23确定二次函数的表达式

1、第二章第二章 二次函数二次函数第第3 3节节 确定二次函数确定二次函数 的表达式的表达式1课堂讲解课堂讲解u用一般式用一般式(三点式三点式)确定二次函数表达式确定二次函数表达式u用顶点式确定二次函数表达式用顶点式确定二次函数表达式u用交点式确定二次函数表达式用交点式确定二次函数表达式2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升已知一次函数图象上两个点的坐标就可以用待定已知一次函数图象上两个点的坐标就可以用待定系数法求出一次函数的表达式，那么要求一个二系数法求出一次函数的表达式，那么要求一个二次函数的表达式需要哪些条件，用什么方法求解次函数的表达式需要哪些条件，用什么方

2、法求解呢？这就是我们本节课要学习的内容呢？这就是我们本节课要学习的内容. . 1知识点知识点用一般式（三点式）确定二次函数的表达式用一般式（三点式）确定二次函数的表达式知知1 1讲讲已知抛物线过三点，求其解析式，可采用一般式；已知抛物线过三点，求其解析式，可采用一般式；而用一般式求待定系数要经历以下而用一般式求待定系数要经历以下四四步：步：第一步：第一步：设一般式设一般式yax2 2bxc；第二步：将三点的坐标分别第二步：将三点的坐标分别代入一般式代入一般式中，组成一中，组成一 个三元一次方程组；个三元一次方程组；第三步：第三步：解方程组解方程组即可求出即可求出a，b，c的值的值；第四步：写出

3、第四步：写出函数表达式函数表达式. .例例1 如果一个二次函数的图象经过如果一个二次函数的图象经过(1，10)，(1，4)， (2，7)三点，三点，试求这个二次函数的表达式试求这个二次函数的表达式.知知1 1讲讲解：解：设所求二次函数设所求二次函数的表达式的表达式为为yax2bxc. 由函数图象经过由函数图象经过(1，10)，(1，4)，(2，7) 三三 点，得关于点，得关于a，b，c的三元一次方程组的三元一次方程组10,4,427,abcabcabc 2,3,5.abc 所求二次函数表达式为所求二次函数表达式为y2x23x5.解得解得1.设一般式设一般式2.点代入点代入一般式一般式3.解得方

4、程组解得方程组4.写出表写出表达式达式1 (1)已知二次函数已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过的图象经过(1，1)与与(2, 3) 两点，求这个二次函数的表达式两点，求这个二次函数的表达式；知知1 1练练将点将点(1，1)和和(2，3)的坐标分别代入表达式的坐标分别代入表达式yx2bxc，得，得解这个方程组，得解这个方程组，得所求二次函数的表达式为所求二次函数的表达式为yx2x1.1 1342.bcbc ， 解：解：11.cb ，(2)请更换第请更换第(1)题中的部分已知条件，重新设计一个题中的部分已知条件，重新设计一个 求二次函数求二次函数y=x2+bx+c表达式的题目，使所求得的表达

5、式的题目，使所求得的 二次函数与第二次函数与第(1)题相同题相同.知知1 1练练将点将点(2，3)更换为点更换为点(0，1)将点将点(1，1)和和(0，1)的坐标分别代入表达式的坐标分别代入表达式yx2bxc，得，得解这个方程组，得解这个方程组，得所求二次函数的表达式为所求二次函数的表达式为yx2x1.1 11.bcc ，解：解：11.cb ，2 已知二次函数的图象经过点已知二次函数的图象经过点(0, 2), (1，0)和和(-(-2, 3)，求这个二次函数的表达式，求这个二次函数的表达式.知知1 1练练设所求的二次函数的表达式为设所求的二次函数的表达式为yax2bxc，由已知，由已知，将三点

6、将三点(0，2)，(1，0)，(2，3)的坐标分别代入表达式，的坐标分别代入表达式，得得 解这个方程组，得解这个方程组，得所求二次函数的表达式为所求二次函数的表达式为 y x2 x2.20342.cabcabc ， ，解：解：12322.abc ， ，12323 (中考中考宁波宁波)如图，已知二次函数如图，已知二次函数yax2bxc的图的图 象过象过A(2，0)，B(0，1)和和C(4，5)三点三点 (1)求二次函数的表达式；求二次函数的表达式； (2)设二次函数的图象与设二次函数的图象与x轴的另一轴的另一 个交点为个交点为D，求点，求点D的坐标；的坐标； (3)在同一坐标系中画出直线在同一坐

