考研数学高分复习指南(理工类)

1、考研数学高分复习指南数学统考从1987年至今，其间“数学考试大纲”虽然变化不大，但每年的试题均有所创新,不过仔细分析还是万变不离其宗。只要把本书归纳总结的题型、方法和技巧掌握了，研读我们精心设置的典型例题，即可达到触类旁通、融会贯通的境界。我们要提醒读者的是，数学想要考高分，一定要了解考研数学究竟要考什么？综观这些年的试题可知，主要考查如下四个方面：（1）基础（基本概念、基本理论、基本方法）；（2）解综合题的能力；（3）分析问题和解决问题的能力，即解应用题的能力；（4）解题的熟练程度（通过大题量、大计算量进行考核）。真正了解了要考查的东西，复习时才能有的放矢。关于数学基础、数学题型与考试目标之

2、间的逻辑关系，有四句话供大家参考、体会：数学基础树的根，技巧演练靠题型;勤学苦练强磨砺，功到高分自然成。本书特点：（1）对大纲要求的重要概念、公式、定理进行剖析，增强读者对这些内容的理解和记忆，避免犯概念性错误、错用公式和定理的错误。（2）归纳、总结了二十多个思维定式，无疑这对读者解题会有所帮助，但我们的目的是引导读者去归纳总结，养成习惯。这样应试的时候就能很快找到解题突破口。（3）用“举题型讲方法”的格式代替传统的“讲方法套题型”的做法，使读者应试时，思路畅通、有的放矢，许多书的跟进也说明这种做法的确很有效。（4）广泛采用表格法，使读者便于对照、比较，对要点一目了然。（5）介绍许多新的快速解

3、题方法和技巧。例如，中值定理证明中的辅助函数的做法、不定积分中的凑微分法、不等式证明尤其是定积分不等式的证明方法等，都是我们教学研究的成果，对读者应试能起到“事半功倍”的效果。（6）创新设计出很多好的例题，以期提高读者识别题型变异的能力。本书是世界图书出版公司连续第17次修订版，本次修订幅度较大，主要从以下几方面对该书进行了完善和提升：一是对某些概念作了更系统的阐述，使知识体系更加完整，降低了学生的理解难度。例如，对于对于二重积分的上、下、左、右四种偏心圆的极坐标表示、矩阵可逆的充分必要条件、如何由分布函数在一点处的概率等；1 / 30二是由于每年的试题中，对以前的考题都有一定的重复率，而且由

4、真题可以看出近年的试题的难度和变化趋势，因此在这次修订中增加了大量的历年真题。另外，对一些偏题、重题、怪题进行了彻底解决。总之，本次修订，无论从质量、体系还是难易程度、趋势把控等方面都让该书上了一个新台阶，做到了真正的与时俱进！图书目录篇要高数解题的四种思维定势1第1篇高等数学第1章函数·极限·连续7§11函数7一、函数的定义7二、函数的定义域的求法8三、函数的基本性质9四、分段函数14五、初等函数14§12函数的极限及其连续性17一、概念17二、重要定理与公式21§13极限的求法28一、未定式的定值法28二、类未定式32三、数列的极限34四、

5、极限式中常数的确定(重点)38五、杂例41习题144第2章导数与微分48§2.1定义·定理·公式48一、导数与微分的定义48二、定理51三、导数与微分的运算法则52四、基本公式52§2.2各类函数导数的求法52一、复合函数微分法及反函数求导数52二、参数方程微分法54三、隐函数微分法55四、幂指函数微分法56五、函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法57六、分段函数微分法58§2.3高阶导数59一、定义与基本公式59二、高阶导数的求法60习题263第3章不定积分67§31不定积分的概念与性质67一、不定积分的概念67二

6、、基本性质67三、基本公式68§3.2基本积分法69一、第一换元积分法(也称凑微分法)69二、第二换元积分法72三、分部积分法75§3.3各类函数积分的技巧及分析80一、有理函数的积分80二、简单无理函数的积分81三、三角有理式的积分82四、含有反三角函数的不定积分86五、抽象函数的不定积分86六、分段函数的不定积分87习题388第4章定积分及反常积分92§4.1定积分性质及有关定理与公式92一、基本性质92二、定理与公式97§42定积分的计算法100一、牛顿莱布尼茨公式100二、定积分的换元积分法100三、定积分的分部积分法102§4.3特殊

7、形式的定积分计算103一、分段函数的积分103二、被积函数带有绝对值符号的积分105三、被积函数中含有“变限积分”的积分107四、对称区间上的积分109五、被积函数的分母为两项，而分子为其中一项的积分110六、由三角有理式与其他初等函数通过四则或复合而成的函数的积分111七、杂例112§4.4定积分有关命题证明的技巧113一、定积分等式的证明113二、定积分不等式的证明121习题4-1126§4.5反常积分128一、基本概念128二、题型归纳及思路提示129习题4-2132第5章中值定理的证明技巧133§5.1连续函数在闭区间上的性质133一、基本定理133二、有

