初三数学中考专题-对称最短距离

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2、#176;（AB、AC为O的切线，B、C为切点）则气球中心O离地面的高度OD为（）（精确到1m，参考数据：sin1°=0.0175，=1.732）A94mB95mC99mD105m2（2014贵港）如图，在RtABC中，ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是BAC的平分线若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）AB4CD53（2014安顺）如图，MN是半径为1的O的直径，点A在O上，AMN=30°，点B为劣弧AN的中点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）AB1C2D24（2012台州）如图，菱形ABCD中，AB=2，A=120&

3、#176;，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A1BC2D+15（2011本溪）如图，正方形ABCD的边长是4，DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（）A2B4C2D4二填空题（共17小题）6（2013泰安）如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A，B之间的距离为_海里（取，结果精确到0.1海里）7（

4、2011莆田）如图，一束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后经过点B（1，0），则光线从点A到点B经过的路径长为_8（2014龙东地区）如图，菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，M、N分别是BC、CD的中点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是_9（2014无锡）如图，菱形ABCD中，A=60°，AB=3，A、B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、A和B上的动点，则PE+PF的最小值是_10（2014东营）在O中，AB是O的直径，AB=8cm，=，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是_cm11（2014莆田）如图，菱形ABCD的边长为4，BAD=

5、120°，点E是AB的中点，点F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值是_12（2014青岛）如图，在等腰梯形ABCD中，AD=2，BCD=60°，对角线AC平分BCD，E，F分别是底边AD，BC的中点，连接EF点P是EF上的任意一点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为_13（2014锦州）菱形ABCD的边长为2，ABC=60°，E是AD边中点，点P是对角线BD上的动点，当AP+PE的值最小时，PC的长是_14（2014黔东南州）在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（1，0），B（2，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为_15（20

6、13资阳）如图，在RtABC中，C=90°，B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则PEB的周长的最小值是_16（2013内江）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值=_17（2013辽阳）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P在BC边上，且BP=1，Q为对角线AC上的一个动点，则BPQ周长的最小值为_18（2013达州）如图，折叠矩形纸片ABCD，使B点落在AD上一点E处，折痕的两端点分别在AB、BC上（含端点）

7、，且AB=6，BC=10设AE=x，则x的取值范围是_19（2012鄂州）在锐角三角形ABC中，BC=，ABC=45°，BD平分ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是_20（2010滨州）如图，等边ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，EM+CM的最小值为_21（2008广安）如图，菱形ABCD中，BAD=60°，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB的最小值是3，则AB长为_22（2001海南）如图，在边长为6的菱形ABCD中，DAB=60°，E为AB的中点，F是AC上的

8、一动点，则EF+BF的最小值为_三解答题（共2小题）23（2013遂宁）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛 海域实现了常态化巡航管理如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少（结果保留根号）24（2013南充）如图，公路AB为东西走向，在点A北偏东36.5°方向上，距离5千米处是村庄M；在点A北偏东53.5°方向上，距离10千米处是村庄

9、N（参考数据；sin36.5°=0.6，cos36.5°=0.8，tan36.5°=0.75）（1）求M，N两村之间的距离；（2）要在公路AB旁修建一个土特产收购站P，使得M，N两村到P的距离之和最短，求这个最短距离初三数学中考专题-对称最短距离参考答案与试题解析一选择题（共5小题）1（2002鄂州）如图，挂着“庆祝凤凰广场竣工”条幅的氢气球升在广场上空，已知气球的直径为4m，在地面A点测得气球中心O的仰角OAD=60°，测得气球的视角BAC=2°（AB、AC为O的切线，B、C为切点）则气球中心O离地面的高度OD为（）（精确到1m，参考数据：s

10、in1°=0.0175，=1.732）A94mB95mC99mD105m考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题菁优网版权所有专题：压轴题分析：连接圆心和切点，利用构造的直角三角形求得OA长，进而求得所求线段长解答：解：连接OC在RtOAC中，OC=2，OAC=1°AO=114.2在RtOAD中，有OD=OA×sin60°99故选C点评：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形，建立数学模型并解直角三角形2（2014贵港）如图，在RtABC中，ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是BAC的平分线若P，Q分别是AD和AC上的动点，则

