32导数的计算第2课时导数的运算法则

1、第2课时 导数的运算法则 基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式(1)(1)若若f(xf(x) )c(c(常数常数) )，则，则f(xf(x) ) . .(2)(2)若若f(xf(x) )x x( (QQ) )，则，则f(xf(x) ) . .(3)(3)若若f(xf(x) )sin xsin x，则，则f(xf(x) ). .(4)(4)若若f(xf(x) )coscos x x，则，则f(xf(x) ). .0 0 xx1 1coscos x xsin sin x x(5)(5)若若f(xf(x) )a ax x，则，则f(xf(x) ) . .(6)(6)若若f(xf(x) )e

2、ex x，则，则f(xf(x) ) . .(7)(7)若若f(xf(x) )logloga ax x，则，则f(xf(x) ) . .(8)(8)若若f(xf(x) )lnln x x，则，则f(xf(x) ) . .a ax xlnln a(aa(a0) 0) e ex x1(a0,a1)xlna且且1x1.1.掌握导数的和、差、积、商的求导法则掌握导数的和、差、积、商的求导法则. . （重点）（重点）2.2.会运用导数的四则运算法则解决一些函数会运用导数的四则运算法则解决一些函数 的求导问题的求导问题. .（难点）（难点）法则法则1:1:两个函数的和两个函数的和( (差差) )的导数的导数

3、, ,等于等于这两个函数的导数的和这两个函数的导数的和( (差差),),即即: :( )( )( )( ).f xg xfxg x法则法则2:2:两个函数的积的导数两个函数的积的导数, ,等于第一个等于第一个函数的导数乘第二个函数函数的导数乘第二个函数, ,加上第一个函加上第一个函数乘第二个函数的导数数乘第二个函数的导数 , ,即即: :( )( )( ) ( )( )( ).f x g xfx g xf x g x探究探究 导数的运算法则导数的运算法则: :法则法则3:3:两个函数的商的导数两个函数的商的导数, ,等于第一个函等于第一个函数的导数乘第二个函数数的导数乘第二个函数, ,减去第一

4、个函数乘减去第一个函数乘第二个函数的导数第二个函数的导数 , ,再除以第二个函数的再除以第二个函数的平方，即平方，即: : 20( )( ) ( )( )( )( ( ).( )( )f xfx g xf x g xg xg xg x 由由法则法则2:2: ( )( )( )( ).Cf xC f xCfxCfx 例例1 1 求函数求函数y=xy=x3 3-2x+3-2x+3的导数的导数. .解解: :y y=(x=(x3 3-2x+3)-2x+3)=(x=(x3 3) )-(2x)-(2x)+(3)+(3)=3x=3x2 2-2-2，所以所以, ,所求函数的导数是所求函数的导数是y y=3x

5、=3x2 2-2.-2.求下列函数的导数求下列函数的导数:答案答案: :23141 ( ) .yxx 22 2121( ).()xyx 2121 ( ).yxx221( ). xyx【变式变式练习练习】5 28480100100 ().xx 日日常常生生活活中中的的饮饮用用水水通通常常是是经经过过净净化化的的，随随着着水水纯纯净净度度的的提提高高，所所需需净净化化费费用用不不断断增增加加. .已已知知1 1吨吨水水净净化化到到纯纯净净度度为为x%x%时时所所需需费费用用（单单位位: :元元）为为：c(x)=c(x)=求求净净化化到到下下列列纯纯净净度度时时，所所需需净净化化费费用用的的瞬瞬时时

6、变变化化率率. .(1)90%. (2)(1)90%. (2)例例2 2 98%.98%.净净化化费费用用的的瞬瞬时时变变化化率率就就是是净净化化费费用用解解: :函函数数的的导导数数。25 2841005 2841005 284100100=(=( ( )( ) () ()()cxxxxx 25 284100 .()x 201005 2841100() ()()xx . .25 284100( ).) (cxx 25 28419052 8410090 因因为为( )().,()c 25 2842981 32110098 因因为为 ( )(),()c 所以纯净度为所以纯净度为98%98%时，净

