高量8-角动量表象

1、18 8 角动量算符和角动量表象角动量算符和角动量表象8.1 8.1 几种角动量算符几种角动量算符一、几种角动量一、几种角动量1. 轨道角动量轨道角动量PRLkkijkjiLiLL,2. 自旋角动量自旋角动量 自旋角动量没有经典对应，同这个粒子的位置和自旋角动量没有经典对应，同这个粒子的位置和动量没有任何关系。人们根据自旋角动量与轨道角动量没有任何关系。人们根据自旋角动量与轨道角动量具有相类似的物理性质，作出了以下假定：动量具有相类似的物理性质，作出了以下假定：2（1） 分量满足相似的对易关系分量满足相似的对易关系kkijkjiSiSS,（2） 粒子自旋角动量各分量算符与粒子的粒子自旋角动量各

2、分量算符与粒子的 位置及动量算符均对易位置及动量算符均对易 这是一个新的假设，是五条基本原理推不出这是一个新的假设，是五条基本原理推不出来的，可以将其补充到有关对易关系的原理来的，可以将其补充到有关对易关系的原理 3 中。这样就产生了总角动量概念。中。这样就产生了总角动量概念。3. 总角动量总角动量两个含义：两个含义：21JJJSLJ设总角动量为设总角动量为)2()1(JJJ下面求其对易关系。下面求其对易关系。3首先根据原理首先根据原理3，不论，不论 代表什么角动量，代表什么角动量，都有都有)2()1(,JJ0,)2()1(JJ即二者的任意分量都对易。即二者的任意分量都对易。SLJ以以 为例证

3、明如下：为例证明如下：,jjiijiSLSLJJ,jijiSSLLkkijkkkijkSiLikkkijkSLi)(kkijkJi同样任意多角动量算符和都服从该对易关系。同样任意多角动量算符和都服从该对易关系。4本征值写为此形式保证了本征值写为此形式保证了 是无量纲的数。是无量纲的数。m,二、总角动量及其二、总角动量及其z分量算符的本征值与分量算符的本征值与 本征函数本征函数0,2JJ已知已知则则0,2zJJ这样这样 有共同的本征矢量完全组，有共同的本征矢量完全组，zJJ ,2设为设为 ，则有，则有m|mmmJmmJz|22 在初等量子力学中，我们利用升降算符的在初等量子力学中，我们利用升降算

4、符的定义定义 求得了本征值，即有求得了本征值，即有yxiJJJ5且有且有jjjjmj, 1, 1, 2 ,23, 1 ,21, 0jmmjmJmjjjmJz|) 1(|22有时也分别写为有时也分别写为|jm, |lm, |sm.通常情况下，通常情况下， 的本征矢量写成的本征矢量写成 , 的本征矢量写为的本征矢量写为 ，而自旋，而自旋 的的本征矢量写成本征矢量写成 。zJJ ,2jjm|zLL ,2llm|zSS ,2ssm|6重要！后面要用到。重要！后面要用到。而升降算符对态矢量而升降算符对态矢量|jm的作用可以写为的作用可以写为1|)(1(|jmmjmjjmJ 由于由于|jm是一组对易的厄米

5、算符的共同本征是一组对易的厄米算符的共同本征矢量，必须满足正交归一关系矢量，必须满足正交归一关系mmjjjmmj| 此式对轨道角动量、自旋角动量或其它角动量此式对轨道角动量、自旋角动量或其它角动量的本征矢量都成立。的本征矢量都成立。78.2 轨道角动量算符和方向算符轨道角动量算符和方向算符(单位算符)一、轨道角动量算符和方向算符的对易关系一、轨道角动量算符和方向算符的对易关系1. 方向算符的有关定义方向算符的有关定义令方向算符令方向算符RRN且分量满足且分量满足1222zyxNNN定义定义yxiNNN则有则有NNNN或或NNNz1222yxNN 82. 方向算符方向算符 与轨道角动量算符与轨道

6、角动量算符 之间的关系之间的关系NL利用公式利用公式kkijkjiNiNL,0,0,2,2, 0,zzzzzzzzNLNNLNNLNNLNLNNLNNLNNLNL很容易得出很容易得出 的相关对易关系：的相关对易关系：,zzNL9另外，利用前面所学的公式另外，利用前面所学的公式AiLAiAL22)(22,容易得出容易得出NiLNiNL22)(22,二、方向算符对轨道角动量本征矢量的作用二、方向算符对轨道角动量本征矢量的作用1. 对对|ll,|l,-l的作用的作用利用利用yxzyxiNNNLLLL,2222及及 的相关对易关系，容易证明的相关对易关系，容易证明,zzNLNNLNLNLNNLzzz,