11、PC+PQ的最小值是（）AB4CD5考点：轴对称-最短路线问题菁优网版权所有分析：过点C作CMAB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQAC于点Q，由AD是BAC的平分线得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用SABC=ABCM=ACBC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值解答：解：如图，过点C作CMAB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQAC于点Q，AD是BAC的平分线PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，AC=6，BC=8，ACB=90°，AB=10SABC=ABCM=ACBC，CM=，即PC+PQ的最小值为故选：C点评

12、：本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置3（2014安顺）如图，MN是半径为1的O的直径，点A在O上，AMN=30°，点B为劣弧AN的中点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）AB1C2D2考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理菁优网版权所有分析：作点B关于MN的对称点B，连接OA、OB、OB、AB，根据轴对称确定最短路线问题可得AB与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出AON=60°，然后求出BON=30°，再根据对称性可得BON=BON=30&

13、#176;，然后求出AOB=90°，从而判断出AOB是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AB=OA，即为PA+PB的最小值解答：解：作点B关于MN的对称点B，连接OA、OB、OB、AB，则AB与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB，AMN=30°，AON=2AMN=2×30°=60°，点B为劣弧AN的中点，BON=AON=×60°=30°，由对称性，BON=BON=30°，AOB=AON+BON=60°+30°=90°，AOB是等腰直角三

14、角形，AB=OA=×1=，即PA+PB的最小值=故选：A点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到AOB是等腰直角三角形是解题的关键4（2012台州）如图，菱形ABCD中，AB=2，A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A1BC2D+1考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质菁优网版权所有专题：压轴题；探究型分析：先根据四边形ABCD是菱形可知，ADBC，由A=120°可知B=60°，作点P关于直线BD的对称点P，连接PQ，PC，则PQ

15、的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CPAB时PK+QK的值最小，再在RtBCP中利用锐角三角函数的定义求出PC的长即可解答：解：四边形ABCD是菱形，ADBC，A=120°，B=180°A=180°120°=60°，作点P关于直线BD的对称点P，连接PQ，PC，则PQ的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CPAB时PK+QK的值最小，在RtBCP中，BC=AB=2，B=60°，PQ=CP=BCsinB=2×=故选：B点评：本题考查的是轴对称最短路线问题及菱形的性质，根据题意作出辅助线，

16、构造出直角三角形是解答此题的关键5（2011本溪）如图，正方形ABCD的边长是4，DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（）A2B4C2D4考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质菁优网版权所有专题：压轴题；探究型分析：过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D，再过D作DPAD，由角平分线的性质可得出D是D关于AE的对称点，进而可知DP即为DQ+PQ的最小值解答：解：作D关于AE的对称点D，再过D作DPAD于P，DDAE，AFD=AFD，AF=AF，DAE=CAE，DAFDAF，D是D关于AE的对称点，AD=AD=4，DP即为DQ+PQ的最小值，四边

17、形ABCD是正方形，DAD=45°，AP=PD，在RtAPD中，PD2+AP2=AD2，AD2=16，AP=PD'，2PD2=AD2，即2PD2=16，PD=2，即DQ+PQ的最小值为2故选：C点评：本题考查的是轴对称最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键二填空题（共17小题）6（2013泰安）如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A，B之间的距离为67.5海里（

18、取，结果精确到0.1海里）考点：解直角三角形的应用-方向角问题菁优网版权所有专题：应用题；压轴题分析：过点D作DEAB于点E，设DE=x，在RtCDE中表示出CE，在RtBDE中表示出BE，再由CB=25海里，可得出关于x的方程，解出后即可计算AB的长度解答：解：DBA=DAB=45°，DAB是等腰直角三角形，过点D作DEAB于点E，则DE=AB，设DE=x，则AB=2x，在RtCDE中，DCE=30°，则CE=DE=x，在RtBDE中，DAE=45°，则DE=BE=x，由题意得，CB=CEBE=xx=25，解得：x=，故AB=25（+1）=67.5（海里）故答案

