考研数学复习高等数学第七章无穷级数

1、第七章 无穷级数【数学1要求，3傅里叶系数之前内容要求】2013考试内容常数项级数的收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念 级数的基本性质与收敛的必要条件 几何级数与p级数及其收敛性 正项级数收敛性的判别法 交错级数与莱布尼茨定理 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 函数项级数的收敛域与和函数的概念 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域 幂级数的和函数 幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 初等函数的幂级数展开式 函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数 狄利克雷（Dirichlet）定理 函数在l，l上的傅里叶级数 函数在0，l上的正弦级数和余弦级数2013考

2、试要求1. 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。2. 掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件。3. 掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。4. 掌握交错级数的莱布尼茨判别法。5. 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。6. 了觖函数项级数的收敛域及和函数的概念。7. 理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。8. 了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。9. 了解函数展

3、开为泰勒级数的充分必要条件。10. 掌握的麦克劳林（Maclaurin）展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数。11. 了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在0，l上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。一、三基层面及其拓展1. 级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯一，即：存在，称级数收敛。2. 级数的本质：级数就是限项求和，记为，虽然在形式上是用加法依次连成，但在意义上与有限项求和形式完全不同。 从有限到无限发生了本质的变化，如级数一般不满足结合律（可任意加括号）和交换律（可任意变换相加顺序），只有当级数收敛时才满足结合律，当级数绝对数收敛时才满足

4、交换277 / 75律。所以，无穷级数不能看成是有限项相加，只是形式上的记号而已。 无穷级数的特征就是收敛性，收敛性的定义就是部分和极限存在，只有在收敛时，才能讨论无穷级数的性质。研考数学需要掌握的级数对象分为三类：常数项级数（正项、负项、交错和任意项），函数项级数（只要求掌握幂级数），傅里叶级数。研究常数项级数首先是研究正项级数（又称不变号级数，因为正项级数的全部收敛性质也代表负项级数）分为收敛和发散两种；任意项级数（又称变号级数，包含交错级数）如分为绝对收敛与发散，条件收敛与发散两组，若任意项级数收敛，发散，则称条件收敛，若收敛，则称级数绝对收敛，绝对收敛的级数一定条件收敛。任意项级数（如

5、）加上绝对值后就是正项级数，交错级数（如）是任意项级数的特例，故判别它们的收敛性，就必须首先考虑其绝对收敛性，这时，所有正项级数的判敛法都能使用。如果任意项级数不绝对收敛，原级数不一定发散，需要用其他方法判别，如对交错级数使用莱布尼茨定理判敛。而其它不绝对收敛的任意项级数类型一般使用拆项法或定义法，更复杂的类型不是考研数学的大纲范畴，。级数收敛时，去掉有限个项不影响其收敛性，如去掉奇次项或偶次项（无限次），则会影响收敛性，如，则收，发，。3. 任何级数收敛的必要条件是这是因为部分和 4 若有两个级数和，则 ，。 收敛，发散，则发散。 若二者都发散，则不确定，如发散，而收敛。【例1】已知级数。解

6、： 5三个必须记住的常用于比较判敛的参考级数：a) 等比级数：b) P级数： c) 对数级数： 6 斯特定公式：【例2】 7 下面三个重要结论及其证明方法具有代表性，请读者反复历练。收敛存在证明：正项（不变号）级数收收，反之不成立，如果不是不变号级数，则无此结论。证明：和都收敛收，收证明：【例3】设，单调递减，发散，试证明：收敛。证明：因为，单调递减，则必存在，设， 由于发散，可推出（否则，由莱布尼茨定理判定必收敛。） 又， ， 【例4】 设 证明： 收 证明： 如 则 有界性： 而 即有下界1；单调性： 故单调不增 由单调有界性定理 且由于 根据重要结论1： ， 由比较法知 收敛。【例5】设