7、2)(2,2210NNLNLNLNNLzzz,2)(2,22以上两式两边作用到以上两式两边作用到|ll上，有上，有注意：?|llLllNllNlllNLllNllNlllNllllNLz|2|2|) 1(|222或或llNlllNLllNllllNLz|) 1(|)2)(1(|22由此可见，由此可见， 也是也是 与与 的本征矢量，本的本征矢量，本征值分别为征值分别为 及及 , 相应的量子相应的量子数为数为llN |2LzL2)2)(1(ll) 1( l1, 1lmll11故故 可以写为下列形式：可以写为下列形式：llN |1, 1|llcmlcllN同样考虑同样考虑 和和 ，得，得llNllN

8、z,|,|llNz,|llcllNllcllNllcllNzzzz, 1|,|) 1(, 1|,|, 1|其中其中c都是归一化常数，与都是归一化常数，与l有关。有关。12., 1|321,|) 1(, 1|3222,|, 1|321|1, 1|3222|lllllNllllllNlllllNllllllNzz通过推导，最后可以得到通过推导，最后可以得到132. 对对|lm的作用的作用这是我们最关心的问题，为此证明公式这是我们最关心的问题，为此证明公式NLkNLkzk1,证证用数学归纳法。用数学归纳法。（1）当）当k=1时，时， 显然成立显然成立 NNLz,（2）当）当k=n时成立，即时成立，即

9、NLnNLnzn1,则则,1znznNLLNLnzznLNLNLL,nnLNNLnL114nnLNNLnL1nnLNNLnNLnn1)1() 1(0,NL即当即当k=n+1时也成立。时也成立。（3）综合（）综合（1）（）（2），原式对任何正整数），原式对任何正整数k 都成立，即都成立，即NLkNLkzk1,利用这个公式，可以写出利用这个公式，可以写出llNLkllNLllLNkzkkz|115已经知道已经知道lllllNz, 1|321|利用公式利用公式1|)(1(|jmmjmjjmJ可以算出可以算出)22() 12(2432|lllkllLkklmlmklk,|) 12(在第一式中，在第一式

10、中， 可用同样方法算出。可用同样方法算出。现在关键问题是求现在关键问题是求 。llLk, 1|llN |llNLkllNLllLNkzkkz|116为此用为此用 作用于作用于|ll上上 NNLz,llNllLNNLzz| )(得得1,|2, 1|321|llNllllLllNz对于新出现的对于新出现的 ，只要再求出一个式，只要再求出一个式子包含子包含 就好办了。就好办了。1,|llNz1,|,|llNllNz分析发现，让分析发现，让 作用于作用于上就可以。即上就可以。即NNNz121, 1|ll1, 1|1, 1|1, 1|llNNllllNNzz或或17llNllllllNlz,|1221,

11、 1|1,|121与前面得到的式子与前面得到的式子1,|2, 1|321|lllNlllLllNz联立，得联立，得1, 1|1211, 1|)32)(12(2|1,|1211, 1|)32)(12(41,|lllllllllNllllllllllNz18对对llNLkllNLllLNkzkkz|1llcllNzz, 1|1, 1|1211, 1|)32)(12(2|lllllllllN 现在知道了现在知道了,|lmllLk而且而且这样就有这样就有则则 就很容易算出了就很容易算出了(练习练习)。llNLllNLkzk|,|119mlllmlmllmNz, 1|)32)(12() 1)(1(|ml

12、llmlml, 1|) 12)(12()(下面看下面看 对对 的作用：的作用：Nlm|由由 得得,zNLN )|(|lmLNlmNLlmNzz知道了知道了 的作用表达式，很容易的作用表达式，很容易得出得出 ：lmNlmLz|,|lmN |201, 1|)32)(12()2)(1(|mlllmlmllmN1, 1|) 12)(12() 1)(mlllmlml上式与下式上式与下式mlllmlmllmNz, 1|)32)(12()1)(1(|mlllmlml, 1|)12)(12()(就是方向算符就是方向算符N对于轨道角动量本征矢量对于轨道角动量本征矢量|lm的作用结果的作用结果, 它们在以后的公式

13、推导中很有用。它们在以后的公式推导中很有用。21由此由此可证明可证明 对体系任意态矢量对体系任意态矢量都成立。都成立。0,RLz8.3 量子数量子数l的升降算符的升降算符一、升降算符的寻找一、升降算符的寻找 根据讨论升降算符的经验，若根据讨论升降算符的经验，若R（不是矢径）（不是矢径）是使是使|lm中中l改变改变1而而m保持不变的算符，则可令保持不变的算符，则可令, 1|mlclmR这样就有这样就有lmRLlmRLlmRLzzz| ,lmRmmlcLz|, 1|mlcmmlcm, 1|, 1|022同理同理lmRLlmRLlmRL| ,222mlca, 1|2lmRa|2if,2if) 1(2