8、关闭区间上连续函数的命题的证法133习题5-1135§5.2微分中值定理及泰勒公式136一、基本定理136二、泰勒公式137§5.3证题技巧分析140一、欲证结论：至少存在一点(a,b)，使得f(n)()=0的命题证法140二、欲证结论：至少一点(a,b)，使得关于a,b,f(a),f(b),f(),f(),f(n)()代数式的证明143三、欲证结论：在(a,b)内至少，满足某种关系式的命题证法146§5.4积分中值定理147§5.5关于中值位置的讨论148习题5-215第6章一元微积分的应用152§6.1导数的应用152一、利用导数判别函数的

9、单调增减性152二、利用导数研究函数的极值与最值153三、关于方程根的研究158四、函数作图162§62定积分的应用166一、微元法及其应用166二、平面图形的面积167三、立体体积169四、平面曲线的弧长170五、旋转体的侧面积171六、变力作功、引力、液体的静压力172习题6174第7章矢量代数与空间解析几何177§7.1矢量的概念及其性质177一、概念及其运算177二、矢量之间的关系178§7.2平面与直线182§7.3投影方程186§7.4曲面方程188习题7193第8章多元函数微分学195§8.1概念、定理与公式195一、二

10、元函数的定义195二、二元函数的极限及连续性196三、偏导数、全导数及全微分198§8.2多元复合函数微分法203一、复合函数微分法203二、隐函数微分法206§8.3多元函数的极值210一、概念、定理与公式210二、无条件极值211三、条件极值213§8.4多元函数微分学在几何上的应用218一、空间曲线在某点处的切线和法平面方程218二、空间曲面在其上某点处的切平面和法线方程219习题8220第9章重积分223§9.1概念·性质223一、概念223二、性质233§9.2二重积分的解题技巧226一、Df(x,y)d的解题程序226二、

11、直角坐标系中积分限的确定227三、极坐标系中积分限的确定227四、典型例题分析229§9.3*三重积分239一、f(x,y,z)dv的解题程序239二、坐标系的选择239三、球面坐标系中积分限的确定240四、更换积分次序241五、三重积分计算242§9.4二、三重积分的应用244习题9249第10章无穷级数253§10.1基本概念及其性质253§10.2数项级数判敛法256一、正项级数n=1un，(un0)敛散性的判别法256二、交错级数n1(-1)n-1un(un0)的判敛法260三、任意项级数261四、杂例266§10.3幂级数267一、函

12、数项级数的概念267二、幂级数269§10.4无穷级数求和275一、幂级数求和函数275二、求数项级数的和280§10.5傅里叶级数283一、概念、定理283二、周期与非周期函数的傅里叶级数285习题10289第11章曲线、曲面积分及场论初步293§11.1曲线积分的概念及性质293一、对弧长的曲线积分293二、对坐标的曲线积分293三、两种曲线积分之间的关系294§11.2曲线积分的理论及计算方法294一、基本定理294二、对弧长的曲线积分的计算方法295三、对坐标的曲线积分LP(x,y)dx+Q(x,y)dy的计算法297§11.3曲面积分

13、的概念与性质303一、对面积的曲面积分303二、对坐标的曲面积分304三、两种曲面积分之间的关系304§11.4曲面积分的理论与计算方法304一、基本定理304二、对面积的曲面积分的计算法305三、对坐标的曲面积分的计算法306§11.5场论初步312一、概念与公式312二、例题选讲314习题11317第12章常微分方程318§12.1概念318§12.2一阶微分方程319一、变量可分离的微分方程319二、齐次方程321三、一阶线性微分方程322四、伯努利方程327五、全微分方程328§12.3可降阶的高阶方程330一、可降阶的高阶方程解法一览

14、表330二、解题技巧及分析330§124高阶线性微分方程331一、二阶线性微分方程解的结构331二、二阶常系数线性微分方程333三、n阶常系数线性方程334四、欧拉方程340§12.5微分方程的应用341一、在几何中的应用341二、在力学中的应用343习题12344第13章函数方程与不等式证明346§13.1函数方程346一、利用函数表示法与用何字母表示无关的“特性”求解方程346二、利用极限求解函数方程347三、利用导数的定义求解方程348四、利用变上限积分的可导性求解方程348五、利用连续函数的可积性及原函数的连续性求解349六、利用解微分方程的方法求解f(x