7、收敛正项，收敛，试讨论的敛散性。 解： 不知道是正项还是正负相间的交错级数？或是正负任意项级数，所以应首先讨论其绝对收敛性。 因为收敛，根据重要结论1： ，则有界，不妨设 则 绝对收敛。8 常用收敛快慢正整数 由慢到快连续型 由慢到快例如根据上面的规律可以快速判断 等等。二、正项（不变号）级数敛散性的判据与常用技巧1. 达朗贝尔比值法 2. 柯西根值法 3. 比阶法 代数式 极限式 ，其中：和都是正项级数。 陈氏第17技 大收小收，小发大发，同阶同敛散。只有大收小发情形下，比较法才可判敛。 判别正项级数收敛的一般思路：先看是否成立，如不成立，则发散，如收敛，则根据级数通项的特点考虑比值法或根值

8、法，如果比值法或根值法的极限不易求出或等于1，则使用比较法或其极限形式。 比阶法的极限形式是核心方法，必须熟谙陈氏第17技，否则读者在做题时会糊涂。比较法中最常用的技巧是找到合适的基准级数，主要技巧有3：对原级数通项放缩（如算术平均几何平均等常用不等式）、利用等价无穷小及利用佩亚若余项泰勒展开。 凡是由达朗贝尔比值法给出的收敛性结论，由柯西根值法必可以给出相同的结论；反之却不一定。【例6】讨论级数的收敛性。 解：根据达朗贝尔比值法，有 根据柯西根值法，有 【例7】，试讨论级数的敛散性。 解：【例8】判别（1） 和（2） 的敛散性。解：(1) 根据只有大收小发才可判敛的原则，无法判断的敛散性；

9、显然，要想办法让比较极限为零。 故我们另选参考级数根据大收小收，小发大发 ， (2)对 选比较基准级数 故原级数收敛。评 注：如能利用等价无穷小等手段估计出级数一般项的阶次，选用的比较基准级数形式就很容易确定。 如级数，可直接选用基准级数就可知原级数收敛。 又如级数，也可选用基准级数就可知原级数收敛。【例9】判别级数的敛散性 解 方法一：试探比阶法 上述极限=，故原级数收敛。 方法二：泰勒展开法 三、任意项级数的敛散性的判据与常用技巧 莱布尼茨判交错级数（任意项级数的特例） 收敛。这是一个必要条件，如果不满足，则必发散，若只有不满足，则不一定收敛还是发散，要使用绝对收敛判别其敛散性。 任意项级

10、数判敛使用绝对值，使之转换为正项级数，即绝对收敛、条件收敛或发散。 任意项级数判敛的两个重要技巧： 微分积分法。换成连续变量，再利用微积分相关定理与性质。 阶无穷小试探法。在不能估计出通项的无穷小阶次时，使用该试探法， 见【例10】判别级数的敛散性。【例10】设在上单调增加有界，求证：收敛。证明： 又题知在上单调增加有界，故存在，则收敛，由正项级数的比较法知：收敛。【例11】设在（0，1）内可导，且导数有界，证明： （1）绝对收敛 （2） 证明：（1）有界，则常数M>0 由拉格朗日中值定理有 由比较法知 绝对收敛。 （2）证 而为常数。故 【例12】设的收敛性解： 比增加快，故，由莱布尼

11、茨判据知原级数收敛。 又 （很大时） 而，故发散。即原级数条件收敛。【例13】讨论的敛散性解：故，原级数条件收敛。【例14】判别级数的敛散性 解：令，考察当时是是几阶无穷小？先用阶试探，则： 当时，由于，此时比较基准为发散级数；当时，由于，此时比较基准为收敛级数；根据大收小收，小发大发，同阶同敛散原则，判断如下：当时1）取 ，无法判断敛散性； 2）取，则原级数，故收敛；当时1）取，显见原级数收敛性与敛散性相同，故发散；2）取，虽然，但极限不唯一，无法判断。综上所述， 原级数收敛 原级数发散【例15】 的敛散性 解：利用第三个比较基准，容易得到： 故原级数发散。【例16】 设在的某一邻域内具有不

