全国高中数学联赛试题及解答

1、1986年全国高中数学联赛试题第一试1选择题(本题满分42分，每小题7分，每小题答对得7分，答错得0分不答得1分) 设1<a<0，=arcsina，那么不等式sinx<a的解集为( ) Ax|2n+<x<(2n+1)，nZ Bx|2n<x<(2n+1)+，nZ Cx|(2n1)+<x<2n，nZ Dx|2n+<x<(2n+1)，nZ 设x为复数，M=z|(z1)2=|z1|2，那么( ) AM=纯虚数 BM=实数 C实数 M 复数 DM=复数 设实数a、b、c满足 那么，a的取值范围是( ) A(，+) B(，19，+) C(0

2、，7) D1，9 如果四面体的每一个面都不是等腰三角形，那么其长度不等的棱的条数最少为( ) A3 B4 C5 D6 平面上有一个点集和七个不同的圆C1，C2，C7，其中圆C7恰好经过M中的7个点，圆C6恰好经过M中的6个点，圆C1恰好经过M中的1个点，那么M中的点数最少为( ) A11 B12 C21 D28 边长为a、b、c的三角形，其面积等于，而外接圆半径为1，若 s=+，t=+，则s与t的大小关系是 As>t Bs=t Cs<t D不确定2填空题(本题满分28分，每小题7分)： 本题共有4个小题，每小题的答案都是000到999的某一个整数，请把你认为正确的答案填在 上 在底

3、面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，其球心距为13，若作一平面与这二球面相切，且与圆柱面交成一个椭圆，则这个椭圆的长轴长与短轴长之和是 已知f(x)=|12x|，x0，1，那么方程 f(f(f(x)=x的解的个数是 设f(x)=，那么和式f()+f()+f()+f()的值等于 ； 设x、y、z为非负实数，且满足方程468´2+256=0，那么x+y+z的最大值与最小值的乘积等于 第二试1(本题满分17分)已知实数列a0，a1，a2，满足 ai1+ai+1=2ai，(i=1，2，3，)求证：对于任何自然数n， P(x)=a0C(1-x)n+a1Cx(1-x)n-1+a2Cx2(

4、1-x)n-2+an-1Cxn-1(1-x)+anCxn是一次多项式(本题应增加条件：a0a1)2(本题满分17分)已知锐角三角形ABC的外接圆半径为R，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，求证：AD，BE，CF是ABC的三条高的充要条件是S=(EF+FD+DE）式中S是三角形ABC的面积 3平面直角坐标系中，纵横坐标都是整数的点称为整点，请设计一种染色方法将所有的整点都染色，每一个整点染成白色、红色或黑色中的一种颜色，使得 每一种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的直线上； 对任意白色A、红点B和黑点C，总可以找到一个红点D，使得ABCD为一平行四边形证明你设计的方法符合上述要求1986年

5、全国高中数学联赛解答第一试1选择题(本题满分42分，每小题7分，每小题答对得7分，答错得0分不答得1分) 设1<a<0，=arcsina，那么不等式sinx<a的解集为( ) Ax|2n+<x<(2n+1)，nZ Bx|2n<x<(2n+1)+，nZ Cx|(2n1)+<x<2n，nZ Dx|(2n1)<x<2n+，nZ 解：<<0，在(，0)内满足sinx<a的角为<x<，由单位圆易得解为D 设x为复数，M=z|(z1)2=|z1|2，那么( ) AM=纯虚数 BM=实数 C实数 M 复数 DM=

6、复数 解：即(z1)2(z1)(1)=0，Þ(z1)(z)=0，Þz=1或z=，总之，z为实数选B 设实数a、b、c满足 那么，a的取值范围是( ) A(，+) B(，19，+) C(0，7) D1，9 解：×3+：b2+c22bc+3a230a+27=0，Þ(bc)2+3(a1)(a9)=0，Þ1a9选Db2+c2+2bca2+2a1=0，(b+c)2=(a1)2，Þb+c=a1，或b+c=a+1 如果四面体的每一个面都不是等腰三角形，那么其长度不等的棱的条数最少为( ) A3 B4 C5 D6 解：取等腰四面体，其棱长至多2种长度

7、棱长少于3时，必出现等腰三角形选A 平面上有一个点集和七个不同的圆C1，C2，C7，其中圆C7恰好经过M中的7个点，圆C6恰好经过M中的6个点，圆C1恰好经过M中的1个点，那么M中的点数最少为( ) A11 B12 C21 D28 解：首先，C7经过M中7个点，C6与C7至多2个公共点，故C6中至少另有4个M中的点，C5至少经过M中另外1个点，共有至少7+4+1=12个点 边长为a、b、c的三角形，其面积等于，而外接圆半径为1，若 s=+，t=+，则s与t的大小关系是 As>t Bs=t Cs<t D不确定 解：=absinC=，由R=1，=，知abc=1且三角形不是等边三角形 +