15、)350§13.2不等式的证明352一、引入参数法352二、利用微分中值定理353三、利用函数的单调增减性(重点)355四、利用函数的极值与最值356五、利用函数图形的凹凸性358六、利用泰勒展开式358七、杂例359习题13361篇要线性代数的八种思维定势364第2篇线性代数第1章行列式368§11行列式的概念368一、排列与逆序368二、n阶行列式的定义369§12性质、定理与公式370一、行列式的基本性质370二、行列式按行(列)展开定理373三、重要公式与结论373§1.3典型题型分析374题型一抽象行列式的计算374题型二低阶行列式的计算375

16、题型三n阶行列式的计算377§14杂例382习题一384第2章矩阵387§21矩阵的概念与运算387一、矩阵的概念387二、矩阵的运算387§22逆矩阵390一、逆矩阵的概念390二、利用伴随矩阵求逆矩阵391三、矩阵的初等变换与求逆393四、分块矩阵及其求逆394五、矩阵的秩及其求法394§23典型题型分析395题型一求逆矩阵395题型二求矩阵的高次幂Am.398题型三有关初等矩阵的命题400题型四解矩阵方程401题型五求矩阵的秩403题型六关于矩阵对称、反对称命题的证明405题型七关于方阵A可逆的证明405题型八与A的伴随阵A*有关联的命题的证明40

17、6题型九关于矩阵秩的命题的证明408习题2410第3章向量415§31基本概念415一、向量的概念与运算415二、向量间的线性关系415三、向量组的秩和矩阵的秩416§3.2重要定理与公式417§33典型题型分析418题型一讨论向量组的线性相关性418题型二有关向量组线性相关性命题的证明421题型三判定一个向量是否可由一组向量线性表示428题型四有关向量组线性表示命题的证明431题型五求向量组的极大线性无关组432题型六有关向量组或矩阵秩的计算与证明434题型七与向量空间有关的命题437习题3440第4章线性方程组444§4.1概念、性质、定理444一、

18、克莱姆法则444二、线性方程组的基本概念445三、线性方程组解的判定446四、非齐次线性方程组Ax=b与齐次线性方程组Ax=0解的关系446五、线性方程组解的性质446六、线性方程组解的结构446§42典型题型分析448题型一基本概念题(解的判定、性质、结构)448题型二含有参数的线性方程组解的讨论451题型三讨论两个方程组的公共解457题型四有关基础解系的证明461题型五综合题462习题4467第5章特征值和特征向量471§51概念与性质471一、矩阵的特征值和特征向量的概念471二、特征值与特征向量的计算方法471三、相似矩阵及其性质472四、矩阵可相似对角化的充要条件

19、472五、对称矩阵及其性质472§52重要公式与结论473§53典型题型分析474题型一求数值矩阵的特征值与特征向量474题型二求抽象矩阵的特征值、特征向量476题型三特征值、特征向量的逆问题478题型四相似的判定及其逆问题480题型五判断A是否可对角化482题型六综合应用问题485题型七有关特征值、特征向量的证明题491习题5493第6章二次型496§61基本概念与定理496一、二次型及其矩阵表示496二、化二次型为标准型496三、用正交变换法化二次型为标准形497四、施密特（Schmidt）正交化方法497五、二次型和矩阵的正定性及其判别法498六、正交矩阵5

20、01§62典型题型分析501题型一二次型所对应的矩阵及其性质501题型二实对称矩阵相似对角化问题503题型三化二次型为标准形505题型四已知二次型通过正交变换化为标准形，反求参数508题型五有关二次型及其矩阵正定性的判定与证明510题型六合同矩阵512习题6513篇要概率统计的九种思维定势515第3篇概率论与数理统计第1章随机事件和概率519§1基本概念、性质与公式519一、随机试验和随机事件519二、事件的关系及其运算519三、事件的概率及其性质521四、条件概率与事件的独立性523五、重要概型524六、重要公式525§2典型题型分析525题型一古典概型与几何概

21、型525题型二事件的关系和概率性质的命题528题型三条件概率与积事件概率的计算530题型四全概率公式与Bayes公式的命题531题型五有关Bernoulli概型的命题534习题1536第2章随机变量及其分布539§1基本概念、性质与公式539一、概念与公式一览表539二、重要的一维分布542三、重要的二维分布544§2典型题型分析545题型一一维随机变量及其分布的概念、性质的命题545题型二求一维随机变量的分布律、概率密度或分布函数548题型三求一维随机变量函数的分布553题型四二维随机变量及其分布的概念、性质的考查557题型五求二维随机变量的各种分布与随机变量独立性的讨论559题型六求两个随机变量的简单函数的分布565习题2571第3章随机变量的数字特征578§1基本概念、性质与公式578一、一维随机变量的数字特征578二、二维随机变量的数字特征580三、几种重要的数学期望与方差581四、重要公式与结论582§2典型题型分析582题型一求一维