12、为零的二阶连续导数，且，证明绝对收敛。 证明（一）： 而在x=0某邻域内连续，则，在某一小邻域内 收，故原命题成立 证明（二）： 令代入上式即得结论。【例17】 的敛散性。 解 命 ，故>0，单调减少； 由莱布尼茨定理知 收敛。又：，发，故发原级数条件收敛。【例18】 的敛散性 解： 形式中，命发，绝对不收敛；显然不单调减少，莱布尼茨判剧失效。 但 原级数不一定发散 折项法 收，而，收 故原级数条件收敛。【例19】 已知 ，收，证明：收 证明：用定义法证明之：设部分和为，则 时， ， 由级数收敛定义知收敛【例20】 判别下列命题的正误（1）发（>0） (2) 收 收 (3) 收 收

13、 (4) 则和有相同的敛散性 (5) 至少一个发，则发 (6) 收均收 (7) 若为正项级数，收 (8) 收收解：（1）错误。如反例：； （2）错误。如反例：； （3）错误。如反例：； （4）错误。因为只对不变号级数才成立，否则极限可能不唯一，无法判断，见【例10】； （5）正确，反证如下：因为 ，与条件矛盾。 （6）错误，如反例：； （7）错误，如反例：；（8）正确，证明如下： 因为 ，而：收敛都收敛， 但 【例21】设级数收敛，下列必收敛的级数是（ ）。 （A） （B） （C） （D） 解： （A）取，则命题错误； （B）取，则命题错误；（C）取，则命题错误；（D），收敛， 则命题正确。【

14、例22】设级数，且收敛，则级数（ ）。 （A）收敛 （B） 发散（C）不定 （D） 与有关解：取，则命题（A）正确。 【例23】设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是（ ）。 若收敛，则收敛。 若单调，则收敛。 若收敛，则收敛。 若单调，则收敛。解： 因为在内单调有界，如单调，则单调有界，故收敛。 正确。【例24】举例说明： 1）级数条件收敛结合性成立，交换性不一定成立，如级数不收敛， 则结合性和交换性都不一定成立。 2）级数绝对收敛结合性成立，交换性也成立。解：1）如 发散，而 ，故收 结果可能为1或零，故发散。 2）又如条件收敛， 但交换位置后 故交换律不成立。四、幂级数 1阿贝尔（

15、Abel）定理如果级数当点收敛，则级数在圆域内绝对收敛；如果级数当点发散，则级数在圆域外发散。由阿贝尔（Abel）定理可见收敛点集或发散点集是分别连接成对称连续区域，这一定理是引入幂级数收敛半径、收敛区间和收敛区域概念的理论依据。注意，除外，该定理并没有完全保证圆上每一点的敛散性，正确理解阿贝尔定理是学好幂级数的关键。如推论：如果不是仅在一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数存在，使得：陈氏第18技 如果所给级数为在点收敛，则相当于在处收敛，显然的收敛半径。如果所给级数为在点发散，则相当于在处发散，显然的收敛半径。2幂级数收敛半径、收敛区间和收敛区域已知，若；则根据比值判敛法

16、有：收敛。收敛半径：。收敛区间：级数在收敛；幂级数的收敛区间是非空点集，对至少在处收敛，对至少在处收敛。由阿贝尔定理可以推出：幂级数的条件收敛点只能位于收敛区间端点。收敛域：由于级数在收敛区间的端点上（收敛半径上）收敛性待定，故收敛域是、或四种情况之一。 3在收敛区域内的性质 (1) 的和函数连续并有任意阶导数； (2) 可逐项微分 (3) 可逐项积分 (4) 绝对收敛。4利用泰勒公式可将常用初等函数展开成幂级数泰勒级数展开的充要条件是泰勒公式中余项（包括拉氏余项，佩亚若余项）为零。以下是几个常用的麦克劳林展开结论。 ，5. 幂级数求和方法 函数项级数求和方法 一般先求收敛域，然后逐次积分或微

17、分，利用上述10各泰勒级数结论进行零部件组装 数项级数求和方法 构造辅助幂级数法。【例25】已知级数在收敛，试确定的取值范围。解：的收敛半径为： 【例26】设幂级数在条件收敛，证明：幂级数在发散。解： 显然两个级数有相同的收敛半径。且收敛区间的中点相同，都为。因为在条件收敛，根据阿贝尔定理：绝对收敛区间为，即求得的两个边界点为。而不在收敛域内，故幂级数在发散。【例27】设幂级数在时条件收敛，则在处的收敛性如何？ 解：在时条件收敛，相当于在条件收敛， 又由阿贝尔定理知：对应的级数的收敛半径为， 而的收敛半径与相等，故收敛区间为 不在收敛区间内，故发散。【例28】已知幂级数在处收敛，则在处发散，求