7、标系中画出直线yx 1，并写出当，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于在什么范围内时，一次函数的值大于 二次函数的值二次函数的值知知1 1练练知知1 1练练(1)二次函数二次函数yax2bxc的图象过的图象过A(2，0)， B(0，1)和和C(4，5)三点，三点， a ，b ，c1. 二次函数的表达式为二次函数的表达式为y x2 x1.(2)当当y0时，时， 得得 x2 x10， 解得解得x12，x21， 点点D的坐标为的坐标为(1，0)42011645.abccabc ， ， 解：解：121212121212知知1 1练练(3)如图如图 当当1x4时，一次函数的值大于二次函数的值时，一

8、次函数的值大于二次函数的值【中考中考黑龙江黑龙江】如图，】如图，RtAOB的直角边的直角边OA在在x轴上轴上,OAB90，OA2，AB1，将，将RtAOB绕点绕点O逆逆时针旋转时针旋转90得到得到RtCOD，抛物线，抛物线y x2bxc经过经过B，D两点两点(1)求二次函数的表达式；求二次函数的表达式；(2)连接连接BD，点，点P是抛物线上一点，是抛物线上一点， 直线直线OP把把BOD的周长分成的周长分成 相等的两部分，求点相等的两部分，求点P的坐标的坐标知知1 1练练456知知1 1练练(1)RtAOB绕点绕点O逆时针旋转逆时针旋转90得到得到 RtCOD， CDAB1，OAOC2， 则点则

9、点B(2，1)，D(1，2)，代入表达式，代入表达式， 得：得： 解得解得 二次函数的表达式为二次函数的表达式为y x2 x ；1210.3bc ，解：解：561031210213526bcbc ， ，知知1 1练练(2)如图，设如图，设OP与与BD交于点交于点Q. 直线直线OP把把BOD的周长分的周长分 成相等的两部分，成相等的两部分， 且且OBOD， DQBQ，即点，即点Q为为BD的中点，的中点， 点点Q的坐标为的坐标为 设直线设直线OP对应的函数表达式为对应的函数表达式为ykx， 将点将点Q的坐标代入，得的坐标代入，得 k ，13, .22 解：解：1232知知1 1练练解得解得k3，直

10、线直线OP对应的函数表达式为对应的函数表达式为y3x， 代入代入y x2 x ， 得得 x2 x 3x， 解得解得x1或或x4(舍去舍去) 当当x1时，时，y3，点点P的坐标为的坐标为(1，3)561210356121032知识点知识点用顶点式确定二次函数表达式用顶点式确定二次函数表达式知知2 2讲讲 二次函数二次函数 yax2bxc可化成：可化成：ya(x- -h)2k ，顶点是顶点是(h, , k).如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式.例例2 已知抛物线的顶点坐标为已知

11、抛物线的顶点坐标为(4，- -1)，与，与y轴交于点轴交于点(0， 3)求这条抛物线的表达式求这条抛物线的表达式.解：解：依题意设依题意设ya(x- -h)2k ，将顶点，将顶点(4，- -1)及交点及交点(0，3) 代入得代入得3=a(0- -4)2- -1,解得解得a= ， 这条抛物线的表达这条抛物线的表达 式为：式为：y= (x- -4)2- -1.1414知知2 2讲讲总总 结结 若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式常可设顶点式ya(x- -h)2k (a0).知知2 2讲讲1 已知二次函数图象的顶点坐标是已知二次函数图象的顶点坐

12、标是(- -1，1)，且经过且经过 点点(1，- -3)，求这个二次函数的表达式，求这个二次函数的表达式.知知2 2练练设二次函数的表达式为设二次函数的表达式为ya(xh)2k .二次函数图象的顶点坐标为二次函数图象的顶点坐标为(1，1)，h1，k1.又又二次函数的图象经过点二次函数的图象经过点(1，3)，代入得代入得3a(11)21，解得，解得a1 .所求二次函数的表达式为所求二次函数的表达式为 y(x1)21x22x .解：解：2 已知已知A(1，0)，B(0，1)，C(1，2)，D(2，1)， E(4，2)五个点，抛物线五个点，抛物线ya(x1)2k(a0)经过其经过其 中三个点中三个点