19、为：67.5点评：本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度，难度一般7（2011莆田）如图，一束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后经过点B（1，0），则光线从点A到点B经过的路径长为5考点：解直角三角形的应用菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：延长AC交x轴于B根据光的反射原理，点B、B关于y轴对称，CB=CB路径长就是AB的长度结合A点坐标，运用勾股定理求解解答：解：如图所示，延长AC交x轴于B则点B、B关于y轴对称，CB=CB作ADx轴于D点则AD=3，DB=3+1=4AB=AC+CB=AC+CB=5即光线从点A到点

20、B经过的路径长为5点评：本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，构造直角三角形是解决本题关键8（2014龙东地区）如图，菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，M、N分别是BC、CD的中点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是5考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理的应用；平行四边形的判定与性质；菱形的性质菁优网版权所有专题：几何图形问题分析：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、PB，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案解答：解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，

21、连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，四边形ABCD是菱形，ACBD，QBP=MBP，即Q在AB上，MQBD，ACMQ，M为BC中点，Q为AB中点，N为CD中点，四边形ABCD是菱形，BQCD，BQ=CN，四边形BQNC是平行四边形，NQ=BC，四边形ABCD是菱形，CP=AC=3，BP=BD=4，在RtBPC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，MP+NP=QP+NP=QN=5，故答案为：5点评：本题考查了轴对称最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置9（2014无锡）如图，菱形ABCD中，A=60°，AB=3

22、，A、B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、A和B上的动点，则PE+PF的最小值是3考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质；相切两圆的性质菁优网版权所有专题：几何图形问题；压轴题分析：利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P与D重合时PE+PF的最小值，进而求出即可解答：解：由题意可得出：当P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小，连接BD，菱形ABCD中，A=60°，AB=AD，则ABD是等边三角形，BD=AB=AD=3，A、B的半径分别为2和1，PE=1，DF=2，PE+PF的最小值是3故答案为：3点评：此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识，根

23、据题意得出P点位置是解题关键10（2014东营）在O中，AB是O的直径，AB=8cm，=，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是8cm考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理菁优网版权所有分析：作点C关于AB的对称点C，连接CD与AB相交于点M，根据轴对称确定最短路线问题，点M为CM+DM的最小值时的位置，根据垂径定理可得=，然后求出CD为直径，从而得解解答：解：如图，作点C关于AB的对称点C，连接CD与AB相交于点M，此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，由垂径定理，=，=，=，AB为直径，CD为直径，CM+DM的最小值是8cm故答案为：8点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径

24、定理，熟记定理并作出图形，判断出CM+DM的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键11（2014莆田）如图，菱形ABCD的边长为4，BAD=120°，点E是AB的中点，点F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值是2考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质菁优网版权所有分析：首先连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF证明只有点F运动到点M时，EF+BF取最小值，再根据菱形的性质、勾股定理求得最小值解答：解：连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF，延长BA，DHBA于H，四边形ABCD是菱形，AC，BD互相垂直平分，点B关于AC的对称点为D，FD=FB，FE+FB=FE+

25、FDDE只有当点F运动到点M时，取等号（两点之间线段最短），ABD中，AD=AB，DAB=120°，HAD=60°，DHAB，AH=AD，DH=AD，菱形ABCD的边长为4，E为AB的中点，AE=2，AH=2，EH=4，DH=2，在RtEHD中，DE=2，EF+BF的最小值为2故答案为：2点评：此题主要考查菱形是轴对称图形的性质，知道什么时候会使EF+BF成为最小值是解本题的关键12（2014青岛）如图，在等腰梯形ABCD中，AD=2，BCD=60°，对角线AC平分BCD，E，F分别是底边AD，BC的中点，连接EF点P是EF上的任意一点，连接PA，PB，则PA+P