7、化费用的瞬时变化率时，净化费用的瞬时变化率是是1 3211 321元元/ /吨吨. .所所以以纯纯净净度度为为9 90 0% %时时，净净化化费费用用的的瞬瞬时时变变化化率率是是5 52 2. .8 84 4元元/ /吨吨. . 函数函数f(xf(x) )在某点处导数的大小表示函数在此点附在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢近变化的快慢. .由上述计算可知由上述计算可知 . .它它表示纯净度为表示纯净度为98%98%左右时净化费用的变化率左右时净化费用的变化率, ,大约是纯大约是纯净度为净度为90%90%左右时净化费用变化率的左右时净化费用变化率的2525倍倍. .这说明这说明, ,

8、水的纯净度越高水的纯净度越高, ,需要的净化费用就越多需要的净化费用就越多, ,而且净化费而且净化费用增加的速度也越快用增加的速度也越快. .(98)25 (90)cc【提升总结提升总结】1 1若若f(xf(x) )与与g(xg(x) )是定义在是定义在R R上的两个可导函数，且上的两个可导函数，且f(xf(x) )，g(xg(x) )满足满足f f (x(x)=)=g g (x(x) )，则，则f(xf(x) )与与g(xg(x) )满足满足 （ ） A.f(xA.f(x) )g(xg(x) ) B.f(xB.f(x) )g(xg(x) )为常数函数为常数函数 C.f(xC.f(x)=)=g

9、(xg(x)=0 )=0 D.f(x)+g(xD.f(x)+g(x) )为常数函数为常数函数B B2 2函数函数y y= =sinsinx x(cos(cosx x1)1)的导数为的导数为 . .y y=cos2x+cosx=cos2x+cosx 3 3（20132013江西高考）若曲线江西高考）若曲线y=xy=x2 2+1+1（RR）在点）在点（1 1，2 2）处的切线经过坐标原点，则）处的切线经过坐标原点，则= 2 24.4.求下列函数的导数求下列函数的导数: :答案答案: :2111( ).yx 212( ).cosyx 355( )ln .xy 1(1).yxx(2)tan .yx(3

10、)5 .xy5 5已知抛物线已知抛物线y=xy=x2 2bxbxc c在点在点(1(1，2)2)处与直线处与直线y=xy=x1 1相切，求相切，求b b，c c的值的值解：解：y=2x+by=2x+b因为因为y=xy=x1 1的斜率为的斜率为1 1，所以所以1=2+b,1=2+b,所以所以b=-1.b=-1.又因为点（又因为点（1,21,2）在抛物线上，）在抛物线上，所以所以c=2.c=2.1,2 bc答案答案: :6.6.如果曲线如果曲线 y=xy=x3 3+x-10+x-10 的某一切线与直线的某一切线与直线 y=4x+3y=4x+3 平行平行, , 求切点坐标与切线方程求切点坐标与切线方

11、程. .解解: : 因为切线与直线因为切线与直线 y=4x+3y=4x+3 平行平行, , 所以切线的斜率为所以切线的斜率为 4 4. .又切线在又切线在 x x0 0 处的斜率为处的斜率为 y y | | x=x x=x0 0所以所以3x3x0 02 2+1=4+1=4，所以所以x x0 0= = 1 1. .当当 x x0 0=1=1 时时, y, y0 0=-8;=-8; 当当 x x0 0=-1=-1 时时, y, y0 0=-12. =-12. 所以切点坐标为所以切点坐标为 (1, -8)(1, -8) 或或 (-1, -12)(-1, -12). .切线方程为切线方程为 y=4x-

12、12y=4x-12 或或 y=4x-8y=4x-8. .=(=(x x3 3+x-10+x-10) ) | | x=x x=x0 0 =3x=3x0 02 2+1+1，7.7.某运动物体自始点起经过某运动物体自始点起经过t t秒后的距离秒后的距离s s满足满足s=s= -4t -4t3 3+16t+16t2 2. .(1)(1)此物体什么时刻在始点此物体什么时刻在始点? ?(2)(2)什么时刻它的速度为零什么时刻它的速度为零? ?414t解解:(1):(1)令令s=0,s=0,即即 t t4 4-4t-4t3 3+16t+16t2 2=0,=0,所以所以t t2 2(t-8)(t-8)2 2=0,=0,解得解得t t1 1=0,t=0,t2 2=8.=8.故在故在t=0t=0或或t=8t=8秒末的时刻此物体在始秒末的时刻此物体在始点点. .(2)(2) 即即t t3 3-12t-12t2 2+32t=0,+32t=0,解得解得t t1 1=0,t=0,t2 2=4,t=4,t3 3=8,=8,为为 3 32 2因因s s( (t