14、lalaRaRLRLz22,0,当当a=-2l 时，时，lmRlllmRL|) 1(|22注意到当注意到当a=2(l+1)时，利用上式可得时，利用上式可得lmRalmRLlmRL|222lmRllmlRl|) 1(2|) 1(22lmRll|)2)(1(2即即 之间之间 满足下列对易关系满足下列对易关系RLLz,223lmRlllmRL|) 1(|22lmRlllmRL|)2)(1(|22lala2) 1(2利用上述本征方程的意义，可以将利用上述本征方程的意义，可以将R|lm写为写为lamllamllmR2if, 1|) 1(2if, 1|可见可见R对于对于|lm的作用有关于量子数的作用有关于

15、量子数l上升算符上升算符和下降算符的性质。和下降算符的性质。设上升算符记为设上升算符记为R，下降算符记为，下降算符记为Q，则有，则有QlQLQLRlRLRLzz22222, 0,) 1(2, 0,下面看下面看R,Q到底是什么形式。到底是什么形式。24与式与式 比较，形式上多了第一项。比较，形式上多了第一项。RlRL22) 1(2,注意方向算符注意方向算符N与与L2的对易关系：的对易关系：NiLNiNL22)(22,另外由式另外由式 得得222,ALiLAL222,LNiLNL从这两式可以看出，若取一个矢量从这两式可以看出，若取一个矢量NcLNbR选择适当的选择适当的b,c，有可能使，有可能使R

16、满足式满足式RlRLRLz22) 1(2, 0,经过试验发现经过试验发现 正好满足上式。正好满足上式。NlLNilR) 1()(而而NlLNilQ)(正好满足正好满足QlQLQLz222, 0,25比如对比如对 分量，因为分量，因为 ，则有，则有zQNlLNilQ)()(,zxyyxzzzlNLNLNiLQL,zzxyzyxzNLlLNLiLNLi,zzxyzxzyyxzyzxNLlLNLLLNiLNLLLNi)(xxyyyyxxLNiLNiLNiLNii00,zzNL当然可以验证，当然可以验证， 等不满足上式对易式。所等不满足上式对易式。所以以 正是我们要寻找的正是我们要寻找的 的量子数的量

17、子数 的的上升和下降算符。上升和下降算符。xxQR ,zzQR ,lm|l26二、算符二、算符R,Q各分量对各分量对|lm的作用的作用估计与升降算符有关。估计与升降算符有关。令令)()()(),()()(liQlQlQliRlRlRyxyx很容易证明很容易证明)(2)(,),()(,)() 1(2)(,),()(,2222lQllQLlQlQLlRllRLlRlRLzz例如证明第一式例如证明第一式,)(,yxzziRRLlRL,yzxzRLiRLxyRiiRi)()(yxiRR )(lR27 同我们意料到的一样，同我们意料到的一样， 分别是分别是l的上的上升和下降算符，而且升和下降算符，而且

18、分别是分别是m的上升的上升算符，算符， 是是m的下降算符，可用下述公式的下降算符，可用下述公式表示表示)(),(lQlR)(),(lQlR)(),(lQlR1, 1| )(, 1| )(1, 1| )(, 1| )(mldlmlQmldlmlQmlclmlRmlclmlRzzzz以及前面所得到的公式以及前面所得到的公式1, 1|)32)(12()2)(1(|mlllmlmllmN1, 1|) 12)(12() 1)(mlllmlml28mlllmlmllmNz, 1|)32)(12()1)(1(|mlllmlml, 1|)12)(12()(可用计算出可用计算出R,Q对对|lm的作用结果。的作用

19、结果。 特别提示：在求特别提示：在求R,Q对对|lm的作用时，要用的作用时，要用到下述已知的公式到下述已知的公式（1）R,Q的分量表示；的分量表示；（2） 以及对以及对|lm的作用公式；的作用公式；yxiLLL（3） 以及对以及对|lm的作用公式；的作用公式；yxiNNN29推导过程相对复杂一些，这里只给出结果：推导过程相对复杂一些，这里只给出结果：mllmlmlllmlRz, 1|32) 1)(1)(12(| )(mllmlmlllmlQz, 1|12)()(12(| )(1, 1|32)2)(1)(12(| )(mllmlmlllmlR1, 1|12) 1)()(12(| )(mllmlm