18、幂级数的收敛性域。 解：幂级数在处收敛，相当于在收敛，由阿贝尔定理知：的收敛半径为；幂级数在处发散，相当于在处发散，由阿贝尔定理知：对应的级数的收敛半径为，所以，收敛半径也；收敛区间为。要使收敛，则必须满足：。【例29】设幂级数在时条件收敛，则的收敛性如何？解：对应的级数的收敛半径为。 而是相当于幂级数在处的正数项级数形式，又因为，故绝对收敛，因此收敛。【例30】设幂级数在处收敛，则的收敛性如何？解：在处收敛 【例31】设存在，且，讨论级数的收敛性。解：利用佩亚诺余项麦克劳林形式把泰勒展开，得： ，【例32】试确定的收敛半径、收敛区间和收敛区域。解：令收敛半径：；收敛区间：收敛区域： 故收敛区

19、域为。【例33】试确定的收敛区域。解：令 ，没有幂级数形式，所以不能讨论收敛半径，但可视为“数项级数”讨论。可见，尽管时原级数收敛，但本题，这种情况并不存在，我们只要讨论情形下的取值范围对原级数收敛性的影响。【例34】将展开成的幂级数，并求。解: 【例35】将展开为的幂级数。解： 【例36】将函数在处展开为幂级数，并求解：【例37】设 试将展开成的幂级数，并求的和。解：令 【例38】求的收敛域及。解：令收敛区间 ；由于或 原级数也收敛，故收敛域为 ；而恒成立（与无关），又时 u=1, 故 ； 其中：【例39】 求的和函数。 解： 【例40】 求和函数 解：收敛域-1，1， 【例41】 设有幂级

20、数 ，求（1）收敛半径与收敛域（2）和函数在收敛区间内的导函数解：（1）将 化成二个级数 之和在时， 它们都收敛，故收敛域为 （2）令 【例42】 将函数 展开为x的幂级数，弄求的和。解：【例43】 求 -2，2 解： 令 在收敛域内是连续的【例44】 【例45】 求 解：【例46】求 解：显然 【例47】 求 【例48】求 解： 【例49】求 解：【例50】 求 之和解：因为： 【例51】设，求的幂级数。解：五、付立叶级数 1周期函数展开成付里叶级数为在上周期为的周期函数，则特别地，当时 当是偶函数 当是奇函数2非周期函数展开成付里叶级数方法 如果非周期函数只是定义在区间，两种区间可以令相互

21、转换，为了利用付里叶级数展开，必须将拓展，其方式有两种，即：（1）偶拓展 令 ，使成为上的周期偶函数，展开后取上的函数值即为的付里叶展开。（2）奇拓展 令 ，使成为上的周期奇函数，展开后取上的函数值即为的付里叶展开。3狄利克雷收敛定理设函数在上连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点，则的付里叶级数收敛。并且：【例52】将函数展开成正弦级数。 解：展开成正弦级数需要对奇拓展。（展开成余弦级数需要对偶拓展。） 【例53】将函数展开成余弦级数，并求的和。解：将进行偶拓展： 【例54】 展开为付氏级数，并求 之和。解：将 拓展成周期为2的函数进行付氏展开 ， 则 令 设 【例55】将展开成付里叶级数，并讨论起收敛性。解： ，它是以为周期的周期函数，且只存在第一类间断点，满足 由狄利克雷收敛定理知，展的付里叶级数在上收敛于，即： 是偶函数， 上式对仍然成立，因为以为周期。 【例56】设为周期为2的周期函数，在上定义为 ，则的付里叶级数在收敛于_.解：根据题狄利克雷定理：的付里叶级数在收敛于。【例57】将函数展开为周期为2的正弦函数，求。解：展开成正弦级数需要把奇拓展为。 ，而为的第一类间断点，根据狄利克雷收敛定理 【例58】设，而