8.(2014·黄冈模拟)如果函数y=(k-3)xk2-3k+2+kx+1是二次函数,那么k=.【解析】根据二次函数的定义,得k2-3k+2=2,解得k=0或k=3.又k-30,k3.当k=0时,这个函数是二次函数.答案:09.(2013·宿迁中考)若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点,则常数m的值是.【解析】分两种情况:(1)当m=0时,函数为一次函数y=2

7、x+1,该函数的图象与x轴只有一个公共点.(2)当m0时,由抛物线y=mx2+2x+1与x轴只有一个公共点,得=22-4×m×1=0,解得m=1.综上所述,常数m的值是1或0.答案:1或0【易错提醒】图象与x轴有一个公共点,分两种情况,不要误认为函数只是二次函数,也可以是一次函数,本题易遗漏一次函数的情况.10.把抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则a+b+c=.【解析】y=x2-3x+5=x2-3x+322-322+5=x-322+114.把它向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度得

8、y=x-32+32+114+2,即y=x+322+194=x2+3x+7,y=ax2+bx+c=x2+3x+7,a=1,b=3,c=7,a+b+c=1+3+7=11.答案:11【变式训练】如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(-1,0)和(0,-1)两点,则化简代数式a-1a2+4+a+1a2-4=.【解析】把(-1,0)和(0,-1)两点代入y=ax2+bx+c中,得a-b+c=0,c=-1,b=a+c=a-1.由图象可知,抛物线对称轴x=-b2a=-a-12a>0,且a>0,a-1<0,0<a<1.a-1a2+4+a+1a2-4=a+1a2+a

9、-1a2=a+1a+a-1a=a+1a-a+1a=2a.答案:2a11.如图,四边形ABCD是矩形,A,B两点在x轴的正半轴上,C,D两点在抛物线y=-x2+6x上,设OA=m(0<m<3),矩形ABCD的周长为l,则l与m的函数解析式为.【解析】由OA=m可知点D的横坐标为m,又点D在抛物线y=-x2+6x上,点D的纵坐标为-m2+6m,即AD=-m2+6m;当y=0时,-x2+6x=0,解得x1=0,x2=6,抛物线与x轴另一个交点E的坐标为(6,0),OE=6,OA=m,由抛物线的对称性可知BE=m,AB=6-2m.矩形ABCD的周长l=2(AD+AB)=2(-m2+6m+6

10、-2m)=-2m2+8m+12.答案:l=-2m2+8m+1212.如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+c(a0)的图象过正方形ABOC的三顶点A,B,C,则ac的值是.【解析】设A点坐标为(0,2m),则C点坐标为(m,m),故2m=a·02+c,m=am2+c,即am=-1.又因为c=2m,所以a·c2=-1,ac=-2.答案:-2三、解答题(共47分)13.(10分)(2013·镇江中考)如图,抛物线y=ax2+bx(a>0)经过原点O和点A(2,0). (1)写出抛物线的对称轴与x轴的交点坐标.(2)点(x1,y1),(x2,y2)在抛

11、物线上,若x1<x2<1,比较y1,y2的大小.(3)点B(-1,2)在该抛物线上,点C与点B关于抛物线的对称轴对称,求直线AC的函数解析式.【解析】(1)抛物线y=ax2+bx经过原点O和点A(2,0),而OA的中点为(1,0),抛物线的对称轴与x轴的交点坐标为(1,0).(2)该抛物线开口向上,对称轴为直线x=1,当x<1时,y随x的增大而减小,而x1<x2<1,故y1>y2.(3)点B(-1,2)在该抛物线上,点C与点B关于抛物线的对称轴对称,C(3,2).设直线AC的函数解析式为y=kx+m,则2k+m=0,3k+m=2,解得k=2,m=-4,直线A

12、C的函数解析式为y=2x-4.14.(12分)如图,二次函数y=ax2-4x+c的图象过原点,与x轴交于点A(-4,0).(1)求此二次函数的解析式.(2)在抛物线上存在点P,满足SAOP=8,请直接写出点P的坐标.【解析】(1)依题意,得c=0,16a+16=0,解得a=-1,c=0.二次函数的解析式为y=-x2-4x.(2)令P(m,n),则SAOP=12AO·|n|=12×4|n|=8,解得n=±4,又点P(m,n)在抛物线y=-x2-4x上,-m2-4m=±4,分别解得m1=-2,m2=-2+22和m3=-2-22,P1(-2,4),P2(-2+

13、22,-4),P3(-2-22,-4).15.(12分)(2013·牡丹江中考)如图,抛物线y=x2+bx+c过点A(-4,-3),与y轴交于点B,对称轴是x=-3,请回答下列问题:(1)求抛物线的解析式.(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C,D两点,点C在对称轴左侧,且CD=8,求BCD的面积.注:抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴是x=-b2a.【解析】(1)对称轴是x=-b2a=-3,a=1,b=6.又抛物线y=x2+bx+c过点A(-4,-3),(-4)2+6×(-4)+c=-3,解得c=5.抛物线的解析式为y=x2+6x+5.(2)和x轴平行的直线与抛物

14、线交于C,D两点,点C在对称轴左侧,且CD=8,点C的横坐标为-7,点C的纵坐标为y=(-7)2+6×(-7)+5=12.又抛物线的解析式为y=x2+6x+5与y轴交于点B(0,5),CD边上的高为12-5=7,BCD的面积为12×8×7=28.16.(13分)(2013·义乌中考)为迎接中国森博会,某商家计划从厂家采购A,B两种产品共20件,产品的采购单价(元/件)是采购数量(件)的一次函数,表中提供了部分采购数量.采购数量(件)12A产品单价(元/件)1 4801 460B产品单价(元/件)1 2901 280(1)设A产品的采购数量为x(件),采购

15、单价为y1(元/件),求y1与x的解析式.(2)经商家与厂家协商,采购A产品的数量不少于B产品数量的119,且A产品采购单价不低于1200元,求该商家共有几种进货方案.(3)该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价售出A,B两种产品,且全部售完,在(2)的条件下,求采购A种产品多少件时总利润最大,并求最大利润.【解析】(1)设y1与x的解析式为y1=kx+b,1 480=k+b,1 460=2k+b,解得k=-20,b=1500,y1与x的解析式为y1=-20x+1500(0<x20,x为整数).(2)根据题意得x119(20-x),-20x+1 5001 200,解得11x15.x为整数,x可取11,