20、lllmlQ308.4 球谐函数球谐函数 下面取位置表象，求轨道角动量本征矢量下面取位置表象，求轨道角动量本征矢量|lm的具体表达式。的具体表达式。一、位置表象中轨道角动量算符的表示一、位置表象中轨道角动量算符的表示此时此时R，即，即 成为相乘算符，成为相乘算符，321,XXX, iP对对 有有L)cosctg(sin iPZPYLyzx)sinctgcos( iPXPZLzxy iPYPXLxyz 22222sin1sinsin1L31方向算符方向算符N对态函数的作用是一个相乘算符对态函数的作用是一个相乘算符cossinsincossinzyxNNN而而ieN sin 注意：以上这些算符等式

21、，只有左右双方注意：以上这些算符等式，只有左右双方作用在任意态函数上才成立，而且都是对作用在任意态函数上才成立，而且都是对部分作用的部分作用的,与与r 无关；方向算符是相乘算符，无关；方向算符是相乘算符，作用起来很方便。作用起来很方便。,ctgieLi而而ctgieLi32二、轨道角动量本征函数的计算二、轨道角动量本征函数的计算1. 本征函数所满足的基本方程本征函数所满足的基本方程lmYlm|),(轨道角动量本征函数在位置表象中记为轨道角动量本征函数在位置表象中记为),(2zLL所满足的方程可记为所满足的方程可记为),() 1(),(sin1sinsin122222lmlmYllY),(),(

22、lmlmYmYi 通常方法是解上述微分方程得到通常方法是解上述微分方程得到 。但。但实际上知道了一个具体的实际上知道了一个具体的 ，利用升降算，利用升降算符作用即可得到其它了。符作用即可得到其它了。),(lmY),(lmY332. 本征函数的求解本征函数的求解（1）求）求),(00Y取取l=m=0, 所满足的方程就写为所满足的方程就写为),(2zLL0),(sin1sinsin100222Y0),(00Y容易看出第二式的通解为容易看出第二式的通解为)(),(00gY（只对（只对 求导）求导）将此式代入第一式得将此式代入第一式得0)(sinsin1g34此方程的通解为此方程的通解为21)2ln(

23、tg)(ccg因为因为 在在 附近有限，必须取附近有限，必须取),(Y, 0. 01c所以所以 ，即，即2)(cg200),(cY利用归一化条件利用归一化条件1d| ),(|dsin202000Y很容易得到很容易得到41),(200 cY35ieYNYsin2341),(23),(0011利用方向算符利用方向算符 可依次得出可依次得出NieYNY221122sin425341),(45),(ieYNY332233sin64275341),(67),(illlllellYsin!)!2(!)!12(41)(),(illllellsin)!12(!2141)(36下面举例证明第一式。下面举例证明第

24、一式。利用利用1, 1|)32)(12()2)(1(|mlllmlmllmN1, 1|) 12)(12() 1)(mlllmlml有有11|3200|N所以所以00|2311|),(11NY41sin23ieiesin234137与此类似，利用与此类似，利用) 1(, 1|3222,|llllllN可由可由 得出得出),(00YilllllellYsin)!12(41!21),(, 得到了得到了 这两个公式之后，只要用这两个公式之后，只要用 依依次对次对 作用，或用作用，或用 依次对依次对 作用，就可得作用，就可得出出l固定的全部固定的全部 。这样。这样lmLllYLllY,),(lmYlll

25、lYLllllY) 1)(11,38llYLll,2221) 12(21llYLll,22! 2)!2()!22(1,2,)2)(1(1llllYLllllYllmlmlmlYLhmllmlY)!()!2()!(,)(sin)!()!(412!21) 1(illmlmllleLhmlmlll39类似地，用类似地，用 依次对依次对 作用，可得作用，可得LllY,llmlmlmlYLhmllmlY,)!()!2()!()(sin)!()!(412!21illmlmlleLhmlmlll利用教材中所证明的公式（这里不再证明）利用教材中所证明的公式（这里不再证明）)sincosdd)(sin)(sin

26、)(2)(imlmlmillmlmleeL可把可把 写成两种形式（前面已经用写成两种形式（前面已经用分别得出）分别得出）),(lmYL40imlllmemlmlllY)!()!(412!2) 1(),(lmlm2sincosddsin1imlmllmemlmlllY)!()!(412!2) 1(),(lmlm2sincosddsin 它们是轨道角动量它们是轨道角动量 的共同本征函数的共同本征函数 的普遍表达式。的普遍表达式。),(2zLL),(lmY41由于以上两式是从由于以上两式是从l=0出发得出的，所以式中出发得出的，所以式中l只能取零及所有整数，故只能取零及所有整数，故m也只能取整数，即