26、B的最小值为2考点：轴对称-最短路线问题；等腰梯形的性质菁优网版权所有专题：几何动点问题分析：要求PA+PB的最小值，PA、PB不能直接求，可考虑转化PA、PB的值，从而找出其最小值求解解答：解：E，F分别是底边AD，BC的中点，四边形ABCD是等腰梯形，B点关于EF的对称点C点，AC即为PA+PB的最小值，BCD=60°，对角线AC平分BCD，ABC=60°，BCA=30°，BAC=90°，AD=2，PA+PB的最小值=ABtan60°=故答案为：2点评：考查等腰梯形的性质和轴对称等知识的综合应用综合运用这些知识是解决本题的关键13（2014

27、锦州）菱形ABCD的边长为2，ABC=60°，E是AD边中点，点P是对角线BD上的动点，当AP+PE的值最小时，PC的长是考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质菁优网版权所有专题：几何综合题分析：作点E关于直线BD的对称点E，连接AE，则线段AE的长即为AP+PE的最小值，再由轴对称的性质可知DE=DE=1，故可得出AED是直角三角形，由菱形的性质可知PDE=ADC=30°，根据锐角三角函数的定义求出PE的长，进而可得出PC的长解答：解：如图所示，作点E关于直线BD的对称点E，连接AE，则线段AE的长即为AP+PE的最小值，菱形ABCD的边长为2，E是AD边中点，DE=DE

28、=AD=1，AED是直角三角形，ABC=60°，PDE=ADC=30°，PE=DEtan30°=，PC=故答案为：点评：本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知菱形的性质及锐角三角函数的定义是解答此题的关键14（2014黔东南州）在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（1，0），B（2，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为考点：轴对称-最短路线问题；一次函数图象上点的坐标特征菁优网版权所有分析：利用一次函数图象上点的坐标性质得出OA=1，进而利用勾股定理得出即可解答：解：如图所示：作A点关于直线y=x的对称点A，连接AB，交直线y=x于点P，

29、此时PA+PB最小，由题意可得出：OA=1，BO=2，PA=PA，PA+PB=AB=故答案为：点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及一次函数图象上点的特征等知识，得出P点位置是解题关键15（2013资阳）如图，在RtABC中，C=90°，B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则PEB的周长的最小值是1+考点：轴对称-最短路线问题；含30度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）菁优网版权所有专题：几何动点问题分析：连接CE，交AD于M，根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BP的

30、值最小，即可此时BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，先求出BC和BE长，代入求出即可解答：解：连接CE，交AD于M，沿AD折叠C和E重合，ACD=AED=90°，AC=AE，CAD=EAD，AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，CD=DE=1，当P和D重合时，PE+BP的值最小，即此时BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，DEA=90°，DEB=90°，B=60°，DE=1，BE=，BD=，即BC=1+，PEB的周长的最小值是BC+BE=1+=1+，故答案为：1+点评：本题考查了

31、折叠性质，等腰三角形性质，轴对称最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度适中16（2013内江）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值=5考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质菁优网版权所有专题：压轴题分析：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、PB，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案解答：解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小

32、，连接AC，四边形ABCD是菱形，ACBD，QBP=MBP，即Q在AB上，MQBD，ACMQ，M为BC中点，Q为AB中点，N为CD中点，四边形ABCD是菱形，BQCD，BQ=CN，四边形BQNC是平行四边形，NQ=BC，四边形ABCD是菱形，CP=AC=3，BP=BD=4，在RtBPC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，MP+NP=QP+NP=QN=5，故答案为：5点评：本题考查了轴对称最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置17（2013辽阳）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P在BC边上，且BP=1，Q为对角线AC上的

33、一个动点，则BPQ周长的最小值为6考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质菁优网版权所有分析：根据正方形的性质，点B、D关于AC对称，连接PD与AC相交于点Q，根据轴对称确定最短路线问题，点Q即为所求的使BPQ周长的最小值的点，求出PC，再利用勾股定理列式求出PD，然后根据BPQ周长=PD+BP计算即可得解解答：解：如图，连接PD与AC相交于点Q，此时BPQ周长的最小，正方形ABCD的边长为4，BP=1，PC=41=3，由勾股定理得，PD=5，BPQ周长=BQ+PQ+BP=DQ+PQ+BP=PD+BP=5+1=6故答案为：6点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，正方形的性质，熟记正方形的性质