8、=+(等号不成立)选C2填空题(本题满分28分，每小题7分)： 本题共有4个小题，每小题的答案都是000到999的某一个整数，请把你认为正确的答案填在 上 在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，其球心距为13，若作一平面与这二球面相切，且与圆柱面交成一个椭圆，则这个椭圆的长轴长与短轴长之和是 解：易得cos=，于是椭圆长轴=13，短轴=12所求和=25 已知f(x)=|12x|，x0，1，那么方程 f(f(f(x)=x的解的个数是 解：f(f(x)=|12|12x|=同样f(f(f(x)的图象为8条线段，其斜率分别为±8，夹在y=0与y=1，x=0，x=1之内它们各与线段y

9、=x (0x1)有1个交点故本题共计8解 设f(x)=，那么和式f()+f()+f()+f()的值等于 ；解 f(x)+f(1x)= +=+=1 以x=，代入式，即得所求和=500 设x、y、z为非负实数，且满足方程468´2+256=0，那么x+y+z的最大值与最小值的乘积等于 ； 解：令2=t，则得，t268t+256=0，Þ(t64)(t4)=0，Þt=4，t=64=2Þ5x+9y+4z=4，Þ9(x+y+z)=4+4x+5z4，x+y+z；4(x+y+z)=4x5y4，x+y+z1Þx+y+z，1；=6Þ5x+9y+

10、4z=36，Þ9(x+y+z)=36+4x+5z36，Þx+y+z4； 4(x+y+z)=36x5y36，Þx+y+z9故，所求最大值与最小值的乘积=´9=4第二试1(本题满分17分)已知实数列a0，a1，a2，满足 ai1+ai+1=2ai，(i=1，2，3，)求证：对于任何自然数n， P(x)=a0C(1-x)n+a1Cx(1-x)n-1+a2Cx2(1-x)n-2+an-1Cxn-1(1-x)+anCxn是一次多项式(本题应增加条件：a0a1)证明：由已知，得ai+1ai=aiai1，Þ故ai是等差数列设aiai1=d0则ak=a0+kd

11、于是P(x)=a0C(1-x)n+a1Cx(1-x)n-1+a2Cx2(1-x)n-2+an-1Cxn-1(1-x)+anCxn = a0C(1-x)n+(a0+d)Cx(1-x)n-1+(a0+2d)Cx2(1-x)n-2+(a0+(n1)d)Cxn-1(1-x)+(a0+nd)Cxn =a0C(1-x)n+Cx(1-x)n-1+Cx2(1-x)n-2+Cxn-1(1-x)+Cxn +dCx(1-x)n-1+2Cx2(1-x)n-2+(n1)Cxn-1(1-x)+nCxn (由kC=nC) =a0(1x+x)n+ndxC(1-x)n-1+Cx(1-x)n-2+Cxn-2(1-x)+Cxn1

12、=a0+ndx(1x+x)n1=a0+ndx=a0+(ana0)x此为一次多项式证毕2(本题满分17分)已知锐角三角形ABC的外接圆半径为R，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，求证：AD，BE，CF是ABC的三条高的充要条件是S=(EF+FD+DE)式中S是三角形ABC的面积 证明 连OA，则由C、E、F、B四点共圆，得ÐAFE=ÐC，又在OAB中，ÐOAF=(180°-2ÐC)/2=90°-ÐC，OAEF SOEAF=EF·=·EF，同理，SOFBD=·DF，SODCE=·DE

13、，故得S=(EF+FD+DE)反之，由S=(EF+FD+DE）得OAEF，OBFD，OCED，否则S<(EF+FD+DE）过A作O的切线AT，则AFE=TAF=ACB，ÞB、F、E、D共圆，同理，A、F、D、C共圆，A、E、D、B共圆ÞAFC=ADC，AEB=ADB AFC+AEB=ADC+ADB=180°但BFC=BEC，即AFC=AEB=90°，于是F、E为垂足，同理D为垂足故证3(本题16分)平面直角坐标系中，纵横坐标都是整数的点称为整点，请设计一种染色方法将所有的整点都染色，每一个整点染成白色、红色或黑色中的一种颜色，使得 每一种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的直线上； 对任意白色A、红点B和黑点C，总可以找到一个红点D，使得ABCD为一平行四边形证明你设计的方法符合上述要求证明：设任一点的坐标为(x，y)，把x+y1(mod 4)的点染白，x+y3(mod 4)的点染黑，x+y0或2(mod4)的点染红 显然，这样染色的点满足要求首先，每条平行于x轴的直线上