13、 (1)求证：求证：C，E两点不可能同时在抛物线两点不可能同时在抛物线ya(x1)2 k(a0)上上 (2)点点A在抛物线在抛物线ya(x1)2k(a0)上吗？为什么？上吗？为什么？ (3)求求a和和k的值的值知知2 2练练知知2 2练练(1)由题意可知，抛物线的对称轴为直线由题意可知，抛物线的对称轴为直线x1. 若点若点C(1，2)在抛物线上，在抛物线上， 则点则点C关于直线关于直线x1的对称点的对称点(3，2)也在这条抛也在这条抛 物线上物线上 C，E两点不可能同时在抛物线两点不可能同时在抛物线 ya(x1)2k(a0)上上证明：证明：知知2 2练练(2)点点A不在抛物线上不在抛物线上 理

14、由：若点理由：若点A(1，0)在抛物线在抛物线ya(x1)2k (a0)上，则上，则k0. ya(x1)2(a0) 易知易知B(0，1)，D(2，1)都不在抛物线上都不在抛物线上 由由(1)知知C，E两点不可能同时在抛物线上两点不可能同时在抛物线上 与抛物线经过其中三个点矛盾与抛物线经过其中三个点矛盾 点点A不在抛物线上不在抛物线上解：解：知知2 2练练由由(2)可知点可知点A不在抛物线上结合不在抛物线上结合(1)的结论易知的结论易知B，D一定在抛物线一定在抛物线ya(x1)2k(a0)上上若点若点C(1，2)在此抛物线上，在此抛物线上， 则则 解得解得若点若点E(4，2)在此抛物线上，在此抛

15、物线上， 则则 解得解得 综上可知，综上可知， 或或192akak ， ，解：解：12.ak ，142akak ， ，3811.8ak ，12.ak ，3811.8ak ，知知3 3讲讲3知识点知识点用交点式确定二次函数解析式用交点式确定二次函数解析式例例3 3已知抛物线与已知抛物线与x 轴的交点是轴的交点是A（-2，0），），B（1，0），），且抛物线经过点且抛物线经过点C（2，8），求该抛物线对应的函数表达），求该抛物线对应的函数表达式。式。导引：导引：抛物线与抛物线与x 轴的交点是轴的交点是A（-2，0），），B（1，0），），可设抛物线对应的函数表达式为可设抛物线对应的函数表达式为y=

16、a（x+2）（）（x-1）.又又抛物线经过点抛物线经过点C（2，8），把它代入），把它代入y=a（x+2）（）（x-1）中，得中，得8=a（2+2）（2-1），）， a=2.故抛物线对应的函数表故抛物线对应的函数表达式为达式为y=2（x+2）（）（x-1），）， 即即y=2x2+2x-4.总总 结结知知3 3讲讲（1）本题第（）本题第（2）问是一个开放性题，平移）问是一个开放性题，平移 方法不唯一，只需将原顶点平移成横纵方法不唯一，只需将原顶点平移成横纵 坐标互为相反数即可坐标互为相反数即可.（2）已知图象与）已知图象与x轴的交点坐标，通常选择轴的交点坐标，通常选择 交点式交点式.【中考中考杭

17、州杭州】在平面直角坐标系中，设二次函数】在平面直角坐标系中，设二次函数 y1(xa)(xa1)，其中，其中a0.(1)若函数若函数y1的图象经过点的图象经过点(1，2)，求函数，求函数y1的表达式；的表达式；(2)若一次函数若一次函数y2axb的图象与的图象与y1的图象经过的图象经过x轴上同轴上同 一点，探究实数一点，探究实数a，b满足的关系式；满足的关系式；(3)已知点已知点P(x0，m)和和Q(1，n)在函数在函数y1的图象上，若的图象上，若m n，求，求x0的取值范围的取值范围知知3 3练练1知知3 3练练(1)由函数由函数y1的图象经过点的图象经过点(1，2)， 得得(a1)(a)2，

18、解得，解得a12，a21. 当当a2时，函数时，函数y1的表达式为的表达式为 y(x2)(x21)， 即即yx2x2； 当当a1时，函数时，函数y1的表达式为的表达式为y(x1)(x2)， 即即yx2x2. 综上所述，函数综上所述，函数y1的表达式为的表达式为yx2x2.解：解：知知3 3练练(2)当当y10时，时，(xa)(xa1)0， 解得解得xa或或xa1， 所以所以y1的图象与的图象与x轴的交点是轴的交点是 (a，0)，(a1，0) 当当y2axb的图象经过的图象经过(a，0)时，时， a2b0，即，即ba2； 当当y2axb的图象经过的图象经过(a1，0)时，时， a2ab0，即，即ba2a.知知3 3练练(3)由题易知由题易知y1的图象的对称轴为直线