34、并确定出点Q的位置是解题的关键18（2013达州）如图，折叠矩形纸片ABCD，使B点落在AD上一点E处，折痕的两端点分别在AB、BC上（含端点），且AB=6，BC=10设AE=x，则x的取值范围是2x6考点：翻折变换（折叠问题）菁优网版权所有专题：压轴题分析：设折痕为PQ，点P在AB边上，点Q在BC边上分别利用当点P与点A重合时，以及当点Q与点C重合时，求出AE的极值进而得出答案解答：解：设折痕为PQ，点P在AB边上，点Q在BC边上如图1，当点Q与点C重合时，根据翻折对称性可得EC=BC=10，在RtCDE中，CE2=CD2+ED2，即102=（10AE）2+62，解得：AE=2，即x=2如图

35、2，当点P与点A重合时，根据翻折对称性可得AE=AB=6，即x=6；所以，x的取值范围是2x6故答案是：2x6点评：本题考查的是翻折变换（折叠问题）、勾股定理注意利用翻折变换的性质得出对应线段之间的关系是解题关键19（2012鄂州）在锐角三角形ABC中，BC=，ABC=45°，BD平分ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是4考点：轴对称-最短路线问题菁优网版权所有专题：压轴题；探究型分析：过点C作CEAB于点E，交BD于点M，过点M作MNBC，则CE即为CM+MN的最小值，再根据BC=，ABC=45°，BD平分ABC可知BCE是等腰直角三角形，由锐角

36、三角函数的定义即可求出CE的长解答：解：过点C作CEAB于点E，交BD于点M，过点M作MNBC，则CE即为CM+MN的最小值，BC=，ABC=45°，BD平分ABC，BCE是等腰直角三角形，CE=BCcos45°=4×=4故答案为：4点评：本题考查的是轴对称最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键20（2010滨州）如图，等边ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，EM+CM的最小值为考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理菁优网版权所有专题：压轴题；动点型分析：

37、要求EM+CM的最小值，需考虑通过作辅助线转化EM，CM的值，从而找出其最小值求解解答：解：连接BE，与AD交于点M则BE就是EM+CM的最小值取CE中点F，连接DF等边ABC的边长为6，AE=2，CE=ACAE=62=4，CF=EF=AE=2，又AD是BC边上的中线，DF是BCE的中位线，BE=2DF，BEDF，又E为AF的中点，M为AD的中点，ME是ADF的中位线，DF=2ME，BE=2DF=4ME，BM=BEME=4MEME=3ME，BE=BM在直角BDM中，BD=BC=3，DM=AD=，BM=，BE=EM+CM=BEEM+CM的最小值为点评：考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识

38、的综合应用21（2008广安）如图，菱形ABCD中，BAD=60°，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB的最小值是3，则AB长为2考点：轴对称的性质；平行四边形的性质菁优网版权所有专题：压轴题；动点型分析：先根据轴对称性质和两点间线段最短，确定MD是PM+PB的最小值的情况，再利用特殊角60°的三角函数值求解解答：解：连接PD，BD，PB=PD，PM+PB=PM+PD，连接MD，交AC的点就是P点，根据两点间直线最短，这个P点就是要的P点，又BAD=60°，AB=AD，ABD是等边三角形，M为AB的中点，MDAB，MD=3，AD=MD÷

39、;sin60°=3÷=2，AB=2点评：本题考查的是平行四边形的性质及特殊角的三角函数值，属中等难度22（2001海南）如图，在边长为6的菱形ABCD中，DAB=60°，E为AB的中点，F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值为3考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质；特殊角的三角函数值菁优网版权所有专题：压轴题；动点型分析：根据菱形的对角线互相垂直平分，点B关于AC的对称点是点D，连接ED，EF+BF最小值=ED，然后解直角三角形即可求解解答：解：在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，点B、D关于AC对称，连接ED，则ED就是所求的EF+BF的最小值的线段，E为AB的中点，DAB=60°，DEAB，ED=3，EF+BF的最小值为3故答案为：3点评：本题主要考查了三角形中位线定理和解直角