27、也只能取整数，即llllml, 1, 0 , 1, 3 , 2 , 1 , 0 在数学上称为球谐函数，全部球谐函在数学上称为球谐函数，全部球谐函数数 在单位球面上对于在单位球面上对于单值有限的任何函数单值有限的任何函数 构成完全函数组。构成完全函数组。),(lmY),;, 2 , 1 , 0(llml),(f前几个球谐函数是前几个球谐函数是424100Ycos4310YieYsin831, 1) 1cos3(4145220YieYsincos23451, 2ieY222, 2sin8345432. 自旋空间：自旋空间：8.6 自旋和自旋波函数自旋和自旋波函数一、自旋空间一、自旋空间1. 自旋自

28、旋 粒子的自旋态是粒子的内禀状态，与经粒子的自旋态是粒子的内禀状态，与经典的典的“旋旋”是两个概念。是两个概念。 自旋无法用以前全基于位形空间自旋无法用以前全基于位形空间Hilbert空间的矢量来描述，必须另外建立一个描空间的矢量来描述，必须另外建立一个描述自旋态的矢量空间，这个空间我们称之述自旋态的矢量空间，这个空间我们称之为自旋空间。为自旋空间。44 而以前讨论的抽象的而以前讨论的抽象的Hilbert空间或函数空空间或函数空间可以称之为位置间可以称之为位置Hilbert空间或位置空间。空间或位置空间。完整地描述单粒子态的完整地描述单粒子态的Hilbert空间是这两者空间是这两者的直积空间。

29、的直积空间。3. 自旋角动量算符自旋角动量算符S： S是个矢量厄米算符，其分量服从角动量是个矢量厄米算符，其分量服从角动量的对易关系：的对易关系： kkijkjiSiSS,通常取通常取 作为对易算符的完备组，其共作为对易算符的完备组，其共同本征矢量为同本征矢量为 ，即有，即有 ),(2zSSsm|45smmsmSsmsssmSz|1(|22其中其中ssssms, 1, 1,;, 2 ,23, 1 ,21, 04. 自旋量子数的取值自旋量子数的取值 自旋与轨道角动量量子数在数值上有不同自旋与轨道角动量量子数在数值上有不同的特点：的特点： （1）非复合粒子）非复合粒子自旋量子数自旋量子数s只能取一

30、个值，比如只能取一个值，比如1）电子）电子 s=1/2462）在基本稳定的粒子态中，所有的轻子）在基本稳定的粒子态中，所有的轻子和和 以外的所有重子以外的所有重子s=1/23） s=3/24）介子）介子 s=05）光子）光子 s=1 （2）复合粒子）复合粒子1） 粒子基态粒子基态 s=02）氘核基态）氘核基态 s=13）Li核基态核基态 s=3/2复合粒子自旋量子数有时可以发生变化。复合粒子自旋量子数有时可以发生变化。47基矢个数确定维数，与自由度要区分开基矢个数确定维数，与自由度要区分开 5. 自旋空间的维数自旋空间的维数 对于对于s=0的粒子，完全不用讨论自旋，或者的粒子，完全不用讨论自旋

31、，或者说其自旋空间是一个说其自旋空间是一个 1D 空间，其中只有一个空间，其中只有一个自旋态（自旋态（s=0, m=0）。）。 对非相对论量子力学的主要对象对非相对论量子力学的主要对象电子来电子来说，说，s=1/2，m只能取只能取 两值，自旋空间是两值，自旋空间是2D的。一般情况下自旋空间维数是的。一般情况下自旋空间维数是2s+1维。维。（为什么？）（为什么？）2/148二、自旋算符的对易及反对易关系二、自旋算符的对易及反对易关系讨论讨论s=1/2的粒子，以电子为例。的粒子，以电子为例。其突出特点是，自旋在任意方向上的分量只其突出特点是，自旋在任意方向上的分量只能取能取 ，即，即2/22222243,4SSSSzyx即角动量平方及各分量平方算符是一个数算即角动量平方及各分量平方算符是一个数算符，这可以导致一个特有的关系。符，这可以导致一个特有的关系。49将此式两边左乘和右乘将此式两边左乘和右乘 ，得，得xSxzxyxyxzxxyxyxSSiSSSSSSSiSSSSS22两式相加，得两式相加，得)(,2xzzxyxSSSSiSS 由由 得得kkijkjiSiSS,zxyyxSiSSSS50即自旋三个分量的算符彼此是反对易的。这是即自旋三个分量的算符彼此是反对易的。这是自旋自旋1/2粒子所特